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[quote="mzh"]Hallo zusammen In Chandler, "Molecular Modeling", s. 365 steht: "[i]It is necessary to assign initial velocities to the atoms. This can be done by randomly selecting from a Maxwell-Boltzmann distribution at the temperature of interest:[/i] [latex]p(v_{ix}) = \left( \frac{m_i}{2\pi k_B T} \right) ^{1/2} \exp \left[ -\frac{1}{2}\frac{m_i v_{ix}^2 }{k_B T} \right] [/latex] Wenn ich das richtig verstehe, dann ist [latex]p(v_{ix})[/latex] also die Wahrscheinlichkeit, bei gegebener Temperatur, ein Teilchen mit v_x Komponente gemäss der Maxwell-Boltzmann Verteilung zu finden. Ich wollte mir diese Wahrscheinlichkeit mal aufzeichnen. Dazu hab ich ein kleines Programm geschrieben (Python): [code] 1 #!/usr/bin/python 2 3 import pylab 4 import numpy 5 import random 6 7 # Trying to generate a Maxwell-Boltzmann distribution 8 # of velocities. 9 10 # Provides the probability that an atom i of mass 11 # m_i has a velocity v_{ix} at T: 12 # p_{ v_{ix} } = ( m_i / (2*pi*k_B*T) )^(1/2)* 13 # exp( -1/2*(m_i*v_{ix}^2)/(k_B*T) ) 14 15 # Initial Velocities 16 n = 10000 17 V = numpy.array([random.random() for i in numpy.arange(n)]) 18 19 # Mean of initial velocities 20 Vm = reduce(lambda x,y: x+y, V)/len(V) 21 22 probs = [] 23 for vi in V: 24 probs.append( numpy.exp(-0.5*vi*vi) ) 25 26 pylab.clf() 27 pylab.hist(probs, bins=100, normed=True) 28 pylab.savefig('exp_prob.png') 29 [/code] Wenn ich diese Verteilung aufzeichne, finde ich das angehängte Bild. Ergibt das Sinn? Ich hab eigentlich etwas wie eine Glockenkurve erwartet, die nach rechts aussen verzogen ist. Vielen Dank für Hinweise darauf, ob ich hier was verkehrt mache.[/quote]
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mzh
Verfasst am: 17. Mai 2011 20:17
Titel:
Danke für die hilfreiche Auseinandersetzung.
-
Verfasst am: 17. Mai 2011 13:48
Titel:
Du erzeugst eine Liste von 10.000 Zufallszahlen im Intervall [0,1), berechnest dann von diesen Zufallswerten x jeweils exp(-x²/2), und stellst das Ganze in einem Histogramm dar. Ich sehe nicht so recht, was du damit erreichen möchtest.
Die angegebene Formel beschreibt die Verteilung einer Geschwindigkeitskomponente der Gasteilchen. Wie du an ihr siehst, ist die Geschwindigkeits
komponente
exakt normalverteilt! Erst wenn man sich für den Geschwindigkeits
betrag
interessiert, also die Wurzel aus dem Quadrat dreier solcher normalverteilter Zufallsgrößen, kommt man auf die Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
Falls du explizit die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Beträge haben möchtest, könntest du also für die drei Geschwindigkeitskomponenten jeweils Zufallswerte von random.gauss() verwenden, daraus den Betrag bestimmen und dann ein Histogramm erstellen. Möchtest du die Verteilung direkt erzeugen, kannst du dich auch mit Zufallszahlengeneratoren für beliebige Verteilungen auseinander setzen.
mzh
Verfasst am: 17. Mai 2011 13:22
Titel:
Rmn hat Folgendes geschrieben:
Ich habe keine Ahnung von Pyton, aber versuche exp(-0.25*vi*vi) oder noch kleiner, ich vermute, du siehst genau die Häfte der Gaußglocke.
ich will einfach sicher sein, dass ich das irgendwie richtig verstehe. Kann aus einer Gauss'schen Verteilung eine Maxwell-Boltzmann Verteilung erzeugt werden? jetzt mal ohne Hinsicht auf den Code..
Rmn
Verfasst am: 17. Mai 2011 06:46
Titel:
Ich habe keine Ahnung von Pyton, aber versuche exp(-0.25*vi*vi) oder noch kleiner, ich vermute, du siehst genau die Häfte der Gaußglocke.
mzh
Verfasst am: 17. Mai 2011 00:58
Titel: Maxwell-Boltzmann Verteilung
Hallo zusammen
In Chandler, "Molecular Modeling", s. 365 steht:
"
It is necessary to assign initial velocities to the atoms. This can be done by randomly selecting from a Maxwell-Boltzmann distribution at the temperature of interest:
Wenn ich das richtig verstehe, dann ist
also die Wahrscheinlichkeit, bei gegebener Temperatur, ein Teilchen mit v_x Komponente gemäss der Maxwell-Boltzmann Verteilung zu finden. Ich wollte mir diese Wahrscheinlichkeit mal aufzeichnen. Dazu hab ich ein kleines Programm geschrieben (Python):
Code:
1 #!/usr/bin/python
2
3 import pylab
4 import numpy
5 import random
6
7 # Trying to generate a Maxwell-Boltzmann distribution
8 # of velocities.
9
10 # Provides the probability that an atom i of mass
11 # m_i has a velocity v_{ix} at T:
12 # p_{ v_{ix} } = ( m_i / (2*pi*k_B*T) )^(1/2)*
13 # exp( -1/2*(m_i*v_{ix}^2)/(k_B*T) )
14
15 # Initial Velocities
16 n = 10000
17 V = numpy.array([random.random() for i in numpy.arange(n)])
18
19 # Mean of initial velocities
20 Vm = reduce(lambda x,y: x+y, V)/len(V)
21
22 probs = []
23 for vi in V:
24 probs.append( numpy.exp(-0.5*vi*vi) )
25
26 pylab.clf()
27 pylab.hist(probs, bins=100, normed=True)
28 pylab.savefig('exp_prob.png')
29
Wenn ich diese Verteilung aufzeichne, finde ich das angehängte Bild. Ergibt das Sinn? Ich hab eigentlich etwas wie eine Glockenkurve erwartet, die nach rechts aussen verzogen ist.
Vielen Dank für Hinweise darauf, ob ich hier was verkehrt mache.