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Gewicht eines Körpers in Abhängigkeit von der Höhe - Seite 2
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Opa



Anmeldungsdatum: 19.03.2006
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Beitrag Opa Verfasst am: 26. März 2006 12:15    Titel: Antworten mit Zitat

Mit viel Liebe zur Sache fühle ich mich hier sehr gut behandelt, danke!

Am Taschenrechner mußte ich nach y^3 noch = drücken, dann kam am Ende ebenfalls 11, 533 mm exakt heraus.

Fahrradreifen, das war ganz schlecht von mir formuliert, pardon, da muß man sich selbstverständlich dessen Innereien mitdenken; außen der sich schnell drehende Reifen, samt den oberen Speichenenden, in der Mitte die anscheinend langsamer drehende Nabe. Wenn man in alten Filmen Postkutschenräder sieht, dann scheinen die manchmal gar rückwärts zu drehen.
Mit dem Sternentag zu 86164 Sekunden werde ich gleich nachrechnen. Hab ich schon. Es stellte sich eine merkwürdige Erscheinung ein. Die Abweichungen (von Wagenscheins Werten) bei Paris und Cambridge wurden noch geringer; die anderen drei Abweichungen aber wurden im Gegensatz dazu größer, komisch. Und an der Spitze mit den geringsten Abweichungen, sortiert nach der Entfernung des Minuszeichens, da liegt jetzt Paris vor Cambridge, anders als vorher.

Erdtag......ber. ......Abw........Orte................sortiert
mm..........Wag.....v.Wag......d. Versuche......nach Abw.
______________________________________________________
1,7840....1,77.....0,0140.....Cambridge.......0,0140.....Cambridge
8,0796....8,1......-0,0204.....Paris...............0,0204.....Paris
10,805....10,4.......0,4055.....Schlebusch.......0,2330.....Bologna40,5
11,533....11,3.......0,2330.....Bologna40,5.....0,3501.....Freiburg i. S.
27,7501...27,4......0,3501.....Freiburg i. S......0,4055.....Schlebusch

Sterntag...ber. ......Abw........Orte................sortiert
mm..........Wag.....v.Wag......d. Versuche......nach Abw.
______________________________________________________
1,7889......1,77...0,0189......Cambridge.......0,0018.....Paris
8,1018......8,1....-0,0018......Paris...............0,0189.....Cambridge
10,8351....10,4......0,4351.....Schlebusch.......0,2646.....Bologna40,5
11,5646....11,3......0,2646.....Bologna40,5.....0,4261.....Freiburg i. S.
27,8261....27,4......0,4261.....Freiburg i. S.....0,4351.....Schlebusch


Ich kann mir diese Merkwürdigkeit nicht erklären, Teufel auch, hab ich den Fehler gemacht,
kann Excel nicht mehr richtig rechnen und sortieren, oder liegt es an den Formeln oder an Wagenscheins berechneten Werten oder sonstwo dran? Natürlich möchte auch ich exakt denken können in dem Sinne, wie Gast das meint, aber hier, an der Tabelle, da komme ich nicht weiter.

Stellenwertsystem, ein wunderbares Bild aus alten Zeiten, wahrscheinlich ein Rechentisch, wie ihn Adam Riese auch noch hatte. Präziser wäre meine Frage so: Seit wann etwa wird das perfekte und fertige Stellenwertsystem in den Schulen gelehrt? Frankfurt verbietet 1494 die Ziffern, Antwerpen verbietet sie hundert Jahre später noch. Sicherlich gingen die Mathematiker und die Physiker als erste zum indischen Rechnen mit den Ziffern über, auch Adam Riese, der beides lehrte, den Rechentisch und daneben das neue indische Verfahren. Die Buchhaltung in den Städten aber wurde noch lange mit römischen Ziffern geführt. Ich frage nach dem ungefähren Zeitpunkt, ab dem das indische Rechnen ganz allgemein im Volke, in allen Schulen, aufgrund von staatlichen Verordnungen gewissermaßen, sich vollkommen durchsetzte. Allzulange kann das noch nicht her sein, wenn man bedenkt, daß der Münzfuß Karls des Großen in Frankreich bis zur Revolution herrschte und in England bis vor ein paar Jahren noch. Wie beurteilt Ihr als Mathematiker den umstrittenen Satz des Peano von 1890, nach dem eine Zahl nur einen Vorgänger und Nachfolger haben soll (so ungefähr) - in diesem Zusammenhang. Ich denke manchmal, er könnte sozusagen den Schlußstein zum heutigen Stellenwertsystem bilden. Preußen führte um 1868 das CGS-System ein, nach französischem Vorbild wohl. Das könnte auch einen Schub für das Zehnersystem bedeutet haben, zur allgemeineren Anerkennung desselbeln beigetragen haben, stelle ich mir vor.
Falls Tycho noch mit passus rechnete, womit dann Kepler und Newton. Oder anders: In der Bibel wurden zuweilen die ältesten Maßangaben durch „neuere“ wie Finger und Ellen ersetzt, (mir fallen keine geigneteren Wörter ein), hingegen durch die allerneuesten wie Meter und Kilometer wohl noch nicht.
Gast besitzt sicher ein besseres Werk über die Geschichte der Zahlen, als jenen Wikikram.
> einsilbig - zweisilbig < dürfte so richtig wohl nicht stimmen für alle Fälle in allen Sprachen. quatre, duo, sieben und sehr viele andere Gegenbeispiele, deka, decem. Sumerisch 9 illimu
aus ia (5) + limmu (4). Opa könnte bestimmt hunderte Gegenbeispiele aufzählen, wie gotisch ainlif, ahd. einlif, nhd. elf, auch griechisch tettares 4, um diese ungewöhnliche Theorie zu widerlegen. Vielleicht fällt dem Gast etwas ein zu meiner vermutlich selbstverkorksten Tabelle der sortierten Abweichungen?
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. März 2006 16:06    Titel: Antworten mit Zitat

Glückwunsch zum erfolgreichen Anfreunden mit dem Taschenrechner!

Opas Tabellen erscheinen mir überhaupt nicht verkorkst. Wenn man genauer hinsieht, hat auch die Abweichung des Wertes von Cambridge zugenommen, als Opa statt mit dem Sonnentag mit dem Sternentag gerechnet hat. Und weil Opa sorgfältig auch das Vorzeichen der Abweichung bei Paris mit angegeben hat, sieht man: Weil die Winkelgeschwindigkeit der Erde mit dem Sternentag größer ist als wenn man sie mit dem Sonnentag berechnet, sind auch alle damit berechneten Werte für die Coriolisablenkung größer geworden. Also passt das alles prima zueinander.

Wenn wir von exakter Erkenntnis reden, wenn wir Ergebnisse von Experimenten vorhersagen oder nachrechnen, dann müssen wir auch so exakt sein, dass wir nicht unsinnigerweise unser Rechenergebnis genauer angeben als das, was wir hineingesteckt haben. Sondern wir müssen am Ende der Rechnung unser Ergebnis sinnvoll runden.

Wie genau kennen wir die Angaben, die wir in die Formel eingesetzt haben?
Die Winkelgeschwindigkeit der Erde kennen wir nun mit dem Sternentag sehr genau.
Den Winkel der geographischen Breite kennen wir in jedem der Fälle mindestens ebenso genau wie die Fallhöhe.
Die Fallhöhe ist meist der am ungenauesten angegebene Wert.
Die gemessene Erdbeschleunigung g für Paris (g=9,809362 m/s^2) und für Bologna (g=9,804359) habe ich gefunden in einer Betrachtung der PTB Braunschweig, die sich mit der Kalibrierung von Präzisionswaagen befasst, die an unterschiedlichen Orten in Europa aufgestellt werden.

http://www.ptb.de/de/org/1/11/115/doc/gravzonen.pdf
Tabelle auf Seite 10, gemessene Werte "g_D".

(Ebenso findet sich in diesem Dokument übrigens die sogenannte WELMEC-Formel, die eine Abschätzung der Gravitationsbeschleunigung der Erde in Abhängigkeit des Breitengrades und der Höhe über dem Meer darstellt.)

Man sieht, wenn man sehr genau messen (hier: wiegen) kann, dann muss man auch sehr genau seine Messfehler korrigieren.

Wie genau die Werte waren, die Wagenschein zur Berechnung der Werte, die er angibt, verwendet hat, und wie genau die Formel war, mit der Wagenschein sie berechnet hat, das weiß ich nicht. Ich sehe nur, dass seine Werte einen sinnvollen Vergleich zu den experimentellen Werten ermöglichen, und dass er, wenn er ganz exakt hätte sein wollen (um die Kontrolle für fleißige Nachrechner zu ermöglichen), seine Rechenergebnisse mit einem Fehlerbalken versehen oder auf eine geltende Ziffer weniger gerundet hätte.

Ich erhalte mit den mir nun bekannten Daten (exakt berechnete und sinnvoll gerundete Werte):

Paris................ 8,102 mm ..... 8,1 mm
Cambridge ...... 1,789 mm .......1,8 mm
Bologna ........ 11,571 mm ..... 11,6 mm
Freiburg ........ 27,837 mm ..... 27,8 mm
Schlebusch .... 10,749 mm ..... 10,7 mm

Dabei habe ich für Paris und Bologna die oben gefundenen exakteren Werte für g verwendet, für die anderen Experimente habe ich mit 9,81 m/s^2 gerechnet.
In Paris und Cambridge ist die Angabe der Fallhöhe (zwei geltende Ziffern) für die Rundung des Ergebnisses maßgeblich, in Bologna und Schelbusch ist es die Fallhöhe (drei geltende Ziffern), und in Freiburg i.S. ist es die Erdbeschleunigung, die ich nicht besser als auf drei geltende Ziffern angeben bzw. einschätzen kann.
Opa



Anmeldungsdatum: 19.03.2006
Beiträge: 39
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Beitrag Opa Verfasst am: 26. März 2006 22:58    Titel: Antworten mit Zitat

In Bologna liegt noch ein Hund begraben, von dem mir kürzlich bereits trämte. Im Traume war er ein riesig breites Vieh, so rund 444 Kilometer breit. Erst versuchte ich ihn, mit dem Atlas zu verscheuchen, jetzt aber konnte ich, dank der Liste PTB Braunschweig, ihn nahezu exakt untersuchen, äbwägen und heraustreiben.
Er flüchtete sich wieder zurück in Wagenscheins Tabelle, wo er wohl auch hingehört, wenn ich es recht bedenke, denn es könnte sich um ein, darf ich’s vermuten, pädagogisches Vieh handeln.
Erst wollte ich gar den Leuten vom Wagenschein-Archiv vom Hund in Bologna schreiben, - es könnte ja ein Druckfehlerteufelchen gewesen sein, etwas, das man bei einer Neuauflage korrigieren könnte. Jetzt aber hat Opa sich die Idee von einem pädagogisch notwendigen Bologna-Hund in den Kopf gesetzt, ein in der Natur riesenbreites, in der kleinen Tabelle aber nur winzigkleines Tierchen, von tatsächlich manchmal übersehener Art, und gerade deshalb voll tückischer, doch wohlwollend gemeinter Ersprießlichkeit. Vielleicht lebte der Hund weiland in der Nähe der Universität von Bologna, bei manchen die erste Universität des Abendlandes, ein ehrwürdiger Stern jedenfalls am Himmel der Gelehrten. Mit neuem g und neuer Hundehütte, beide aus Braunschweig geliefert, kommt Opas Sterntagrechnung jetzt auf 10,842277, richtig? Das wären dann rund 7 Zehntelmillimeterchen weniger.
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 27. März 2006 03:09    Titel: Antworten mit Zitat

> Für Bologna gibt Wagenschein einen berechneten Wert von 11,3 an
> Phi = 40 Grad und 30 Sekunden. Fallhöhe 78,3 Meter.
> Beobachtete Abweichung 19 + - 2,5 mm, nach 16 Versuchen.

Später aber:

> Bologna40,5

Ich find für den Airport Bologna die Daten:
Höhe, 125 m ü. NN, Breite, 44°32'N, Länge 11°18'O

40°00'30" oder 40°30' oder 44°32'

Welche Breite ist die richtige?
Opa



Anmeldungsdatum: 19.03.2006
Beiträge: 39
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Beitrag Opa Verfasst am: 27. März 2006 08:34    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, lieber Gast, da hatte Opa zuallererst falsch abgeschrieben und aus Minuten Sekunden gemacht. Es treten diese, wenn es um Genauigkeit geht, ja schlimmen Fehler, besonders bei dem eigenen Abschreiben von Tabellen auf. Der große Gauß oder Gauss, habe ich mal gelesen, soll immer und immer wieder mit Vergnügen Tabellenwerte nachgerechnet und korrigiert haben.
Vorbildlich sachlich und nüchtern fand ich die Haltung, die hinter der Frage steht „Wie genau kennen wir die Angaben, die wir in die Formel eingesetzt haben?“ Die kann man nie oft genug stellen, anderen und sich selbst. Opa hat dann zweitens die falsche Angabe phi = 40,5 Grad ungeprüft übernommen, lange Zeit damit gerechnet und auch hierhin eingeschleppt.
Zuletzt aber übernahm er den Wert 44,50 aus der Braunschweiger Liste.
Damit, sowie mit dem verbesserten g, ebenfalls aus der Braunschweiger Liste, komme ich nun auf 10,842277 mm Ostabweichung, wenn ich diese Werte in die von euch gelernte Formel einsetze.
Solche Formeln kommen mir als mächtige Werkzeuge vor, und als ich die von euch gegebene Formel nun endlich zu beherrschen glaubte, - man kann damit ja dann in Excel ganz schnell ganz viele „Hundehütten“ oder „phi-Ställe“ und -stellen überprüfen -, da trug ich die Nase, ein paar Sekunden lang nur, um sieben Zehntelmillimeter höher.
Die Braunschweiger Liste gibt für Paris ein phi von 48,86. Mit Paris verbinde ich den Urmeter, Paris die Stadt der Genauigkeit. Sicher sind viele dorthin gereist, um den Urmeter zu kopieren.
In Wagenscheins Tabelle steht für Paris ein phi von 48 Grad, 50 Minuten Punkt 8.
(48° 50’ .8) Die 50 Minuten rechne ich um: 50 mal 1/60 Grad = 0,833 Grad. Damit ergibt sich ein phi von 48,833. Bei der Angabe Punkt 8 weiß ich nicht Bescheid. Was kann man damit noch anstellen? Sind es Sekunden, wohl kaum oder doch? Aber Kleinvieh macht auch Mist. So müßte man einen Astronomen zu Rate ziehen. Ich versuche es bei .8 mit Sekunden und setze somit noch 8/60 Sekunden ein. Nein, ich lasse sie weg, bis ich bessere Nachricht erhalte.
Das dürfte insgesamt schon eine Vergleichung ermöglichen:
alte Tabelle des W. 48,83 Grad - Braunschweiger Tabelle 48,86 Grad.
Somit sitzt im Pantheon, wo alle Götter der Freuden und Genauigkeit zusammenlaufen, nicht der riesige Bologna-Hund, sondern nur ein kleines Schoßhündchen. Die Differenz 48,86° minus 48,83° ist 3/100°. Wenn man nun geschätzt 1 Grad = 111 Kilometer nimmt, dann kommt Opa auf
3/100 von 111 Kilometer = 333/100 km = 3,33 km. Auf der Karte von Paris macht das Schoßhündchen einen Spaziergang vom Panthéon zu den Champs-Élysées, zu den himmlischen Gefilden, vielleicht zum Place de la Concorde?

Darf ich dem Gaste ein Werk empfehlen?
Karl Menninger, Zahlwort und Ziffer - Eine Kulturgeschichte der Zahl.
Es ist wohl d a s Standardwerk, mit viel Liebe geschrieben.
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 27. März 2006 13:12    Titel: Antworten mit Zitat

Um ehrlich zu sein, glaube ich, dass Opa beim Berechnen der 10,8 mm für Bologna irgendwo ein Eintippfehlerlein untergekommen ist.

Ich erhalte mit den exakten Werten die 11,6 mm, wie ich sie oben angegeben habe.

Als exakte Werte verwende ich:
1 Sternentag = 86164,099 s
g in Bologna = 9,804359 m/s^2
geographische Breite der Stelle in Bologna, an der der Versuch durchgeführt wurde: 40 Grad und 30 Winkelminuten = 40,50°
Fallhöhe h = 78,3 m

Ich verwende dabei den im Wagenschein für das Experiment angegebenen Winkel für die geographische Breite, da ich den Landvermessern zur Zeit der Durchführung der Experimente sehr wohl zutraue, diesen Winkel genau bestimmt zu haben.

Außerdem ist Bologna und vor allem auch Paris eine große Stadt, deren Ausdehnung einige oder gar viele Winkelminuten beträgt (Eine Winkelminute entspricht einer Seemeile, also knapp 2 km). Wo genau innerhalb dieser Städte der Versuch stattgefunden hat, sagt mir also nicht die Tabelle der PTB, sondern die Messangaben zu den Versuchen.

Ein Fehlinterpretieren der 30 Winkelminuten aus Bologna als 30 Winkelsekunden macht einen Fehler für die Coriolisablenkung von 0,74 %, und damit fast einem Zehntelmillimeter, der sich bemerkbar macht, wenn man das Ergebnis auf drei geltende Stellen gerundet angibt.

Die Frage, wie die Winkelsekundenangaben zu interpretieren seien, kann uns für unsere Genauigkeit allerdings egal sein, da eine Winkelminute nur einen Unterschied von 0,025 % im Ergebnis bewirkt. (Ich interpretiere 48°50'.8 als 48 Grad und 50,8 Winkelminuten =( 48+(50,8/60))° )

Die Korrektur für den Sternentag ist ebenfalls ein kleiner Effekt: Das Ersetzen von 86400 s durch 86164,099 s erhöht das Ergebnis für die Coriolisablenkung nur um 0,27%.

Und das Verwenden nicht von 9,81 m/s^2, sondern des exakten gemessenen Wertes g=9,804359 m/s^2 für Bologna macht die berechnete Coriolisablenkung nur um 0,029 % größer.

Wir sehen, die Feinkorrekturen am Sternentag, an der Erdbeschleunigung und am Breitenwinkel liegen in einer viel kleineren Größenordnung (nämlich 0,1 mm bis 0,01 mm) als die 0,7 mm Unterschied, die Opa beim letzten Eintippen erhalten hat.

// edit: Das Tippfehlerchen im g korrigiert


Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 27. März 2006 18:41, insgesamt einmal bearbeitet
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 27. März 2006 17:09    Titel: Bologna 444 Antworten mit Zitat

> Ich verwende dabei den im Wagenschein für das Experiment angegebenen Winkel für die geographische Breite, da ich den Landvermessern zur Zeit der Durchführung der Experimente sehr wohl zutraue, diesen Winkel genau bestimmt zu haben. <

Wagenschein schreibt: „Es dauerte über hundert Jahre, bis Newtons Anregung ... durch GUGLIELMINI im Turm Asinelli in Bologna 1791/92 ein - noch sehr fragwürdiges - Ergebnis lieferte. Seine Unzulänglichkeiten interessieren die Schüler. Es würde sich lohnen, alle Originaltexte von 1679 bis 1903 zusammenzustellen.“

- Giovanni Battista Guglielmini, noto per le importanti esperienze sulla caduta dei gravi eseguite dalla Torre degli Asinelli - (im Netz gefunden).

In der gegebenen Tabelle stand Bologna 40° 30’ für phi. Im Atlas von Diercke liegt Bologna bei 44 und einem halben Grad. In heutigen Zeiten entspricht ein Breitengrad ungefähr 111 Kilometern.
Das macht einen Unterschied von 4 Graden oder 444 km.
Wo kann der Fehler von 444 Kilometern stecken?

a) Das Gradnetz der Erde könnte vor hunderten von Jahren noch nicht so exakt festgesetzt gewesen sein wie heute. Das dürfte gewiß der Fall gewesen sein, aber nicht in der Weise, daß bei 4 Breitengraden ein Unterschied von 444 Kilometern zustande kommt. Schließlich hatte doch Eratosthenes (ca. 275 bis 195 v. Chr.), der Direktor der großen Bibliothek von Alexandria, den Erdumfang mit 39 690 Kilometern berechnet, (nach heutigen Maßangaben, Quelle G. Prause, Niemand hat Kolumbus ausgelacht). Teilen wir diesen Wert durch 360, dann läge von einem Breitengrad zum nächsten ein Abstand von 110, 25 Kilometern.

b) Es war der Druckfehlerteufel. Seit 1792 dürfte das Ergebnis von Bologna mehrfach veröffentlicht worden sein. Wagenschein zitiert seine Quelle: W. Brunner, Dreht sich die Erde? Bd 17 der „Mathematischen Bibliothek“, Teubner, Leipzig u. Berlin, 1915.
Brunner wiederum konnte ich nicht überprüfen. Es besteht die Möglichkeit, daß Brunners Quellen bereits den falschen Wert mitgeschleppt haben usw. die Quellen dieser Quellen.

c) Es handelt sich um einen pädagogischen Bologna-Hund Wagenscheins, auf den wir gestoßen sind, und dem wir mit den gefundenen Braunschweiger Werten nun auf den Leib rücken können.
Meine Rechnung benutzt jetzt die folgenden Werte:
phi 44,50 Grad; Fallhöhe 78,3 m; Sterntag 86164; g 9,804359; (dermarkus gibt noch einen zweiten Wert für g „9,04359“, ein Tippfehlerchen?)
Mit diesen eingesetzten Werten, bei g zweimal 9,804359, liefert die Formel bei mir 10,8422774 mm Ostabweichung. Ist die Formel richtig angewandt?



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dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 27. März 2006 18:47    Titel: Antworten mit Zitat

In der Tat, ein Tippfehlerchen meinerseits beim g. Ich hab es gleich oben korrigiert.

Jetzt verstehe ich das! An so eine Riesenabweichung im Breitengradwinkel hatte ich nie und nimmer gedacht! Mein Diercke-Atlas sagt dasselbe wie Opas, und der Torre Asinelli steht in der Tat in dem Bologna, von dem wir sprechen. Ich bin für die Erklärung b) (Druckfehlerteufel), und ich bin einverstanden, dass die Korrektur nun, wie Opa sagt, einen deutlich kleineren Wert für die berechnete Coriolisablenkung ergibt! (Mein Taschenrechner sagt 10,8506 mm, wenn ich Opas letztgenannte Werte einsetze.)
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 28. März 2006 02:08    Titel: Antworten mit Zitat

> Mein Taschenrechner sagt 10,8506 mm ..

Mein Bildschirm-Rechner auch, hier sind die Rohdaten (copy) zum Vergleich für Opa:

sc = cos(b)*(1/3)*w*g*(2*h/g)^(3/2)

h = 78.3 m
b = 44.5°
g = 9.804359 m/s^2
w = 7.292115138556241e-5 1/s (wsid, entspricht 2pi/86164.099)

sc = 1.085056493712043e-2 m = 10,85 mm

Wenn g nicht verfügbar sein sollte dann hilft die 'amtliche' Gleichung

g = 9,780318*(1 + 5.3024e-3*sin^2(b) - 5.8e-6*sin^2(2*b)) - 3.085e-6*a

mit b = geogr. Breite und a = Höhe über NN (e steht für 10^, z.B. e-3 = 10^-3).
Für Bologna 44.5° und a = 125 m liefert sie g = 9.805352711962246e+0.
Mit diesem Wert wird sc = 1.085001510430531e-2 m; ich denke 10,85 mm
darf nunmehr als korrekter Wert beschlossen und verkündet werden.

Eigentlich ein schönes Javascript-Projekt, man müsste nur noch
h und b eintippen (g nur wenn vorhanden) und auf CALC drücken..

-------

Wieder zurück zum Ursprungsthema, der rätselhaften Gravitation.
Opa hat Descartes erwähnt mit seiner Vermutung, die Ursache sei 'draußen' zu finden
und nicht drinnen, in der Materie. Ist das bei Wagenschein weiter ausgeführt oder nur
als zwar exotische aber längst vertrocknete Blüte des Denkens vermerkt?

Ich frage deshalb, weil ich gerade ein Buch lese, in dem eine solche Theorie entwickelt
wird, in der Tradition von LeSage, aber in modernerem Gewand. Der alte Aether tritt auch
wieder auf, aber nicht als materieller mit unvereinbaren Eigenschaften, sondern als eine
Erscheinungsform des lokalen Gravitationspotentials. Und das GPS wird benutzt als eine
riesige und extrem präzise Version des Michelson-Morley Experiments. Spannend bis jetzt..

does gravity push or pull? -- it sucks! (Aufdruck auf einem T-Shirt)
Opa



Anmeldungsdatum: 19.03.2006
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Beitrag Opa Verfasst am: 28. März 2006 03:00    Titel: Bologna-Hund erlegt Antworten mit Zitat

> Mein Taschenrechner sagt 10,8506 mm <
Das fand ich sehr befriedigend, denn mein Taschenrechner sagt auch 10,8506mm. Von Excel stammte 10,8422774. Falsch, es stammte von mir, ich hatte den Inhalt aus einer falschen Zelle herüberkopiert. Seh ich erst jetzt, tut mir leid. Da sehe ich wieder, wo man doch überall Fehler machen kann, und dann trotzdem meint, es sei richtig. Jetzt sehe ich den richtigen Wert 10,850577 in der Zelle daneben stehen. Drei Anläufe mit dem Windowsrechner mußte ich machen, bis ich meinen Kopierfehler dann endlich doch noch fand.

> und ich bin einverstanden, dass die Korrektur nun, wie Opa sagt, einen deutlich kleineren Wert für die berechnete Coriolisablenkung ergibt! <
Wenn ich wüßte, was eine Coriolisablenkung sei, dann wäre mir wohler. Bislang benutzte ich den mir verständlicheren Ausdruck Ostabweichung, die ja beobachtet wurde, und die wir mit Hilfe geheimnisvoller Formeln berechnet haben.
Merkwürdigerweise wurde Coriolis im Jahre 1792 geboren, als in Bologna die Versuche am Asinelliturm stattfanden, 113 Jahre nach Newtons Vorschlag. Die weiteren Versuche, Benzenberg 1802 zu Hamburg innerhalb des Michaelisturms, Benzenberg 1804 im Kohlenschacht zu Schlebusch, heute gehört der Ort wohl zu Leverkusen, dann Reich 1831 zu Freiburg in Schlesien, - die liegen alle vor der Zeit der „Coriolisablenkung“. Also bleibe ich aus historischen Gründen besser bei dem Ausdruck Ostabweichung. Denn es geht doch um die Frage, ob die Erde sich dreht, und ob Kindern der Volksschule bzw. Hauptschule dieses klar und verständlich vermittelt werden kann, ob also eine beobachtete Ostabweichung einen Beweis für das Herumdrehen der Erde ist, sobald man mit Galilei und Newton an die „Trägheit“ glaubt, was ja schon schwer genug zu verstehen ist. Gleichwohl ist Opa neugierig, ob in unserer Formelrechnerei ein Corioliseffekt schon drinsteckte und ob die Physiker in ihrem Sprachgebrauch überhaupt Ostabweichung mit Coriolisablenkung gleichsetzen?

Ich setze noch ein gif in den Anhang.
Das Bild mußte um etwa dreißig Prozent verkleinert werden, erscheint also nur fast im Maßstab 1:1. Die 144 kleinen polierten Stahlkugeln im Panthéon fielen anscheinend alle auf eine Fläche, die einem halben Blatt Papier entspricht. Und das als ein Beweis für die Umdrehung der riesigen Erde. Zugleich sieht man, wie durch viele Wiederholungen ein Versuchsergebnis zustandekommt.
Unten steht Wagenscheins zusammenfassender Satz:

Die Erde dreht sich wirklich! Von hohen Türmen fallende
Körper schleudert sie merklich nach Osten voraus.



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Opa



Anmeldungsdatum: 19.03.2006
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Beitrag Opa Verfasst am: 28. März 2006 05:21    Titel: Antworten mit Zitat

Edler Gast, nun sind wir, glaube ich, auf dem Place de la Concorde angelangt. Ich habe viel hier lernen können.
Wagenschein erwähnt den Descartes auf den ersten Blick nur kurz in einer Fußnote. Die ganze Arbeit heißt „Die Erfahrung des Erdballs“. Vielleicht suchst Du mal nach dem Wagenschein-Archiv per Google. Ich meine, gesehen zu haben, daß einige Aufsätze als PDF zur Verfügung stehen.
Wenn auch der genannte Titel darunter ist, dann sollte man auf das Nachwort 1970 achten. Denn dann wäre es die vollständige Fassung der Arbeit, wie sie zuletzt bei Klett veröffentlicht wurde, aus der ich zitiert habe. In meinem Buch umfaßt der Abdruck ca. 32 Seiten.
Menninger kanntest Du schon? Ein absolutes Muß für jeden Mathematiker und Historiker. Es gibt da nichts Besseres auf dieser Welt, ein Nachschlagewerk fürs ganze Leben. (Letzter Nachdruck 1989, dürfte in Leinen rund fünfzig E kosten). Mein Rat, ehe es wieder für Jahrzehnte vergriffen ist, ...
dermarkus
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Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 28. März 2006 12:19    Titel: Antworten mit Zitat

Mit Coriolisablenkung meine ich in der Tat genau dasselbe wie die Ostabweichung. Denn ich habe die oben verwendete Formel für die Größe der Ostabweichung mit der Formel für die Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem hergeleitet. Und damit ausgerechnet, um welche Strecke s_c der fallende Körper vom Lot horizontal nach Osten abweicht, weil sich die Erde dreht.

Also : s_c = Coriolisablenkung = Ostabweichung = Abstand vom Lotpunkt zum ein bisschen weiter östlich gelegenen tatsächlichen Auftreffpunkt.

Weil also Coriolis eine so schöne elegante theoretische Beschreibung dieses Phänomens gefunden hat, kennt man diesen Effekt heute unter seinem Namen, auch wenn ihn schon andere vor ihm gemessen und beschrieben haben.
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 28. März 2006 14:32    Titel: Antworten mit Zitat

Dank an Opa für die Literaturhinweise, das Wagenschein-Archiv habe ich gefunden und dort auch "Die Erfahrung des Erdballs", samt Nachwort von 1970, dazu noch "Die Erde unter den Sternen" sowie "Zusammenhänge der Naturkräfte", also erstmal genug Stoff zu verdauen.

Die 'Ostabweichung' die wir hier zum Thema hatten ist in der Tat nur ein Teilaspekt des nach Coriolis benannten Effekts, der eigentlich dreidimensional ist, und auch bei Bewegungen entlang der Erdoberfläche zur Ablenkung der Bewegung führt. Ein Beispiel dafür ist etwa die Ablenkung von Luft- oder von Wasserströmungen. Das Bild unten zeigt einen solchen Fall in der Bewegung von treibenden Bojen, es stammt aus dem schon erwähnten Papier von Anders Persson 'The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics', dessen Lektüre mir, zusammen mit Markus' dankenswerten Ausführungen, sehr dabei geholfen hat, mich von der 'flache Erde' Vorstellung zu verabschieden, die übrigens auch Wagenschein, zumindest explizit, nicht überwindet bei seiner Darstellung der Ostabweichung. Allerdings geht es ihm auch nur um die qualitative Begründung, und dafür genügt der intuitiv leicht erfassbare Geschwindigkeitsunterschied zwischen 'oben' und 'unten' oder 'außen' und 'innen' von dem ich zunächst auch ausging. Aber es steckt wesentlich mehr dahinter. Ganz kurz gesagt, der Coriolis-Effekt sorgt für eine Ablenkung, die stets senkrecht sowohl zur Drehachse des rotierenden Bezugssystems als auch zur Richtung der Bewegung zeigt. Als eine Scheinkraft ändert die Coriolis-Kraft niemals den Betrag der Geschwindigkeit der abgelenkten Masse (also seine Bewegungsenergie), sondern allein die Richtung. Die Folge davon ist die Bewegung auf einer Kreisbahn, was im Bild sehr schön zu erkennen ist. Da es sich um einen Trägheitseffekt handelt könnte man auch sagen, er sorgt dafür, dass die Dinge da zu bleiben versuchen, wo sie schon sind, in diesem Fall aber auf sehr dynamische Weise.



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Beitrag Opa Verfasst am: 29. März 2006 22:31    Titel: anderer Blickwinkel Antworten mit Zitat

Unten im Bild, aus einem anderen Blickwinkel, die beiden Türme. Torre degli Asinelli erscheint so auch etwas größer.
Aus einem alten Lexikon, mit dem auch mir neuen Kanonenversuch:
„Ein Haupteinwand, der gegen die Rotation der E. erhoben wurde, namentlich von Tycho Brahe und Riccioli, war der, daß bei einer Drehung der E. um ihre Achse ein frei fallender Körper nicht senkrecht unter seinem Ausgangspunkt, sondern westlich von demselben auf die E. kommen müßte, weil die letztere während des Falles sich ein Stück nach O. drehe. Bei Fallversuchen, die Riccioli 1640 an einem Turm zu Bologna anstellte, hatte er von einer solchen Abweichung nichts wahrnehmen können.
Auch Mersenne und Montier stellten darauf bezügliche Versuche an, indem sie aus senkrecht in die E. gegrabenen Kanonen Kugeln abschossen, die aber, wie nicht anders zu erwarten, keinerlei Entscheidung lieferten.
Der ganze Einwand ist indessen falsch, wie zuerst Newton zeigte. Denn wenn aus dem höher liegenden Punkt ein Körper herabfällt, so behält er die seinem Ausgangspunkt entsprechende größere Geschwindigkeit während des Falles bei, er eilt daher dem senkrecht unter dem Ausgangspunkt liegenden Punkte der E. in der Richtung nach O. voraus, und er muß also nicht westlich, sondern weiter östlich auf die E. fallen. Die zur Prüfung dieser Theorie von Hooke angestellten Versuche blieben freilich erfolglos, weil die gewählte Fallhöhe von 27 Fuß zu klein war, und ebensowenig Erfolg hatten die 1791 von Gulielmini in einem Turm zu Bologna angestellten Versuche. Aber 1802 wiederholte Benzenberg diese Versuche am Michaelisturm zu Hamburg bei 235 Fuß und 1804 in einem Kohlenschacht bei Schlebusch in der Grafschaft Mark bei 262 Fuß Fallhöhe. Am erstern Ort erhielt er 4,3, am letztern 5,1 Linien Abweichung, während Gauß 4,0 und 4,6 berechnete. Versuche endlich, welche Reich 1831 im Dreibrüderschacht bei Freiberg bei 488 Fuß Fallhöhe ausführte, ergaben 12,6 Linien Abweichung nach O. Die Theorie verlangt übrigens auch eine äußerst unbedeutende Abweichung nach S.“
Fehler ???
1) Gulielmini, 2) am Michaelisturm, 3) Reich 1831 im Dreibrüderschacht bei Freiberg;
1) W.: Guglielmini mit g, 2) W.: im Michaelisturm;
3) W.: Freiburg i. S.
http://www.geophys.tu-bs.de/geschichte/reich.html

Freiburg in Schlesien oder Freiberg in Sachsen, bisher haben wir mit 50 Grad und 33 Minuten gerechnet. Müssen wir das jetzt ändern? Nicht, daß wir wieder mit womöglich 444 km Unterschied rechnen.

Zugleich eröffnet sich die Gelegenheit, einen ausgewiesenen Rechner, den größten Mathematiker aller Zeiten sogar, zu Rate zu ziehen. Leider gibt er (nach Meyers Konv. Lexikon im Netz) keine Millimeter an, sondern Linien (und wohl auch Füße).

Über Coriolis muß ich noch lernen, zumal bei manchen Artikeln im Netz doch schon noch das Wort Ostabweichung im Gebrauche ist.
Im Anfang der Nachprüfung der Tabelle von W., da gab es auch den Ansatz, wenn ich mich nicht irre, die „Herumschleudergeschwindigkeiten“ vom Erdboden und vom Turm (Asinelli) getrennt voneinander zu berechnen. Wenn man die Fallhöhe zu 78,3 Metern hat, den Breitengrad zu 44,5 hat, den Wert für g zu 9,804359 hat, die Erdzeit in Sekunden (24 mal 60 mal 60) festsetzt, dann scheint nur noch der Radius der Erde zu fehlen. In welcher Größe wollen wir diesen nun festsetzen, damit man die beiden Aufgaben gemeinsam rechnen kann?
Also mal ohne Corioliseffekt, denn da müßte doch auch etwas herauskommen. Dann könnte man vielleicht mit Gaußens Linien in den anderen Fällen, Schlebusch und Hamburg, vergleichen, vorausgesetzt, man wüßte, was ein Fuß und was eine Linie denn sind, oder aber man könnte deren Maßverhältnis erschließen aus den Rechnungen oder aus den alten Angaben des alten Lexikons.
Gauß, 30. 4. 1777 - 23. 2. 1855, hat ja von Coriolis, 1792 bis 1843, durchaus wissen können. Wenn wir also aus beiden Blickwinkeln vorgehen, einmal ohne und einmal mit Coriolis, dann können wir vielleicht auch ungefähr sehen, ob Gauß die Coriolisablenkung mitverechnet hat, oder nicht?



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Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 30. März 2006 02:45    Titel: Antworten mit Zitat

> Die Theorie verlangt übrigens auch eine äußerst unbedeutende Abweichung nach S.

Das ist der Tat richtig, ich verweise auf die knappe Beschreibung des Coriolis-Effekts in meinem vorigen Beitrag. Sie ist eine Folge der ostwärtigen Ablenkung die aus der Abwärtsbewegung resultiert. Im Bild unten ist eine Tabelle, in der die Bewegungen und Ablenkungen in drei Richtungen qualitativ dargestellt sind. Die Ostabweichung ist nur eine Komponente, sie ist in der rechten Spalte zu finden. Eine Bewegung in Richtung Osten hat ein Ablenkung in zwei Richtungen zur Folge, einmal südwärts (in der Tabelle als 'Nordwärts -1') und gleichzeitig auch aufwärts ('Abwärts -1'). Für die Südablenkung ist allerdings der Sinus der Breite als Faktor im Spiel, dieser Effekt ist am Äquator null, während die Ostablenkung dort maximal ist. Durch diese komplexe Dynamik kommt die im letzten Beitrag gezeigte Schleifenbahn der treibenden Bojen zustande, was als Trägheitskreis bezeichnet wird.

Als Merkhilfe für die Richtung der Ablenkung kann man die für solche Zusammenhänge gern verwendete Drei-Finger-Regel benutzen, auch UVW-Regel genannt, weil sie Ursache, Vermittelung und Wirkung verknüft. Hält man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand senkrecht zueinander dann zeigt der Daumen in Richtung der Bewegung (weg von der Achse), der Zeigefinger nach oben (Rotation, Erdachse, Norden) und der Mittelfinger zeigt in Richtung der Ablenkung (Westen). Bei einer Bewegung entgegen der Richtung des Daumens (dann abwärts, in Richtung Achse, Fall) zeigt die Ablenkung dann auch entgegengesetzt zur Richtung des Mittelfinger, also Osten. Ich wünsche ein fröhliches Fingerbiegen, das hält die Gelenke in Form ;-) man kann sich das aber auch aufzeichnen.

Das Ergebnis der Ostabweichung bei alleiniger Betrachtung der unterschiedlichen Geschwindigkeiten (oben schneller als unten) steht zur wirklichen Ablenkung im Verhältnis 3:2, das hatte ich früher schon ausgeführt und mit einem Bild zu Galileis 'flache Erde' Näherung illustriert. Die Gleichung dafür ist s=cos(b)*w*h*Wurzel(2*h/g), den Erdradius braucht man dafür nicht, weil nur die Differenz der Bahngeschwindigkeiten bei Radius 'oben' (w*ro) und 'unten' (w*ru) auftritt, ro-ru ist aber die Fallhöhe h, daher kommt das Produkt w*h in der genannten Gleichung, die nichts weiter ist als die Beschreibung der Weite eines horizontalen Wurfs. Zusätzlich ist noch g, die Breite und die Winkelgeschwindigkeit der Erde w nötig. Das korrekte Ergebnis erhält man durch Multiplikation des so gefundenen Werts mit 2/3.



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Beitrag dermarkus Verfasst am: 30. März 2006 13:08    Titel: Re: anderer Blickwinkel Antworten mit Zitat

zu den "Fehlern":
1) Ich halte die italienische Schreibweise "Guglielmini" für richtig.
2) kann ich nicht beurteilen, ich war noch nicht im oder am Michaelisturm
3) hier erscheint mir Freiberg in Sachsen glaubhafter, da die Quelle, die Opa gefunden hat, mehr Details zu kennen scheint als Wagenschein.

Zum Minieffekt Südabweichung: In der Tat erfährt der fallende Körper auch eine Südabweichung. (Dies gilt allerdings nur auf der Nordhalbkugel der Erde, auf der Südhalbkugel wäre es umgekehrt.) Und in der Tat ist diese Südabweichung sehr, sehr klein, nämlich prozentual etwa um soviel kleiner als die Ostabweichung, wie die Ostabweichung kleiner als die Fallhöhe ist.

Da die Rechnungen von Gauß sehr gut mit den Messergebnissen übereinstimmen, wird er die Ostabweichung korrekt berechnet haben, (wenn er gerechnet hätte wie Galilei, dann wäre sein Ergebnis um die Hälfte zu groß gewesen, wie Gast richtig erklärt hatte). Das spricht dafür, dass man die Umrechnung von Fuß in Meter und die Umrechnung von mm in Linien herausfinden kann, wenn man den korrekten Breitengrad des Versuchsortes kennt Augenzwinkern und die Angaben zu Gaußs Ergebnissen mit den Berechnungen mit unserer oben verwendeten Formel vergleicht.


Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 30. März 2006 15:33, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 30. März 2006 13:29    Titel: Antworten mit Zitat

Zur Verwendung der Dreifingerregel, die Gast beschreibt, möchte ich Verwirrungen vorbeugen. Das Prinzip "Ursache, Vermittlung, Wirkung" ist eine Merkregel, die hier für mein Gefühl nur zufällig zum richtigen Ergebnis geführt hat.

Die Corioliskraft ist



Das Kreuzprodukt bildet ein Rechtssystem.

Die Richtung des Vektors, der das Kreuzprodukt von omega und v ist, ermittelt man also folgendermaßen mit der Dreifingerregel der rechten Hand:

Der rechte Daumen zeigt in Richtung der Drehachse der Erde (die zeigt von Süd nach Nord), der rechte Zeigefinger zeigt in Richtung der Geschwindigkeit v; dann zeigt der rechte Mittelfinger (senkrecht zur von den Vektoren omega und v aufgespannten Ebene) in die Richtung des Kreuzproduktes von omega mit v.

Da die Corioliskraft wegen dem Minuszeichen in der Formel in die entgegengesetzte Richtung dieses Kreuzproduktes zeigt, muss man die Richtung des erhaltenen Vektors dann noch invertieren. Statt dessen kann man in diesem Fall komplett die Dreifingerregel der linken Hand nehmen, um dieses Minuszeichen zu berücksichtigen:

Also: zeigt der linke Daumen in Richtung der Drehachse der Erde und der linke Zeigefinger in Richtung der Geschwindigkeit des Körpers, dann zeigt der linke Mittelfinger in die Richtung der Corioliskraft (senkrecht zu diesen beiden Vektoren) auf diesen Körper.

----------------------------------

Wendet man dies auf der Nordhalbkugel an, (dort entspricht eine Bewegung nach Norden einer Annäherung an die Erdachse) dann sieht man zusätzlich zu dem, was wir schon wissen, dass eine Bewegung in östliche Richtung eine Corioliskraft nach Süden bedeutet, und dass eine Bewegung in westlicher Richtung eine Corioliskraft nach Norden bedeutet.
Ebenso gibt es für eine Bewegung nach Norden eine Corioliskraft nach Osten, und für eine Bewegung nach Süden eine Corioliskraft nach Westen.

Dies stimmt mit Gasts Bild für die Bojenbewegung in der Ostsee überein, und erklärt nun auch anschaulich, warum einer der ersten experimentellen Hinweise auf die Existenz der Corioliskraft die Tatsache gewesen sein kann, dass Kanoniere feststellten, dass ihre Kanonenkugeln aus einem seltsamen, ihnen unerfindlichen Grund ihr Ziel verfehlten, obwohl sie es richtig anvisiert hatten.
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 30. März 2006 19:07    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden, Daumen rauf, das ist auch eine wesentlich angenehmere Position.
Die Sachen klären, die Hand entspannen, frei nach Hentig.

Hier ist ein, wie ich finde, erstaunliches Experiment von Geoffrey Ingram Taylor. Links im Bild wird ein tropfen Tinte in ruhendes Wasser getropft und verteilt sich in Form einer Wolke wie man das erwarten würde. Rechts rotiert der Behälter samt Wasser, und die nahe dem Rand eingetropfte Tinte bildet jetzt eine senkrechte Säule, denn nur die Bewegung parallel zur Drehachse führt nicht zu einer Ablenkung durch den Coriolis-Effekt.



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Beitrag dermarkus Verfasst am: 30. März 2006 20:12    Titel: Antworten mit Zitat

Und jede Bewegung senkrecht zur Drehachse führt zu einer Corioliskraft und damit zu einer Kreisbewegung der Tinte, und damit kommt die Tinte senkrecht zur Drehachse nicht weit, sondern kreiselt dort, wo sie ist.

Ein schönes Experiment! smile
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 30. März 2006 21:08    Titel: Antworten mit Zitat

Drei Fragen
> Die Gleichung dafür ist s=cos(b)*w*h*Wurzel(2*h/g), den Erdradius braucht man dafür nicht, weil nur die Differenz der Bahngeschwindigkeiten bei Radius 'oben' (w*ro) und 'unten' (w*ru) auftritt, ...<
Opa meint, doch den Erdradius benutzen zu müssen, da ja sonst die ganze Erde ihm zu verschwinden droht. Wenn er mit Kosinus rechnet, dann entspricht - nach dem Satz Kosinus (alpha) = Ankathete zu Hypotenuse - die Hypotenuse dem Erdradius.
Daraus folgt für mich, der Erdradius ist in diesen Formeln allgegenwärtig.

> Die 'flache Erde' Vereinfachung liefert s=w*h*Wurzel(2*h/g), aber die 'rückwärts' gerichtete Beschleunigung nimmt 1/3 davon wieder weg, .. <

Also, habe ich daraus geschlossen, beträgt die Ostabweichung ohne Coriolis 3 Drittel, und die Coriolisablenkung nimmt ungefähr1/3 davon dann weg. Demnach bleiben rund 2 Drittel der oben am Turm schnelleren Bewegung erhalten, was sich dann am Erdboden in Millimetern nachmessen ließ.
(1) Ist das so richtig ausgedrückt?
(2) Falls ja, dann bleibt die Frage nach einem Namen für das ursprüngliche 3/3, jetzt nur noch 2/3??

Ich möchte noch zu fragen wagen, in welchem Alter ein Schüler heute den Kosinussatz kennen lernt. Zu meinen Schulzeiten war das in U II, im Alter von 16 Jahren.
In der Volksschule gab es überhaupt keinen Sinus oder Kosinus. Stellt Gast sich vielleicht vor, daß man den jüngeren Kindern, den 13-, 14- und 15jährigen nun nichts über den Erdball sagen darf, ganz im Gegensatz zu Wagenschein? Der schrieb: „Annähernd Wahres verstehen ist besser, als ganz Wahres unverstanden nachreden.“ (Quelle: Wagenschein, Die pädagogische Dimension der Physik, 1971, S. 272).
(3) Geht es hier in diesem Forum nicht auch um pädagogische Dimensionen???
Gruß an Gast und Markus
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 30. März 2006 21:56    Titel: Antworten mit Zitat

Dass der Kosinus gleich dem Verhältnis von Ankathete zu Hypothenuse ist im rechtwinkligen Dreieck, das lernen die Schüler heute ungefähr in der neunten Klasse, also in ihrem neunten Schuljahr, also immer noch ungefähr mit 16 Jahren.

Unter dem Begriff Kosinussatz verstehen die Mathematiker genaugenommen etwas anderes.

(2) Für das ursprüngliche "3/3" schlage ich die folgenden Bezeichnungen vor:
*Ostabweichung nach Galilei
*Galileis Wert für die Ostabweichung mit der Näherung einer flachen Erde
*Galileis Abschätzung der Ortsabweichung, die zu groß geraten ist, weil er vergaß, zu berücksichtigen, dass die Fallbeschleunigung der Erde während des Falls ihre Richtung ändert.
*Coriolisablenkung plus Rechenfehler durch falschen Ansatz

(1) Mit Coriolisablenkung meine ich in der Tat ganz genau dasselbe wie die Ostabweichung. Beides beträgt 2/3 von Galileis Wert. Coriolis hat gezeigt, wie man den Effekt im rotierenden Bezugssystem berechnen kann; vor Coriolis konnte man den Effekt auch schon berechnen, brauchte aber dazu die etwas komplizierteren Überlegungen für eine Rechnung im nichtmitrotierenden Bezugssystem. In welchem Bezugssystem man die Ostabweichung=die Coriolisablenkung berechnet, ist egal (solange man dabei keine Fehler macht).

(3) Pädagogisch sein heißt ja nicht, auf das Handwerkszeug zu verzichten, was beide, der Erklärende und der Lernende, schon zur Verfügung haben. Es ist ja oft sogar viel didaktischer, beim Lernenden das als bekannt vorauszusetzen, was er schon kann, denn sonst geriete die Erklärung unnötig langwierig oder bliebe unnötig vage und unquantitativ.
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 31. März 2006 00:02    Titel: Antworten mit Zitat

> war noch nicht im oder am Michaelisturm <

Google: Benzenberg Hamburg Fallversuche > Sterne ueber Hamburg,
aus diesem Bericht ein paar Zeilen:

„Da Repsold ein 8 zölliges Passageinstrument gemacht hat, welches die Fehler der Zeitbestimmung bis auf ½ Sek. einschränkt, so hat man Hoffnung, endlich einmal die wahre Länge von Hamburg zu erhalten".

Die Zwischenböden des Turms hatten alle in der Mitte Falltüren. Wenn diese alle geöffnet wurden, stand ein durchgehender Schacht von 110 m Höhe zur Verfügung.

„Ich ließ die Kugeln ... fallen, und Karstendik war unten, um Acht zu geben, daß niemand über die Stelle ginge, wo die Kugeln hinfielen. Eine der Kugeln fiel so auf die Bretter, daß diese auseinanderflogen, und Karstendik, der dies sieht, geht hin, um sie wieder zusammenzuschieben. - Der Bediente, welcher mir bey diesen Versuchen immer treulich half, sah aber nicht hinunter, weil er gerade einen Faden an einer Kugel befestigte. Ich selbst konnte bey der Beobachtung nicht hinunter sehen und schneide die folgende Kugel los, welche so dicht an Karstendik vorbey fällt, daß sie ihm den Hut und die Perücke abschlägt und etwas an der backe streift.... Als ich hinunter kam, saß er auf einer Todtenbaare, und konnte sich von seiner Alteration noch nicht wieder erholen. Ein Schluck gebranntes Wasser und der Dialog thaten indeß bald ihre gewohnte gute Wirkung."


> wenn man den korrekten Breitengrad des Versuchsortes kennt und <

Im Diercke fand ich (auch?), daß Freiburg i. S. und Freiberg i. S. merkwürdigerweise ziemlich genau auf dem gleichen Breitenkreis liegen.

> man die Umrechnung von Fuß in Meter und die Umrechnung von mm in Linien herausfinden kann <

Damit steht fest, daß alle Meter- und Millimeterangaben der Tabelle „falsch“ sind.
Man muß also zu den Quellen gehen, dahin, wo noch Füße und Linien im Originalbericht stehen. Der erste Schritt rückwärts zu den Originalen wäre W. Brunner, Dreht sich die Erde?
Teubner, Leipzig u. Berlin 1915, (Bd. 17 der „Mathematischen Bibliothek“).
In Brunner dürften dann ältere Quellen angegeben sein.
Ich weiß aber nicht, ob der Markus an solchen alten Linien und Füßen interessiert ist.
Man gerät dann in die Zeit der alten Maße hinein, in jedem deutschen Land u. U. andere Längenmaße, in Sachsen gar hatten Dresden und Leipzig verschiedene Füße.
Wichtig erscheint mir, daß Reich aus Paris einen Urmeter mit nach Sachsen brachte, der dann auch amtlich eingeführt wurde, als erster in einem deutschen Land.
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 31. März 2006 00:33    Titel: Antworten mit Zitat

Opa findet mit seinen Recherchekünsten sehr schöne Dinge, selbst den Breitengrad von Freiburg in Schlesien, den ich weder im Internet noch in meinem (zugegebenermaßen recht neuen) Diercke gefunden habe smile

Und er hat recht, wenn ich höre, dass die Füße zu dieser Zeit je nach Ort unterschiedlich lang waren, dann beginnt meine historische Neugier schläfrig zu werden. Und ich verstehe, welche Fleißarbeit dahintersteckt, die damaligen Messergebnisse sauber in modernen Maßeinheiten darzustellen.

Dann freue ich mich, dass ich heute einfach mit Metern rechnen darf, und dass Leute wie Reich sie für ihre Präzisionsmessungen hier eingeführt haben, und beim Rechnen auf erprobte Formeln und Methoden zurückgreifen darf, wie sie z.B. Coriolis herausgefunden hat smile
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 31. März 2006 01:39    Titel: Antworten mit Zitat

> (1) Ist das so richtig ausgedrückt?

Mit dem Ansatz von Coriolis wird die komplette Ablenkung unmittelbar und korrekt bestimmt. Es ist nicht so, dass der Coriolis-Effekt hier nur einen anderen, eigentlich richtigen Ansatz modifiziert. Der von mir ursprünglich verwendete Zugang zu dem Phänomen entsprach dem was Wagenschein in seinem 'Brunnenstrahl-Experiment' beschreibt, dem waagerechten Wurf. Wie ich später las entsprach das auch Galileis Einwand gegen die Vertreter des Gedankens, der fallende Körper würde zurückbleiben, was einer Westablenkung gleichkäme, weil sich ja die Erde während des Falls weiterdrehe. Diese Auffassung entstammte wahrscheinlich Aristoteles' irrtümlicher Ansicht, ein Körper würde sich nur bewegen weil und solange eine Kraft auf ihn wirke. Es ist aber so, dass er sich unverändert bewegt solange _keine_ Kraft auf ihn wirkt, eine solche ändert hingegen seine Bewegung. Das hat aber erst Newton in dieser Klarheit formuliert.

Zur Frage von Erdradius und Kosinus.

Beim waagerechten Wurf handelt es sich ja um die Überlagerung von zwei Bewegungen, der horizontalen, bewirkt durch die Startgeschwindigkeit, und der vertikalen des freien Falls, so wie bei Wagenschein ausgeführt. Die Wurfweite ergibt sich aus der Fallzeit und der Startgeschwindigkeit als s = v*t. Die Fallzeit bestimmt sich aus der mit g beschleunigten Bewegung längs der Fallstrecke h zu t = Wurzel(2*h/g). Setzt man das für t ein erhält man die Gleichung für die Wurfweite als s = v*Wurzel(2*h/g). Jetzt gilt es nur noch, die Startgeschwindigkeit v zu ermitteln. Wird der Erdboden als ruhend betrachtet, dort wird ja die Abweichung gemessen, dann muss nur noch berechnet werden, um wie viel der Körper in seiner Starthöhe h schneller ist. Das gelingt durch den Vergleich der Bahngeschwindigkeiten am Erdboden und der an der Spitze des Turms. Diese Bahngeschwindigkeit ist das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit der Erde und (am Äquator) dem Abstand vom Zentrum, dem Radius r. Die Geschwindigkeit oben ist w*r_oben, die unten ist w*r_unten, der Unterschied ist w*r_oben - w*r_unten oder w*(r_oben - r_unten), das ist aber w*h. Anders gesagt, auch auf dem Jupiter würde das gelten, trotz seines riesigen Radius, nur ist g dort etwa zweieinhalb mal so groß wie auf der Erde und man kann mangels fester Oberfläche wohl keinen Turm bauen.

Jetzt ist die Bahngeschwindigkeit aber abhängig von der geographischen Breite, sie ist maximal am Äquator und null am Pol, deswegen gibt es ja auch dort keine 'Ostabweichung'. Der Umfang eines Breitenkreises in Relation zum Äquatorumfang ist hier das Maß der Dinge, denn die Winkelgeschwindigkeit ist überall gleich, selbst am Pol. Dieses Verhältnis von örtlicher Bahngeschwindigkeit zu der am Äquator wird durch die Kosinus-Funktion beschrieben, bei null Grad Breite, am Äquator, ist der Kosinus eins (cos(0°) = 1) und am Pol ist er null (cos(90°) = 0). Den gleichen Zusammenhang könnte man auch über den Abstand des Ortes auf dem Breitenkreis von der Erdachse beschreiben, auch der ist Erdradius mal cos(b).

Damit ergibt sich dann die komplette Gleichung als s = cos(b)*w*h*Wurzel(2*h/g). Nur ist die eben aus den schon genannten Gründen unzureichend, die Schwerkraft 'zieht' eben nicht immer in die gleiche Richtung sondern zeigt zum Zentrum der Erde.

Außerdem 'zieht' sie ohnehin nicht, sie 'schiebt' ;-)
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 31. März 2006 02:48    Titel: Antworten mit Zitat

> das lernen die Schüler heute ungefähr in der neunten Klasse >
Im achtjährigen Gymnasium, stimmt. Im neunjährigen Gymnasium – gibt es das überhaupt noch? – in Klasse 10, Lehrpläne von Baden-W. - Kosinus läuft tatsächlich unter der Überschrift Kosinusfunktion in Opas altem Trigonometriebuch.

> (2) Für das ursprüngliche "3/3" schlage ich die folgenden Bezeichnungen vor:
*Ostabweichung nach Galilei <
Hat es nicht etwas mit dem Beharrungsgesetz von Newton zu tun?
“Lex I:
corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi
uniformiter in directum,
nisi quatenus illud
a viribus impressis cogitur
statum suum mutare.”
Ich schlage vor, in erster Linie vom Beharrungsvermögen zu sprechen.
Ohne dieses käme ja in unserem Falle zunächst einmal nichts zustande.
Euler schreibt:
„Nachdem ich Ew. H. die notwendige Wahrheit des Grundsatzes erwiesen habe, daß alle Körper sich durch sich selbst, in demselben Zustande der Ruhe sowohl als der Bewegung erhalten ...“
- Aber, so notwendig, so denknotwendig und wahr er es sich zurechtgeschrieben oder zurechtgelegt hat, schreibt er nicht weniger als noch zwanzig Seiten dazu, merkt Wagenschein an, und meint dazu: „Unsere heutigen deutschen Kinder sind gewiß nicht klüger, als man von einer deutschen Prinzessin im Jahre 1760 annehmen durfte.
Einstein formuliert 1917 so: „Ein von anderen Körpern hinreichend weit entfernter Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung“.
Beharrungsvermögen /-gesetz oder Verharrungsvermögen /-gesetz wäre sprachlich also besser als Trägheitsvermögen oder Trägheitsgesetz.
Wie sagen die Franzosen dazu, welchen Namen hat es bei den Engländern oder in den anderen europäischen Sprachen.
Wann kommt das Beharrungsgesetz dran im Gymnasium, wann das als nächstes notwendige Fallgesetz? Also die Sachen, mit denen wir hier in Formeln herumjonglieren.

> (3) Pädagogisch sein heißt ja nicht, auf das Handwerkszeug zu verzichten, was beide, der Erklärende und der Lernende, schon zur Verfügung haben. Es ist ja oft sogar viel didaktischer, beim Lernenden das als bekannt vorauszusetzen, was er schon kann, denn sonst geriete die Erklärung unnötig langwierig oder bliebe unnötig vage und unquantitativ. <

Damit bin ich voll einverstanden. Allerdings kann man nur das als bekannt voraussetzen, was auch wirklich bekannt ist. Es wäre also didaktisch falsch, die Coriolisablenkung als erstes einzuführen, ohne daß man vorher Beharrungsgesetz und Fallgesetz verstanden hat.

Vielen Dank für das schöne Bild von Coriolis, aber gehört seine Abweichungsformel noch ins Gymnasium? Vielleicht in der Oberstufe nach dem Beharrungsgesetz, bei Lex I „a viribus impressis“? Ich habe den Coriolis in den Lehrplänen noch nicht gefunden, vielleicht haben Gast und Markus da mehr Übersicht.
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 31. März 2006 09:00    Titel: Antworten mit Zitat

Newtons Gesetz von der Trägheit, also von der Beharrung ist in der Tat die Grundlage für alle diese Berechnungen.

Das heißt aber, auch, dass es nicht als Unterscheidungskriterium zwischen den verschiedenen Berechnungen dienen kann, da sowohl die Rechnung von Galilei als auch die Rechnung von Coriolis darauf basieren.

Newtons Trägheitsgesetz lernen die Schüler heute schon in Klasse 7 oder 8, beschleunigte Bewegungen wie den freien Fall in allen seinen Varianten bis hin zum schiefen Wurf in Klasse 11, und die Corioliskraft lernen sie erst im Studium z.B. der Physik.

Das unterstützt das Bild, dass die Corioliskraft eine so interessante und knifflige Angelegenheit ist, dass man sie nicht als eines der einfachen klaren Lehrbeispiele verwendet, um den Schülern die Bewegungsgesetze in der Schule vertraut zu machen. Dafür dürfen sich die Schüler bei Kreisbewegungen mit der Zentrifugalkraft beschäftigen.
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 31. März 2006 16:55    Titel: Antworten mit Zitat

In Klasse 8 handelt es sich offenbar nur um erste Erscheinungsformen der „Trägheit“
In Klasse 11 erst steht dann das „Trägheitsgesetz“ in seiner reinen Form auf dem Lehrplan.
Im Studium dann Coriolis.
Das gibt also gewissermaßen die zeitliche Dimension der umfassenderen pädagogischen Dimension.
Mit 14 Jahren in einer Art von vorwegnehmendem Lernen eine erste Anbahnung des Begriffes „Trägheit“; ein unglückliches Wort, liegt es doch im Sinne zu nahe bei „faul“.

Daher nach Newton perseverare = beharren, nach Euler „erhalten“, Einstein „verharrt“.
Trägheit bezeichnet also nur die Ruhelage eines Körpers trefflich, während Beharren auch das „movendi“ mitumfassen kann. Trägheit ist sprachlich schlecht, es erzeugt falsche Vorstellungen, es ist falsch. Ganz ähnlich falsch ist im ersten Schuljahr schon die erzeugte Vorstellung, ein Auto könne minusfahren oder ein Vöglein könne plusfliegen. Deshalb waren Minus und Plus in der Volksschule zurecht verboten. Ein Auto fährt halt weg und nicht minus.
Trägheit ist also unbedingt durch Beharren zu ersetzen in den Lehrplänen.
Mit 17 Jahren dann das Beharrungsgesetz und
mit 20 Jahren vielleicht dann Coriolisabweichung.
Opa hat demnach hier bei Euch in wenigen Tagen gelernt, was sonst sieben Jahre dauern mag,
freilich hat er noch nicht alles verstanden.

Aus Coriolan von William Shakespeare

„Cajus Marcius tritt auf.
Heil, edler Marcius!
MARCIUS
Dank euch! Was gibt es hier, rebellsche Schurken,
Die ihr das Jucken eurer Einsicht kratzt,
Bis ihr zu Aussatz werdet?
ERSTER BÜRGER
Von Euch bekommen wir doch immer gute Worte.
.........................
Mit Freud ernennt dich, Coriolan, zum Konsul
Der sämtliche Senat.“

Beschreibt der folgende Text aus dem alten Lexikon eine Erscheinungsform der Ostabweichung (= Coriolis?)?
„Auf demselben Prinzip beruht es, daß auf einer in der Richtung des Meridians liegenden Eisenbahn eine von S. nach N. laufende Lokomotive mit dem Spurkranz ihres rechten Rades die rechts (östlich) liegende Schiene nach O. zu verschieben sucht, während eine von N. nach S. laufende Lokomotive umgekehrt die westliche Schiene weiter nach W. zu schieben sucht. Wird ein Geleise nur in der einen Richtung befahren, so muß die Entfernung beider Schienen allmählich zunehmen, wie man beispielsweise an der Hamburg-Harburger Eisenbahn bemerkt hat, wo diese Zunahme 8 cm in einem Vierteljahr beträgt.“

Edler Gast, was soll Opa unter „w“ oder omega oder Winkelgeschwindigkeit verstehen?
Kann man diesen formalistischen Buchstaben sowie das Wort Winkelgeschwindigkeit nicht mit wenigen, klar verständlichen Sätzen erläutern, bis hin zu einem halbwegs für mich noch verstehbaren Glied einer Gleichung? Sicher wurde das hier schon mal versucht, aber ich habe den Sprung zum abstrakten Formelbuchstaben noch nicht ganz kapiert. Was verbirgt sich genau dahinter?
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 31. März 2006 17:10    Titel: Antworten mit Zitat

Opa hat Folgendes geschrieben:

Kann man diesen formalistischen Buchstaben sowie das Wort Winkelgeschwindigkeit nicht mit wenigen, klar verständlichen Sätzen erläutern, bis hin zu einem halbwegs für mich noch verstehbaren Glied einer Gleichung? Sicher wurde das hier schon mal versucht, aber ich habe den Sprung zum abstrakten Formelbuchstaben noch nicht ganz kapiert. Was verbirgt sich genau dahinter?


Winkelgeschwindigkeit ist eine Definition, die bei Kreisbewegungen im Allgemeinen verwendet wird. Ich denke, Du kennst das Bogenmaß. Im Bogenmaß hat ein voller Kreis nicht 360° sondern . Man kann also alle Winkel nicht nur in Grad angeben sondern genau so auch im Bogenmaß. Die Winkelgeschwindigkeit gibt bei einem rotierenden System jetzt an, um wie viel der Winkel sich im Bogenmaß gemessen ändert pro Zeiteinheit. Im Vergleich dazu gibt die Normale Geschwindigkeit ja die Änderung des Ortes pro Zeiteinheit an. Bei der Winkelgeschwindigkeit also entsprechend die Änderung des Winkels.
Wenn ein System in einer Sekunde genau eine Umdrehung vollbringt, dann hat sich der Winkel im Bogenmaß also um geändert und das in einer Sekunde. Also wäre die Winkelgeschwindigkeit:

Die Frequenz aber genau 1 Hz = 1/s. Die Winkelgeschwindigkeit Omega ist also immer um den Faktor größer, als die Frequenz.

Gruß
Marco
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 31. März 2006 17:56    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, die Beobachtung mit den Eisenbahngleisen ist eine Auswirkung der Corioliskraft.

Die Trägheit im Deutschen (wie "inertia" im Englischen, "inercie" im Französischen, "inerzia" im Italienischen, "inercia" im Spanischen, "inércia" im Portugiesischen, "Traagheit" im Niederländischen, "Tröghet" im Schwedischen) ist der Fachbegriff in der Physik, unter dem man die oben beschriebene Newtonsche Erkenntnis heute kennt.

Für die Beschreibung von Ereignissen in mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus bewegten Bezugssystemen (sogenannten Inertialsystemen), also zum Beispiel in einem fahrenden Auto, ist die Vorstellung, dass der Fahrer in diesem System ruht, für mein Gefühl sogar die schönste anschauliche Erklärung dessen, dass er trotz der Bewegung keine (beschleunigende) Kraft verspürt.

Formeln, die Marcos Erklärung der Winkelgeschwindigkeit ergänzen, sind:



für eine Drehbewegung mit Drehfrequenz f und der Periode T (T ist also die Zeit, nach der gerade eine volle Umdrehung beendet ist)

und



für die Bahngeschwindigkeit v eines Körpers, der sich im Abstand R von der Drehachse mit der Winkelgeschwindigkeit omega um diese Drehachse herumbewegt.
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 31. März 2006 17:58    Titel: Antworten mit Zitat

> mit wenigen, klar verständlichen Sätzen erläutern

Ich will es gern versuchen.

Was ist ein Winkel? Die gebräuchliche Definition ist, ein Winkel ist das Verhältnis von Kreisbogenlänge zu Radius. Stellt man sich einen Kreis mit dem Radius r (egal in welcher Längeneinheit) vor, dann ist sein Umfang Durchmesser mal pi oder 2*r*pi. Teilt man nun diesen Umfang durch den Radius bekommt man 2pi. Das ist dann der Winkel für einen Umlauf um den Kreis, und dieser Winkel hat keine Einheit (bzw. die Einheit 1), denn er ist ja das Verhältnis zweier Längen (Bogenlänge und Radiuslänge), die Einheit der Länge kürzt sich also weg. Dieser Vollwinkel wird gern auch mit 360° bezeichnet, wobei das Winkelgrad so etwas ist wie das Prozent, was ja von hundert heißt, nur hier eben von 360, wieder ohne Einheit.

Jetzt zur Geschwindigkeit. Sie ist ein Konstrukt aus Länge (oder Weg, Strecke) und Zeit, und zwar das Verhältnis von beiden, Länge geteilt durch Zeit, in Einheiten Meter pro Sekunde, m/s, oder auch Kilometer pro Stunde, Meilen pro Tag, was immer man möchte.

Bringt man diese beiden Größen zusammen, dann kommt man zur Winkelgeschwindigkeit. Um im genannten Beispiel zu bleiben, der Kreis mit dem Umfang 2*pi*r hat den Vollwinkel 2pi. Wird dieser Kreis in der Zeit T einmal umlaufen, dann nennt man das die Winkelgeschwindigkeit, also 2pi/T, mit der Einheit eins pro Sekunde oder 1/s.

Der Sekundenzeiger einer Uhr hat die Winkelgeschwindigkeit von Vollwinkel geteilt durch eine Minute, die Erde hat die Winkelgeschwindigkeit 2pi (Umfang durch Radius) pro Tag. Wie schon erwähnt wurde gibt es da zwei verschiedene Tageslängen, einmal die übliche bezogen auf die Sonne und die andere bezogen auf einen weit entfernten Ort, z.B. einen Fixstern.

Aus Winkelgeschwindigkeit und Radius lässt sich jetzt auch wieder die Umfangsgeschwindigkeit oder Bahngeschwindigkeit bestimmen, und zwar als Produkt von Winkelgeschwindigkeit und Radius. Diesen Zusammenhang habe ich in der Darstellung der Galilei-Version der Ostabweichung benutzt um die relative Geschwindigkeit des Körpers oben auf dem Turm zum Erdboden zu berechnen. Das ist dann die Geschwindigkeit mit der in Wagenscheins Brunnenstrahl-Experiment das Wasser aus dem Rohr strömt und in bestimmter Entfernung auftrifft.
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 01. Apr 2006 09:01    Titel: Antworten mit Zitat

Opa bedankt sich ganz herzlich bei Euch! Das hier ist ja ein phantastisches „board“, eine „elektrische Schultafel“. Kaum hatte ich gefragt, schon sind sachlich lehrreiche Antworten da, diesmal gleich drei Stück.

> Du kennst das Bogenmaß. Im Bogenmaß hat ein voller Kreis nicht 360° sondern 2 Pi. Man kann also alle Winkel nicht nur in Grad angeben sondern genau so auch im Bogenmaß. <

Nein, ich kannte das Bogenmaß nicht, obwohl ich damit in einer Excelformel gerechnet hatte.
Dank Eurer Hilfe konnte ich es mir jetzt einigermaßen klarmachen.
Es ist ein Fehler, der anderen vielleicht auch passiert. Daher berichte ich davon.
Ich klebte an der Kosinusfunktion fest, denn mein Weg zum Ziel muß, wenn ich ihn besser verstehen will, so anschaulich wie nur möglich bleiben. Ihr habt mir recht gut den Weg von einem abstrakten Begriff in das Reich der Anschaulichkeit zurück gewiesen. Ich gehe in entgegengesetzer Richtung vor, vom Umfangskreis der Erde aus, den ich mir zeichne, zum Durchmesser am Äquator, den ich einzeichne, zum Radius der Erde, und dann zum Breitenkreis bei 44,5 Grad. Den kann ich aber erst finden in seinem Umfang, wenn ich seinen Radius mit dem Kosinus bestimmt habe.
Also, was Ihr ja alles mit einem Blick überschaut, das muß ich mir erst mühsam vorstellen, um weiterzukommen.
Kurz, mein Versuch, den Kosinus auf den Wert 44,5 Grad anzuwenden, scheiterte kläglich, weil es ja 44,5 Grad sind und nicht einfach eine Zahl 44,5.
Jetzt aber habe ich diese Denkschwierigkeit überwinden können und setze in Excel in Spalte A den Wert 44,5 sowie in die nächste Zelle der Spalte B daneben =COS(A...*2PI()/360).
Diesen Wert aus B nehme ich mal mit der Hypotenuse (dem Erdradius) zu 6378 km.
Das Ergebnis 4549,111365 km ist dann der Radius des kleineren Breitenkreises durch Bologna.
Dessen Umfang erhalte ich durch Malnehmen mit 2 Pi = 28582,9096 Kilometer.
Den Umfang verteile ich an die 86400 Sekunden eines Erdtages, jede Sekunde bekommt davon 0,330820714 Kilometer. Malgenommen mit 1000 gibt das 330,820714 Meter pro Sekunde. Somit fährt man auf diesem Breitenkreis fast mit Schallgeschwindigkeit von dannen, um die Erdachse herum.
Ich glaube, die Rechnung ist bis dahin richtig, hätte aber zur Sicherheit gerne eine kleine Bestätigung.


„Inertia“ hab ich nachgeschlagen im Lateinwörterbuch: Ungeschicklichkeit, Untätigkeit, Trägheit. Es ist wohl eine Hauptwortbildung zu iners = 1. ungeschickt, einfältig; 2. a) untätig; b) müßig; c) feige; schüchtern, scheu; d) fade; 3) erschlaffend.
Iners kommt von ars, Geschicklichkeit, Handwerk, Kunst, Wissenschaft, System, Theorie, Dichtkunst usw. usw. Eigenschaft, Verfahren, Kunstgriffe, erkünsteltes Wesen.
Unsere Wörter Art, artig sind wohl ganz enge Verwandte von ars.

Kepler, der das Beharrungsgesetz noch nicht kennt, schreibt:

„so khönd es auch für sich selbst nit von dannen kommen, ebendarum die weil es todt ist oder träg vnd vnartig“. ... „Zum stilstehen oder pleiben ... ist genug, das es vnartig sey zu einiger bewegnvs...“

Vielen Dank für die Angaben über den Fachbegriff in anderen Sprachen! Ich ‚pleibe’ bei Einstein und bei Newton, bei Beharrung, denn das Ding ist ja nicht vnartig (zur Bewegung), sondern auch artig, nicht iners, sondern perseverans, beharrend. Der Fachbegriff der Physik ist sprachlich schief, man sollte ihn verbessern, nach den Vorbildern Newton oder Einstein, die treffender formulierten.
Gewiß wäre die Ausbürgerung von inertia und die Einbügerung von vielleicht perseverance ein schwieriger und jahrzehntelanger Vorgang. Mag sein, die Bedeutung von perseverance ist auch noch religiös besetzt. So wird’s vorerst wohl noch bei inertia oder Trägheit bleiben.


Zuletzt bearbeitet von Opa am 02. Apr 2006 01:58, insgesamt einmal bearbeitet
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 01. Apr 2006 10:29    Titel: Antworten mit Zitat

Opa hat Folgendes geschrieben:
Also, was Ihr ja alles mit einem Blick überschaut, das muß ich mir erst mühsam vorstellen, um weiterzukommen.

Naja, da muss ich bescheiden hinzufügen:
* Wir haben auch geübt, bis wir das konnten.
* Vieles stellen wir uns genauso erst mühsam vor, bevor wir die Gedanken und die Formeln so klar geordnet haben, dass wir das so sagen können, als ob wir das mit einem Blick überschauten.
(Um herauszufinden, wie ein Winkel in einer Formel berücksichtigt werden muss, also z.B. mit cos, sin oder tan, mache ich mir selbst meist eine Skizze.)

Zitat:

Ich glaube, die Rechnung ist bis dahin richtig, hätte aber zur Sicherheit gerne eine kleine Bestätigung.

Ja, die Rechnung stimmt bis dahin smile
Ein Tipp aus dem Nähkästchen der Physiker für das Rechnen (der hilft, vieles mit einem Blick zu überschauen) ist die Vorgehensweise: Erst die Formeln, dann die Zahlen. Dann sieht das ganze so aus:

Mit der Winkelgeschwindigkeit omega der Erde, der Entfernung R von der Erdachse, der Dauer einer Erdumdrehung T, der Entfernung vom Erdmittelpunkt r und dem Breitengrad phi
ist die Bahngeschwindigkeit v:

Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 01. Apr 2006 13:06    Titel: Antworten mit Zitat

> Der Fachbegriff [inertia] der Physik ist sprachlich schief

Aristoteles ist nicht 'tot' zu kriegen. Die Begriffe zur Beschreibung der 'unbelebten' Natur werden 'natürlich' aus dem sozialen Kontext gewonnen, woher auch sonst, dort schließlich ist die Sprache entstanden und begründet. Das gilt besonders wenn Bewegung im Spiel ist, nicht so sehr wenn es um statische Eigenschaften geht wie Masse oder Dichte.

Auch 'Beharrung' oder 'perseverance' kommen nicht weg von der Idee des impetus, einer der Sache innewohnenden Bestrebung. Da strebt aber nichts im menschlich aktiven Sinn, es ist lediglich ein Problem unseres Verstehens, was eine solche projektive Beschreibung auslöst.

Die Trägheit könnte man so interpretieren, dass der Körper die Masse 'trägt', die zu seiner Existenz gehört. Der komplette Begriff, Massenträgheit, lockert dann auch die Verbindung zu assoziierten menschlichen Eigenschaften in ausreichendem Maße. Und auch sonst sind wir ja an die Verwendung von Begriffen im übertragenen Sinne gewöhnt, deren konkrete Bedeutung dann von dem Kontext bestimmt wird, in dem sie benutzt werden.

> Somit fährt man auf diesem Breitenkreis fast mit Schallgeschwindigkeit von dannen,
> um die Erde herum.

Das ist ein gutes Beispiel für eine solche unbewusste Kontext-Transformation. Wir bewegen uns hier nicht um die Erde herum sondern auf ihr um ihre Drehachse herum (eine Achse steht, eine Welle dreht..). Die Schallgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls bezogen auf das (relativ zum) Medium der Ausbreitung, hier ist die Luft gemeint, denn in Wasser wäre die Schallgeschwindigkeit mehr als vier mal so groß. Die Luft bewegt sich aber mit uns. Trotzdem bleibt es verständlich, was eigentlich gemeint war. Die Sonne dreht sich eben um die Erde...

Hier ist noch eine Skizze zum Thema Erdradius (R), geog. Breite (b), Achsabstand (r) und Kosinus.



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dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 01. Apr 2006 13:12    Titel: Antworten mit Zitat

Ob Gast vielleicht am besten noch in seiner schönen Skizze die Bezeichnungen r und R vertauschen mag ? Dann passt es zu den Bezeichnungen, wie wir sie oben gerade verwendet haben smile und verwirrt nicht unnötig.
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 01. Apr 2006 23:57    Titel: Antworten mit Zitat

Das war die Macht der Gewohnheit, großer Radius, großes R... Hier ist die kompatible Version:


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Beitrag Opa Verfasst am: 02. Apr 2006 01:54    Titel: Antworten mit Zitat

> um die Erde herum <
verbessere ich zu „um die Erdachse herum“.

Die Erklärung zu Trägheit muß ich überdenken. Wagenschein hat in „Die pädagogische Dimension der Physik“ beim Beharrungsgesetz einige Zitate, von Descartes auch eines. Ich werde hin und wieder aus diesem Aufsatz, wie bisher schon, zitieren. Am liebsten würde ich ihn ganz abschreiben, aber er ist zu lang. Gast wird vielleicht staunen, wer alles schon von der Idee des Impetus weggekommen war. Fallgesetz am Brunnenstrahl ist eine kleine schöne Arbeit. W. hat außerdem einen längeren Aufsatz zu Galileis Versuchen.

> Erst die Formeln, dann die Zahlen <
Das mag ja bei ausgewachsenen Physikern üblich sein, indes liefe die generelle und konsequente Praktizierung eines solchen Ansatzes in der Schule auf einen mittelalterlichen Paukunterricht hinaus, auf das Auswendiglernen von unverstehbaren Formeln und das Nachplappern derselben und dann auf das Nachplappern derselben mit Zahlen. Da möchte ich doch schärfsten Protest anmelden. Selbst in dem Alter, in dem die Fähigkeit zum abstrakteren Denken sich zu entfalten beginnt, kommt es beim Buchstabenrechnen, bei der Algebra, zunächst einmal zu einem Kraut- und Rübenrechnen bei den meisten.
Hier beim Kosinus, möchte ich vorschlagen: Zuerst eine Zeichnung, dann ein Durchdenken der Begriffe wie Ankathete, Winkel, Bogen, Hypotenuse, vorweg eine einleuchtende Fragestellung und gleichzeitig die Erörterung des Gradnetzes, insgesamt also das, was man Anschauung nennt. Dann die Zahlen, die vergeblichen Versuche, mit den Zahlen und den bis dahin bekannten Formeln eine Lösung zu finden. Genaueres wissen sicher erfahrene Gymnasiallehrer. Erst muß der Bedarf für die Formel geweckt werden, ehe sie gegeben werden kann, dann mit Zahlen vielfältig überprüft und angewendet werden, ihre Leistungsfähigkeit ausprobiert und anerkannt werden. Das alles dauert seine Zeit, bis endlich die Formel, der neue Begriff, nach allen Seiten hin gemolken wurde, bis die Formel auch wirklich anerkannt wurde und sitzt. Sie steht also am Ende eines langen Weges und nicht am Anfang. Damit wollte ich den wohlgemeinten Tip aus dem Nähkästchen der Physiker ein wenig zurück ins Nähkästchen beförden, insofern als er auf Kinder bezogen gedacht werden könnte. Denn mir und wohl den meisten Leuten geht es so, daß sie mit den Formeln, den alten in der Schule gelernten, zunächst nichts anfangen können, weil sie schlicht vergessen und verdrängt wurden. Wenn ich mich nun bemühe, sie wieder neu zu lernen, im hohen Alter, und dank Eurer umfangreichen Hilfe, dann möchte ich auch möglichst genau wissen, was hinter den Buchstaben und Formeln steckt. Also bitte, langsam voran.
Die Zeichen wie = ; x (mal); Doppelpunkt und Punkt für Teilen und Malnehmen; die gibt es erst ab ca. 1500; + und – ab 1480. Und doch gab es lange vorher schon beispielsweise die Pyramiden.
Diese abgekürzten Zeichen sind noch nicht so alt, daß man sie als selbstverständlich betrachten kann. Für Kinder sind sie schwierige Brocken. Und im Zusammenhang mit den Dingen, die man alle damit anstellen kann, sobald Buchstaben und Sachen wie cos dazukommen, da werden sie und die Dinge zugleich immer schwieriger.

Die Zeichnung mit dem Wechselwinkel fand ich elegant. Mit v und omega enthält sie aber schon zuviel, wenn zunächst erst einmal der Kosinus dargestellt werden soll.

Opa macht auch eine Zeichnung.
Sie will auf das Bogenmaß hinaus, bezieht deshalb den Bogen vom Äquator 0° bis Bologna 44,5° mit ein ins Gedankengebäude, was bei der eleganten Wechselwinkellösung nicht mehr klar erscheint, da der Bogen nicht benötigt wurde, eigentlich gar nicht mehr da ist. Ihr werdet mich korrigieren? Falls nicht, dann wäre die elegante Wechselwinkelsache eine kleine Stufe höher in der Abstraktion und sollte unbedingt nicht fehlen ein paar Tage später im Unterricht.



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Beitrag dermarkus Verfasst am: 02. Apr 2006 10:48    Titel: Antworten mit Zitat

Opa weist richtig darauf hin, dass es beim Lernen heißt:

Erst das Verstehen,
dann die Formeln.

(Oft bedeutet das in der Tat: Erst das Konkrete, dann das Abstrakte)


Und beim konkreten Rechnen heißt es, etwas ausführlicher formuliert:

Erst das Verstehen,
dann die Formelbezeichnungen klären,
dann die Formeln,
dann die Zahlen,
dann das sinnvoll gerundete Ergebnis.

Formeln sind für den Physiker die herausdestillierte Quintessenz der Beschreibung der Natur. Eine Formel, zusammen mit dem Beschreibungsmodell, das zu ihr führt, ist also auf den Punkt gebrachtes Verständnis, das es ermöglicht, den Ausgang eines Experimentes quantitativ zu beschreiben und vorherzusagen.

Und von diesem auf den Punkt gebrachten Verstehen wollte ich Opa etwas abgeben, als ich sah, dass er die Rechnung in den Einzelschritten mit Zahlen schon komplett verstanden hatte, aber noch staunte, dass wir das auf einen Blick überblicken zu können scheinen.
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 02. Apr 2006 14:54    Titel: Antworten mit Zitat

> Mit v und omega enthält sie aber schon zuviel..

Das kann man so sehen. Mein Anliegen war, Galileis Ansatz zu illustrieren, und da geht es letzlich um die Geschwindigkeit bei unterschiedlichem Radius und dessen Zusammenhang zur geographischen Breite.

> .. da der Bogen nicht benötigt wurde ..

Der wird benötigt denn ohne ihn ist der Winkel nicht zu verstehen. Der Winkel b ist das Verhältnis von Bogenlänge zu Radiuslänge. In meinem Beispiel war das 1/8 des Umfangs, also 1/8 * 2pi * Erdradius, und das geteilt durch den Erdradius ergibt pi/4 oder 45°. Für die Bahngeschwindigkeit ist der Umfang des Breitenkreises das Maß, das hatte ich schon beschrieben.

> Erst die Formeln, dann die Zahlen

Ich ziehe die Variante 'Erst die Gleichung, dann die Werte' vor, denn in der beschreibenden Gleichung steckt der im Ansatz verwendete physikalische Zusammenhang und dokumentiert damit das Verständnis der Problemstellung und den eingeschlagenen Weg zur Lösung in konzentrierter Form. Formeln sind dann die merkfähigen Kondensate von Gleichungen, erzeugt durch möglichste Vereinfachung der beschreibenden Gleichung für den gegebenen Fall. Diese Vereinfachung entgeht einem aber wenn man vorschnell spezielle Werte der konkreten Aufgabe einsetzt. Ohne Taschenrechner würde man kaum jemals auf diese Idee kommen sondern immer erst die Gleichung zusammenfassen und vereinfachen. Ein gutes Beispiel dafür wurde gerade im thread zum Thema Maxwell-Boltzmann-Verteilung vorgeführt.

> Und doch gab es lange vorher schon beispielsweise die Pyramiden.

Vor der Einführung der Symbol-Konventionen wurden solche Zusammenhänge in Worten beschrieben, was immer noch in Form der sogenannten Textaufgabe (engl. word problem) fort besteht. Die erwähnten Pyramiden erinnern mich an eine solche, die Herodot (von Halikarnassos, 484 - 425 BCE) gestellt hat, um das Geheimnis der Form der Großen Pyramide weiter zu geben, eine andere ist die Hermes zugeschriebene Formulierung 'Was im Großen ist, ist auch im Kleinen'. In beiden Fällen geht es um geometrische Relationen, wenigstens kann man es so interpretieren. Für Plato symbolisierte gerade diese spezielle Relation unsere Verbindung zum Kosmos.

Beide Texte lassen sich als symbolische Gleichung darstellen und leicht lösen, und beide haben interessanterweise das gleiche Ergebnis. In Worte gefasst hat das die Zeit überdauert, hätten beide in speziellen Symbolen geschrieben wäre das möglicherweise heute unverständlich.
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 02. Apr 2006 16:23    Titel: Antworten mit Zitat

Edler Gast,

Ich möchte Dir herzlich danken.

Dein Pyramidengeheimnis interessiert mich sehr. Wie können wir in Verbindung treten?
Ich bin sehr gespannt,
und ich wünsche noch einen schönen Sonntag

Herzliche Grüße
Opa
Opa



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Beitrag Opa Verfasst am: 04. Apr 2006 11:24    Titel: Antipoden Antworten mit Zitat

>> In meinem Beispiel war das 1/8 des Umfangs, also 1/8 * 2pi * Erdradius, und das geteilt durch den Erdradius ergibt pi/4 oder 45° <<
Gast will dem armen, in der konkreten Anschauung verhafteten Opa erneut den Erdradius und damit die ganze Erde verschwinden lassen. Ich weiß inzwischen, daß dieser Schritt irgendwann einmal am Gymnasium getan werden muß, um in der Abstraktion und im Formeljonglieren weiterkommen zu können. Ich klammere mich also noch an die Erde, die ist doch so schön rund, wie bei meiner letzten Kosinuszeichnung mit den ehrwürdigen griechischen Wörtern Ankathete und Hypotenuse.
Gestern beim Zahnarzt, als der kräftig bohrte, da dachte ich, wie wäre es, wenn wir in Bologna, bei 44,5 Grad, in den Asinelliturm hineingingen mit Bohrgeschirr, damit zum Erdmittelpunkt und in gerader Linie weiter durch den Globus hindurchbohrten, und wo kämen wir dann hinaus? Zu Hause hat Opa dann im Atlas nachgeschlagen. Das war schon schwierig, denn man muß sich ja einen richtig schönen runden Globus – hätt’ ich doch nur einen – vorstellen, der dann – platsch – auf einem nur zweidimensionalen Blatt Papier abgebildet wird, samt seinen Breitengraden und Längengraden östlich und westlich von Greenwich. Opa tauchte – erneut platsch – im Wasser auf, am anderen Ende der Erde. Fast hätte er das nicht geschafft, weil Diercke an dieser Stelle Nebenkarten mit Temperaturen und Niederschlägen abgedruckt hatte, aber dann, auf einer anderen Karte, gelang es doch noch, und, nach einigen Kilimetern Schwimmen, da erreichte er, Ihr werdet es kaum glauben, eine Insel mit Namen Antipodeninsel.
Die Regierung von Neuseeland hatte allerdings ein Schild aufgestellt: Betreten verboten.
Da war gar nichts zu machen, also zurück auf die nördliche Halbkugel, zurück nach Bologna.
Wie wäre es nun, einmal den Kreis von Gast zu nehmen, also Pi/4 mit 45 Grad, und nun waagerecht einen Schacht anzulegen, der dann links auf dem gleichen Breitenkreis herauskommt. Das müßte dann, statt eines Winkels zu 45 Grad einen solchen zu 45 + 90 = 135 Grad ergeben.
Oder anders ausgedrückt, den Ort, an dem sich Bologna nach 12 Stunden Drehung befinden könnte, wenn es selbst nicht mit von dannen führe um die Erdachse herum.
Diesen Ort wollte ich benennen. „Antipoden“ ist ja woanders, also nenne ich ihn einfach „Halbtagskraft“, was jeder Physiker sofort als falsche Benennung ankreiden wird, Halbtagspunkt ist vielleicht besser.
Egal, Opa versuchte dann, diesem Ort bei 135 Grad mit dem Kosinus auf den Leib zu rücken.
Dazu legte er sich in Excel eine Tabelle an, senkrecht in der ersten Spalte alle Gradzahlen von 0 bis 360 Grad. Rechts daneben in die zweite Spalte B dann =COS(BOGENMASS(A..)).
Damit nicht genug, ich nehme aus meiner altmodischen Kosinuszeichnung noch die von mir selbst, mit Gastes Hilfe, entwickelte Excel-Formulierung für Bogenmaß in die dritte Spalte C, um zu prüfen, ob letztere auch stimmt, also =COS(A..*2*PI()/360) in Spalte C.
Da ich nun alles so genau wie nur möglich vergleichen wollte, hatte ich die Zellen in B und in C vorher formatiert auf Zahl und ausgefahren auf das Maximum, auf 30 Stellen nach dem Komma.
Und jetzt traten komische Erscheinungen auf, die ich mir alleine nicht so ganz erklären kann.
Ich meine dabei nicht, daß die Werte von 0 bis 90 Grad positiv, dann bis 270 Grad negativ und im letzten Viertelkreis zwischen 270 und 360 Grad wieder positiv erscheinen, sondern zwei, drei andere Sachen.
1) Bei 90 Grad und bei 270 Grad, da zeigt Excel doch tatsächlich noch auf den letzten Stellen nach dem Komma Ziffern an. – Bislang hatte ich gedacht, dieses Programm könne nur 15 oder 16 Stellen nach dem Komma verrechnen und würde danach immer 16 Nullen anzeigen.
2) Ich habe die Werte von Spalte B summiert und dann die von C summiert, geringe Abweichungen in den Summen. Beim Abziehen der Summen voneinander, da werden wieder Ziffern auf den letzten Stellen bis 30 angezeigt.
Dann, beim Abziehen der einzelnen Gradwerte voneinander, bei einer waagerechten Kontrolle von 0 bis 360, da erschienen 22 Abweichungen von 0.
Ist nun mein Excel kaputt, oder haben schon andere solche Erscheinungen beobachtet?
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