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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="yellowfur"]Zunächst will ich die Fehler vom Übungsblatt ausbessern:
Eigentlich ist die Fouriertransformierte
[latex]\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\xi }f(x)dx[/latex]
Das Minus im Exponenten der e-Funktion ist in diesem Fall aus Symmetriegründen aber egal. Deswegen ändere ich das nicht mehr in der Rechnung.
Der zweite Fehler betrifft den B-Teil:
[latex]  FT(Doppelspalt)=2\cos\frac{a\xi}{2}   [/latex]
Ohne [latex]\xi[/latex] macht das Ganze keinen Sinn, sonst hätten wir ja nur eine Konstante vorliegen. Die zwei haben die Übungsleiter auch verschlampt. Somit funktioniert die Rechnung. Wenn ich mir ein Koordinatensystem in die Mitte der zwei Spalte lege mit a als Abstand von einer Mitte des Spalts zur anderen Spaltmitte und mit h als Höhe der Spalte und b als Spaltbreite findet man [latex]f(x)[/latex]:
[latex]
a) \ f(x)=h(x+b/2+a/2)-\theta(x+a/2-b/2)+\theta(x-a/2+b/2)-\theta(x-a/2-b/2)
[/latex]

[latex]\theta[/latex] ist die Rechtecksfunktion, die nur dann einen Wert liefert, wenn sozusagen der Spalt an der richtigen Stelle ist.
Jetzt setzt man [latex]f(x)[/latex] in das Integral ein und spaltet es gleich in zwei auf, eins für jeden Spalt. Die Grenzen folgen aus der Anordnung:

[latex]

\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix\xi }f(x)dx.

\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix\xi }f(x)dx=\int_{-\frac{b+a}{2}}^{-\frac{a-b}{2}}\cdot e^{ix\xi}h\cdot dx+\int_{-\frac{a-b}{2}}^{-\frac{a+b}{2}}\cdot e^{ix\xi}h\cdot dx
[/latex]
Auswerten an den Grenzen liefert
[latex]

\left[   \frac{1}{i\xi}e^{ix\xi}\right]_{-\frac{a+b}{2}}^{-\frac{a-b}{2}}\cdot h+\left[   \frac{1}{i\xi}e^{ix\xi}\right]_{-\frac{a-b}{2}}^{-\frac{a+b}{2}}\cdot h=\frac{h_{1}}{i\xi}\cdot \left( e^{-\frac{ia\xi}{2}} e^{\frac{ib\xi}{2}}- e^{-\frac{ia\xi}{2}} e^{-\frac{ib\xi}{2}}     -e^{\frac{ia\xi}{2}} e^{-\frac{ib\xi}{2}}+e^{\frac{ia\xi}{2}} e^{\frac{ib\xi}{2}}\right) 
[/latex]

[latex]

\frac{h_{1}}{i\xi}\cdot        \left(     e^{\frac{ia\xi}{2}}   \left( e^{\frac{ib\xi}{2}}-e^{\frac{-ib\xi}{2}}              \right)    -     e^{\frac{ia\xi}{2}}  \left(   e^{\frac{-ib\xi}{2}}-e^{\frac{ib\xi}{2}}        \right)                                \right)
[/latex]

Die komplexen e-Funktionen baue ich mit der Euleridentität zu trigonometrischen Funktionen um, wobei ich kurzzeitig wieder einen Faktor zwei im h verschwinden lasse, was am Schluss bei h steht:

[latex]
\frac{h_{2}}{i\xi} \left(      e^{\frac{-ia\xi}{2}}      \left(   \sin(\frac{b\xi}{2})        \right)+e^{\frac{ia\xi}{2}}                   \left(      \sin(\frac{b\xi}{2})     \right)                   \right)=\frac{4h}{\xi}\cdot \sin (\frac{b\xi}{2})\cos(\frac{a\xi}{2})

[/latex]

Bei der Faltung muss man dasselbe für den Einzelspalt machen, um nachher die Multiplikation durchführen zu können:
[latex]

b) \ f_{e}(x)=h(\theta(x+b/2)-\theta(x-b/2))

\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix\xi}f_{e}(x)dx=\int_{-b/2}^{b/2}e^{ix\xi}h\cdot dx=h\cdot \left[ \frac{1}{i\xi}e^{ix\xi}         \right]_{-b/2}^{b/2}=h\cdot \left(     \frac{1}{i\xi}e^{\frac{ib\xi}{2}}-\frac{1}{i\xi}e^{\frac{-ib\xi}{2}}       \right)=\frac{2h}{\xi}\left(    \sin(\frac{b\xi}{2})      \right)

[/latex]

Die Faltung ergibt somit das Ergebnis aus a):

[latex]

\hat g \cdot \hat f =\frac{4h}{\xi}\cos(\frac{a\xi}{2})\cdot \sin(\frac{b\xi}{2})

[/latex][/quote]

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