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[quote="feynman"]Ich habe zur Vorlesung statistische Mechanik folgende Aufgabe zu loesen, dabei bin ich mir unsicher wie das totale Differential zu bilden ist. Gegeben sei der Hamiltonoperator H. Bestimme das Minimum von [latex]<\Psi|H|\Psi> [/latex] im Hilbertraum aller Zustaende [latex]|\Psi>[/latex] unter der Bedingung das alle [latex]|\Psi>[/latex] normiert sind, m.a.W.: [latex]<\Psi|\Psi> = 1 [/latex] . Zeige also, dass [latex]E_{0} = \min_{\{|\Psi>\}} \underbrace{\left( <\Psi|H - \lambda |\Psi> + \lambda \right)}_{:=K}[/latex] den tiefsten Energieeigenwert liefert, wobei das Minimum des Erwartungswertes bzgl. aller Zustaende [latex]|\Psi>[/latex] und reellen Parameter [latex]\lambda[/latex] gesucht wird. Ich habe den Term in der Klammer K genannt. Man sucht also den Lagrange Multiplikator, damit dK= 0 gilt. Ich habe aber die Schwierigkeit K als Funktion der [latex]|\Psi>[/latex] aufzufassen, weil ich nicht weiss wie ich nach den [latex]|\Psi>[/latex] ableiten soll. EDIT: [latex]|n> [/latex] ein Basissystem, dann kann man den allgemeinen Zustand in der Basis [latex]|n>[/latex] ausdruecken. Daraus ergibt sich fuer [latex] K = \left( \sum_{n}<\Psi|n><n|H - \lambda |n><n|\Psi> + \lambda \right) [/latex] Wobei [latex]<n|\Psi> :=c_{n}, <\Psi|n> :=c^*_{n} [/latex], also die Koeffizienten von [latex]|\Psi> [/latex]in dieser Darstellung sind. Das additive [latex]\lambda[/latex] kann man fuer die Minimierung ignorieren, da das allgm. Minimum nicht von einem konstanten Term abhaengt. Kann jmd. damit was anfangen?[/quote]
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Nachricht
feynman
Verfasst am: 16. Okt 2010 17:10
Titel: Erwartungswert d. Energie m. Lagrange Multiplikator minimier
Ich habe zur Vorlesung statistische Mechanik folgende Aufgabe zu loesen, dabei bin ich mir unsicher wie das totale Differential zu bilden ist.
Gegeben sei der Hamiltonoperator H. Bestimme das Minimum von
im Hilbertraum aller Zustaende
unter der Bedingung das alle
normiert sind, m.a.W.:
. Zeige also, dass
den tiefsten Energieeigenwert liefert, wobei das Minimum des Erwartungswertes bzgl. aller Zustaende
und reellen Parameter
gesucht wird.
Ich habe den Term in der Klammer K genannt.
Man sucht also den Lagrange Multiplikator, damit dK= 0 gilt.
Ich habe aber die Schwierigkeit K als Funktion der
aufzufassen, weil ich nicht weiss wie ich nach den
ableiten soll.
EDIT:
ein Basissystem, dann kann man den allgemeinen Zustand in der Basis
ausdruecken. Daraus ergibt sich fuer
Wobei
, also die Koeffizienten von
in dieser Darstellung sind.
Das additive
kann man fuer die Minimierung ignorieren, da das allgm. Minimum nicht von einem konstanten Term abhaengt.
Kann jmd. damit was anfangen?