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[quote="TomS"]Zu a) musst du die einmal eingeführte Definition des Vernichtungsoperators durch x und p verwenden, den Operator auf die Funktion anwenden und zeigen, dass er bis auf eine multiplikative Konstante erhalten bleibt. Zu b) habe ich keine direkte Idee, aber evtl. hilft es einen allgemeinen Ansatz [latex]|z\rangle = \sum_n z_n |n\rangle[/latex] zu betrachten und die Eigenwertgleichung [latex]a|z\rangle = z|z\rangle[/latex] für eine beliebige komplexe Zahl z zu lösen. Damit bekommst du alle möglichen Eigenfuntionen zu a, indem du die Koeffizienten z_n bestimmst.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 30. Jan 2011 20:21
Titel:
Zu a) musst du die einmal eingeführte Definition des Vernichtungsoperators durch x und p verwenden, den Operator auf die Funktion anwenden und zeigen, dass er bis auf eine multiplikative Konstante erhalten bleibt.
Zu b) habe ich keine direkte Idee, aber evtl. hilft es einen allgemeinen Ansatz
zu betrachten und die Eigenwertgleichung
für eine beliebige komplexe Zahl z zu lösen. Damit bekommst du alle möglichen Eigenfuntionen zu a, indem du die Koeffizienten z_n bestimmst.
pressure
Verfasst am: 30. Jan 2011 19:02
Titel:
Bei a) sollte es reichen, wenn du einfach den Vernichtungsoperator auf deine Funktion anwendest. Wenn sie sich bist auf einen Vorfaktor reproduziert, ist es eine Eigenfunktion. Der Vorfaktor ist dann der gesuchte Eigenwert.
Ahnungsloser 2.0
Verfasst am: 30. Jan 2011 18:27
Titel: Eigenvektoren Vernichtungsoperator
Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe und leider ein paar Schwierigkeiten damit:
Wir betrachten den Vernichtungsoperator
des eindimensionalen harmonischen Oszillators mit Masse m und Frequenz
.
a) Zeigen Sie, daß die Wellenfunktionen
(A ist eine Normierungskonstante) Eigenfunktionen von
sind und berechnen Sie die zugehörigen Eigenwerte.
b) Zeigen Sie, daß alle Eigenvektoren von
von dieser Gestalt sind.
Ich bräuchte hier wirklich ganz grundlegende Tipps zur Herangehensweise.
Meine Ideen:
Es müsste genügen zu zeigen, dass ein Eigenvektor bis auf einen konstanten Faktor durch seinen Eigenwert festgelegt ist. Man entwickelt dazu den Eigenvektor nach den Eigenvektoren
des Hamiltonoperators und leitet dann unter Verwendung von
eine Iterationsformel für die Entwicklungskoeffizienten her.
Viel mehr kann ich da lieder nicht zu sagen, da Physik nicht unbedingt zu meinen besonderen Begabungen zählt.