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[quote="Mkr"][quote="schnudl"]Ausserdem muss das Volumenintegral über ein Vektorfeld wieder ein Vektor sein![/quote] Das wusste ich bisher garnicht (Volumenintegrale sind mir recht neu). Das macht die Aufgabe dann ja ziemlich trivial. Wahrscheinlich wirds beim Rest genau so sein, also liegt mein Fehler eher nicht beim Verständnis der Deltafunktion, sondern beim Verständnis der Volumenintegrale. Ich habe aber noch eine Frage zur 2.) Ich hab jetzt im Internet eine Definition gefunden, die besagt: [latex]\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|}\delta(x) [/latex] Das würde letztendlich ja auch passen, sodass sich für Deltafunktion im Integral ergibt: [latex]\delta(3\vec{r})=\frac{1}{3}[\delta(x)\delta(y)\delta(z)][/latex] Aber im Prinzip kann man es doch auch so auffassen: [latex]\delta(3\vec{r})=\delta\begin{pmatrix} 3x \\ 3y \\ 3z \end{pmatrix}=\delta(3x)\delta(3y)\delta(3z)[/latex] Das steht eindeutig im Widerspruch zueinander. Welche Variante ist richtig? Und noch viel wichtiger ist, weswegen genau die Variante richtig ist. [i](Wie kann es eigentlich sein, dass man so "locker" mit der Deltafunktion rumrechnen kann? Mir kommt die komisch vor. Beispielsweise ist sie ja weder stetig noch vollständig Differenzierbar und trotzdem kann man sie ab- und aufleiten.[/i][/quote]
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Mkr
Verfasst am: 27. Jun 2011 12:41
Titel: Re: Die dreidimensionale Deltafunktion
schnudl hat Folgendes geschrieben:
Ausserdem muss das Volumenintegral über ein Vektorfeld wieder ein Vektor sein!
Das wusste ich bisher garnicht (Volumenintegrale sind mir recht neu). Das macht die Aufgabe dann ja ziemlich trivial. Wahrscheinlich wirds beim Rest genau so sein, also liegt mein Fehler eher nicht beim Verständnis der Deltafunktion, sondern beim Verständnis der Volumenintegrale.
Ich habe aber noch eine Frage zur 2.)
Ich hab jetzt im Internet eine Definition gefunden, die besagt:
Das würde letztendlich ja auch passen, sodass sich für Deltafunktion im Integral ergibt:
Aber im Prinzip kann man es doch auch so auffassen:
Das steht eindeutig im Widerspruch zueinander. Welche Variante ist richtig? Und noch viel wichtiger ist, weswegen genau die Variante richtig ist.
(Wie kann es eigentlich sein, dass man so "locker" mit der Deltafunktion rumrechnen kann? Mir kommt die komisch vor. Beispielsweise ist sie ja weder stetig noch vollständig Differenzierbar und trotzdem kann man sie ab- und aufleiten.
schnudl
Verfasst am: 27. Jun 2011 07:58
Titel: Re: Die dreidimensionale Deltafunktion
Das ist ja die (zwar etwas freizügige aber immerhin allgemein akzeptierte
Definition
der Deltafunktion - oder hab ich da etwas missverstanden?
Ausserdem muss das Volumenintegral über ein Vektorfeld wieder ein Vektor sein!
Mkr
Verfasst am: 25. Jun 2011 15:44
Titel: Die dreidimensionale Deltafunktion
Hallo. Ich sitz gerade von einer dreiteiligen Aufgabe bezüglich der dreidimensionalen Delta-Funktion und komm bei allen Teilen ab einem gewissen Punkt nicht weiter oder weiß nicht, ob ich alles richtig gerechnet habe.
Aufgaben:
1.)
mit
und
2.)
3.)
mit
und
Wobei V das Volumen einer Kugel mit Radius 2 um den Ursprung ist.
Lösungsideen:
Eine Eingenschaft der dreidimensionalen Deltafunktion die ich bei allen drei Aufgaben ausgenutzt habe ist:
Zu 1:
Um das Volumenintegral eines Vektorfeldes zu berechnen braucht man:
Also folgt:
Nun die Polstellen der Deltafunktion:
Daraus folgt:
Das Ergebnis kommt mir jedoch intuitiv komisch vor.
Zu 2:
Hier habe ich schon einmal ein Grundlegendes Verständnisproblem. Und zwar bin ich mir nicht im klaren, wofür das
im Exponent der Exponentialfunktion steht. Ich hab es einfach mal stehen lassen und die Deltafunktion angewendet. Heraus kam:
Polstellen der Deltafunktion bei:
Vermutlich muss das
irgendwie in
transformiert werden, sodass die Polstellen eingesetzt werden können um damit das Integral zu berechnen.
Zu 3:
Einsetzen und ausrechnen ergibt dieses Monster hier:
Natürlich kann ich hier die Polstellen berechnen, weiß aber nicht, welche relevant sind, da die Integrationsgrenzen auch variablen erhalten. Eine andere Möglichkeit wäre Kugelkoordinaten zu verwenden, aber da hapert es am Verständnis der Deltafunktion.
Ich hoffe das ich nicht zu viele Fragen gestellt habe. Ich würde mich schon freuen, wenn man mir zumindest zu einer einen Denkanstoß in die richtige Richtung geben könnte
Liebe Grüße,
Mkr