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[quote="Sirius"]Hi, letztens wurde bei mir in der Vorlesung der Begriff des chemischen Potentials [latex]\mu[/latex] (im kanonischen System) eingeführt bzw. die Definition davon motiviert. Wir haben dazu ein kanonisches Gesamtsystem (Volumen [latex]V_\mathrm{ges}=\mathrm{const.}[/latex], Teilchenzahl [latex]N_\mathrm{ges}=\mathrm{const.}[/latex]) betrachtet, in das wir uns ein Teilvolumen [latex]V_1[/latex] mit Teilchenzahl [latex]N_1[/latex] hineingedacht haben. Das Restsystem hat somit das Volumen [latex]V_2=V_\mathrm{ges}-V_1[/latex] und die Teilchenzahl [latex]N_2=N_\mathrm{ges}-N_1[/latex]. Als nächstes haben wir dann die freie Energie des Gesamtsystems aufgestellt und sind durch Minimierung dieser bezüglich [latex]N_1[/latex] auf die Definition des chemischen Potentials gestoßen. Nun zu meinem Problem: Der Ansatz für die freie Energie des Gesamtsystems ist der folgende gewesen: [latex]F(N_1)=F_1(N_1)+F_2(N_\mathrm{ges}-N_1)\stackrel{!}{=}\mathrm{min}\quad\Rightarrow\quad\underbrace{\frac{\partial F_1(N_1)}{\partial N_1}}_{=:\mu_1}\stackrel{!}{=}\underbrace{\frac{\partial F_2(N_2)}{\partial N_2}}_{=:\mu_2}\quad\Leftrightarrow\quad\mu_1=\mu_2[/latex] Bisher war ich immer der Meinung, dass die freie Energie nur für unabhängige Systeme additiv ist. Wenn ich mir aber hier das Teilsystem anschaue, so ist dieses doch abhängig vom Restsystem, da ja z.B. ein Teilchenaustausch stattfindet. Somit kann ich die Summe aus den beiden freien Energien nicht ganz nachvollziehen. Außerdem haben wir in obiger Rechnung am Ende den Ausdruck [latex]\partial F/\partial N[/latex] als chemisches Potential definiert. Soweit ich weiß, gilt obige Definition doch nur für kanonische Systeme, welche doch selbst wiederum durch eine konstante Teilchenzahl definiert sind. Nun ist zwar das Gesamtsystem kanonisch, warum aber das Teilsystem (also mit Index 1) dies ebenfalls sein sollte ist mir ein Rätsel, da wir in diesem ja gerade eine fluktuierende Teilchenzahl zugelassen haben. Der Ausdruck für [latex]\mu_1[/latex] macht für mich daher irgendwie keinen so richtigen Sinn. Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen, bestimmt denk ich wieder mal zu umständlich. ?([/quote]
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Nachricht
Sirius
Verfasst am: 16. März 2011 17:54
Titel: Chemisches Potential
Hi,
letztens wurde bei mir in der Vorlesung der Begriff des chemischen Potentials
(im kanonischen System) eingeführt bzw. die Definition davon motiviert. Wir haben dazu ein kanonisches Gesamtsystem (Volumen
, Teilchenzahl
) betrachtet, in das wir uns ein Teilvolumen
mit Teilchenzahl
hineingedacht haben. Das Restsystem hat somit das Volumen
und die Teilchenzahl
. Als nächstes haben wir dann die freie Energie des Gesamtsystems aufgestellt und sind durch Minimierung dieser bezüglich
auf die Definition des chemischen Potentials gestoßen.
Nun zu meinem Problem:
Der Ansatz für die freie Energie des Gesamtsystems ist der folgende gewesen:
Bisher war ich immer der Meinung, dass die freie Energie nur für unabhängige Systeme additiv ist. Wenn ich mir aber hier das Teilsystem anschaue, so ist dieses doch abhängig vom Restsystem, da ja z.B. ein Teilchenaustausch stattfindet. Somit kann ich die Summe aus den beiden freien Energien nicht ganz nachvollziehen.
Außerdem haben wir in obiger Rechnung am Ende den Ausdruck
als chemisches Potential definiert. Soweit ich weiß, gilt obige Definition doch nur für kanonische Systeme, welche doch selbst wiederum durch eine konstante Teilchenzahl definiert sind. Nun ist zwar das Gesamtsystem kanonisch, warum aber das Teilsystem (also mit Index 1) dies ebenfalls sein sollte ist mir ein Rätsel, da wir in diesem ja gerade eine fluktuierende Teilchenzahl zugelassen haben. Der Ausdruck für
macht für mich daher irgendwie keinen so richtigen Sinn.
Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen, bestimmt denk ich wieder mal zu umständlich.