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Temperaturverteilung
 
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Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
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BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 10:22    Titel: Temperaturverteilung Antworten mit Zitat

Hallo zusammen,
Ich würde ganz gerne die Temperatur in einem Zylinder abschätzen. Dabei soll Wärme über die Seiten eingeleitet werden. Von oben kommt keine Wärme. (Siehe Bild)

Dabei ist es so das die Temperaturdifferenz zwischen Außen und innen immer Konstant gehalten wird. Das heißt, steigt die Temperatur im Kern ,erhöht sich die Außentemperatur im gleichen maße. Die Außentemperatur t1 ist um ca 15 K Höher als die Innentemperatur t2.

Stellt sich da überhaupt ne konstante Temperaturverteilung ein?

Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich das berechnen könnte. Hat vieleicht jemand nen Tip? Oder nen link der weiterhelfen könnte?

Danke und Gruß,

Chris



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schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6172
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BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 16:20    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke nicht, dass sich hier ein Gleichgewicht einstellen kann. Denn angenommen, wir haben eine Aussentemparatur im Gleichgewicht, Ta.
Dann ist im Inneren Ti = Ta- 15°K, und es fliesst Wärme in das innere hinein. Wenn man innen nichts ableitet, wird Ti steigen. Wenn es innen wärmer wird, so steigt aber auch Ta, womit man bei einem Widerspruch landet.

Irgend etwas ist bei deinem Problem schlecht durchdacht oder falsch formuliert. Ich gehe daher davon aus, dass innen Wärme abgeleitet werden kann.

Dann ist es ein eindimensionales Randwertproblem in Zylinderkoordinaten - normalerweise führt das auf Besselfunktionen.

_________________
Wer von der Quantentheorie nicht schockiert ist, hat sie nicht verstanden.
Niels Bohr
Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 16:38    Titel: Antworten mit Zitat

Ich glaube ich habe mich da etwas missverständlich ausgedrückt. Ich möchte den Körper erwärmen. Dabei lasse ich die Außen temperatur im gleichen maße ansteigen wie die Innentemperatur. Die Temperaturdifferenz zwischen Ti und Ta beträgt dann Konstant 15 K. Durch diese Temperturdifferenz stellt sich ja eine bestimmte Temperaturverteilung ein.
Die Frage ist jetzt, bleibt die Temperaturverteilung auch Konstant? Oder habe ich bei Ta=50°C, Ti=35°C eine andere Temperaturverteilung als bei Ta=300°C, Ti=285°C.


Zuletzt bearbeitet von Masterchriss am 25. Okt 2007 16:41, insgesamt einmal bearbeitet
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 4555
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BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 16:39    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Prinzipiell verwendet man dafür die Diffusionsgleichung. Also etwa:


Das ist aber für Wärmequelle-freie Raumbereiche. Letztendlich wird man die für das Problem lösen müssen (Bessel-Funktionen vielleicht?) und dann noch ne spezielle inhomogene oder so? Ich schätze, dass man vielleicht mit Green-Funktionen arbeiten muss.
Vielleicht wird es auch viel einfacher alleine dadurch, dass die ganze Mantelfläche geheizt wird und alles zylindersymmetrisch ist. Letztendlich kannst Du das ja auf ein eindimensionales Problem zurück führen.

Aber so ganz ist mir die Problemstellung auch nicht klar. Wie soll die Temperaturdifferenz genau aufrecht gehalten werden? Wird die Mittelachse auch gekühlt?

Gruß
Marco
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6172
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BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 17:06    Titel: Antworten mit Zitat

Ein Randwertproblem kann man nur lösen, wenn die Randbedingungen im Detail bekannt sind. Du wiederholst dich in deiner Formulierung, ohne auf Details näher einzugehen.

Ich bin mit @as_string der Meinung, dass das nur funktionieren kann, wenn die Mittelachse irgendwie gekühlt wird.

Sollen wir uns das so vorstellen, dass in der Mitte zB kaltes Wasser durchfliesst. Was wäre dann der Innenradius im Verhältnis zum Aussenradius? Ein Gleichgewicht wirst du nur zustandebringen, wenn du die Wärme die von aussen notgedrungen eindringt, wieder abtransportiert wird. Bei einem Vollzylinder, den du von aussen aufwärmst ist die einzige zeitunabhängige Lösung eine konstante Temperaturverteilung.

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Niels Bohr
Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 17:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ok, ich glaub ich fang mal ganz von vorne an. Eigentlich geht es hier um die Untersuchung eines Wärmeausdehnungskoeffizienten.

Der zylindriche Probenkörper befindet sich in einem Ofen. Dieser wird in der gleichen Geschwindigkeit erwärmt wie die Probe sich im Kern aufheitzt. Die Temperatur im kern wird mit einem Sensor gemessen. Es wird keine Wärme abtransportiert. Nur Wärme hizugeführt. Die Probe besteht aus Vollmaterial. Der versuch beginnt bei Raumtemperatur und endet bei ca 300°C Kerntemperatur.

So, nun zum eigentlichen Problem.

Der probenkörper hat einen Durchmesser von 35 mm und steht auf einer Auflage die einen 15 mm durchmesser hat. Oben auf dem Körper ist eine Messuhr platziert deren Durchmesser erst einmal vernachlässigbar sein soll. Durch die Temperaturverteilung dehnt sich die Probe nicht gleichmäßig aus. Mich interessiert nun die Längendifferenz die bei der Ausdehnung entsteht. Mein Ansatz dazu war, das diese über die Temperaturverteilung ermittelt werden kann.

In dem Angehangenen Bild habe ich die situation etwas übertrieben aufgezeichnet. Dadurch das die Temperatur außen höher ist als innen, dehnt sich die Probe außen stärker aus als innen.

Ich hoffe es wird jetzt verständlich was ich meine.

Danke und Gruß,

Chris



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schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6172
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BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 18:00    Titel: Antworten mit Zitat

Aus dem geht mal klar hervor, dass es keinen Gleichgewichtszustand geben kann, bei dem sich die Temperatur einpendelt. Was ist nun die konkrete Frage? Die Temperaturverteilung in Abhängigkeit von der Zeit?
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Niels Bohr


Zuletzt bearbeitet von schnudl am 25. Okt 2007 18:02, insgesamt einmal bearbeitet
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 4555
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BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 18:02    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Du meinst also mit "gleichbleibender Temperaturverteilung" nicht das, was man normalerweise darunter verstehen würde, also T(x, t) = const, sondern eher sowas wie: T(x, t) = T(x)+ U(t), wobei U(t) eine lineare Funktion sein soll.

Da würde ich jetzt sagen, dass das schon gut sein könnte... Mal überlegen.

Gruß
Marco
Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 18:37    Titel: Antworten mit Zitat

@ as_string ja, genau so mein ich das.

@ schnudl die Temperatur soll sich ja auch nicht einpendeln, sondern die Temperaturverteilung. Durch die 15 K temperaturdifferenz die eben Konstant sind. Genau wie as_string das beschrieben hat. Die Temperaturverteilung sollte dann relativ gesehen konstant bleiben. Absolut gesehen steigt sie weiter an bis keine Wärme mehr eingebracht wird.

Was mich am ende interessiert ist der Messfehler der durch die Temperaturverteilung entsteht. Dazu bräuchte ich die Temperatur in Abhängigkeit des Ortes. Daraus könnte ich die ausdehnung an dem gesuchten Ort ermitteln. Ich hoffe das meine Gedanken soweit richtig sind.

Bin mir aber immernoch nicht so sicher ob diese Temperaturverteilung sich tatsächlich "einpendelt".
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6172
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 20:26    Titel: Antworten mit Zitat

Mit dem Ansatz so wie wir es jetzt gemeinsam verstehen (siehe @as_string)



wird die Wärmeleitungsgleichung



Dann müssten beide Seiten doch eigentlich konstant sein, da die Identität sonst nicht für beliebige Zeiten und Orte gelten kann:



und



In Zylinderkoordinaten ist die erste Gleichung (Eine Winkel- und z-Abhängigkeit gibt es ja scheinbar nicht)



Jetzt habe ich einen (zugegebenermassen naiven) Ansatz



versucht, und komme auf (zumindest) eine Lösung:



Ti ist dabei die Temperatur in der Mitte des Zylinders.

Nun haben wir einen gewissen äusseren Radius R; die Temperaturdifferenz T(R) - Ti ergibt sich zu



Daher kann man bestimmen und erhält:



oder (die gesuchte Lösung)



und



Ich kann aber auf die Schnelle nicht sagen, ob da nicht irgendwo ein Wurm drinnen ist. Es war irgendwie zu schnell. Vielleicht kommt der @as_string ja auf was ähnliches...

Zumindest wäre es plausibel, dass für keine Zeitabhängigkeit vorläge, und der Temperaturanstieg umso grösser würde, je grösser Die Regeldifferenz gemacht wird.

Ich bin mir vor allem nicht sicher, wie es mit weiteren Lösungen aussieht.

Die homogene Lösung wäre



ist aber bei r=0 unphysikalisch. Kann man sie so einfach weglassen ?

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Niels Bohr
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 4555
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 25. Okt 2007 23:21    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich habe leider im Moment zu wenig Zeit, das komplett zu durchdenken. Ich meine aber, das schnudls Lösung richtig sein müsste (ich kann zumindest keinen Denkfehler finden und mir kommt es auch logisch und vernünftig vor).

Ich meine, dass der zeitunabhängige Teil einer Lösung entsprechen müsste, bei der die Mitte auf z. B. 0°C gehalten wird und der Rand auf einer festen Temperatur 15°C. Das ist dann aber mathematisch das selbe, wie das el. Potential bei einem Zylinder-Kondensator und schnudls Lösung ist ja auch entsprechend.

Dieser zeitunabhängige Teil würde dann so bleiben und der zeitabhängige Teil wäre eben so, dass einfach an jeder Stelle der Wert h dazu addiert wird. ME müsste der auch linear ansteigend sein.

Dann wäre die Antwort auf Deine ursprüngliche Frage also "Ja". Das, was Du als "Temperaturverteilung" bezeichnet hast, bleibt in der Tat die ganze Zeit gleich. Allerdings wird das sicherlich eine eher stark vereinfachte Näherung sein.

Gruß
Marco
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6172
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 26. Okt 2007 10:44    Titel: Antworten mit Zitat

Schon alleine die Annahme dass in z-Richtung keine Wärme entweicht, was letztlich auf das eindimensionale Problem führt, ist bei einem so kurzen Zylinder sicher mehr als falsch.

Weiters wäre es interessant, wie lange es braucht, bis ein solcher eingeschwungener zustand erreicht ist.

Zum Vergleich mit dem Zylinderkondensator: So habe ich es anfangs auch lösen wollen, nur das Potential in diesem ist (wenn man eine Spannungsdifferenz anlegt)



was aber ganz anders aussieht, als meine partikuläre Lösung mit der quadratischen Abhängigkeit.
grübelnd

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Niels Bohr
Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 26. Okt 2007 11:26    Titel: Antworten mit Zitat

Also erstmal vielen Dank für die Arbeit bis her. Leider muss ich zugeben das das ganze meinen Horizont übersteigt. Da es sich hier "nur" um ne Abschätzung handelt, kann man vieleicht auch einfach von einem Lineraen "Temperaturverlauf" ausgehen.
Find das ganze schon sehr interessant, hab aber momentan nicht die Zeit mich da so reinzudenken. Werd das noch mal aufgreifen wenn ich wieder etwas zeit habe.
Erstmal ist es gut zu wissen, das meine überlegung mit der "Konstanten Temperaturverteilung" stimmt.

Hätte da aber noch mal ein paar fragen.

Woher hast du diese Geleichung?



Wenn ich das bei wiki richtig verstanden habe, steht das für die Partielle Ableitung?

Wofür stehen und ? Hatte eigentlich gedacht das für den Wärmeleitkoeffizienten steht, sieht aber eher so aus als wäre das ne Variable die du eingeführt hast.

Wie man sehen kann, bin ich relativ unwissend was das ganze angeht.
Danke und Gruß
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6172
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 26. Okt 2007 12:58    Titel: Antworten mit Zitat

Masterchriss hat Folgendes geschrieben:
Also erstmal vielen Dank für die Arbeit bis her. Leider muss ich zugeben das das ganze meinen Horizont übersteigt.

meinen auch...Big Laugh


Da es sich hier "nur" um ne Abschätzung handelt, kann man vieleicht auch einfach von einem Lineraen "Temperaturverlauf" ausgehen.

Da ist der quadratische sicher physikalischer und mit Sicherheit besser, da es bei einem linearen Verlauf einen "Spitz" bei r=0 gäbe, was nicht möglich ist: Wenn die Ableitung dT/dr ungleich Null ist, so bedeutet das einen Temperaturgradienten und damit automatisch einen Wärmetransport. Wohin soll ein solcher Wärmetransport bei r=0 denn hinführen ? Dort sitzt ja kein schwarzes Loch. Daher muss die Ableitung bei r=0 verschwinden. Bei der quadratischen Lösung ist dies der Fall.

Find das ganze schon sehr interessant, hab aber momentan nicht die Zeit mich da so reinzudenken. Werd das noch mal aufgreifen wenn ich wieder etwas zeit habe.
Erstmal ist es gut zu wissen, das meine überlegung mit der "Konstanten Temperaturverteilung" stimmt.

Hätte da aber noch mal ein paar fragen.

Woher hast du diese Geleichung?



Das ist die Wärmeleitungsgleichung.

Wenn ich das bei wiki richtig verstanden habe, steht das für die Partielle Ableitung?

Ja, in kartesischen koordinaten; und
Allerdings ist der Nabla Operator in Zylinderkoordinaten etwas komplizierter.

Wofür stehen und ? Hatte eigentlich gedacht das für den Wärmeleitkoeffizienten steht, sieht aber eher so aus als wäre das ne Variable die du eingeführt hast.

: siehe hier


:

Das was ich da gemacht habe nennt man einen Separationsansatz. Die Idee war, den obigen Ausdruck von @as_string in die Differentialgleichung einzusetzen. Daraus erhält man:



Das ist eine Gleichung, wo links nur r und rechts nur die Zeit t vorkommen. Die Gleichheit muss für alle nur erdenklichen Kombinationen aus r und t bestehen, also kommt man zum Schluss, dass beide Seiten konstant sind. Diese Konstante habe ich mit bezeichnet. Aus der speziellen Randbedingung kann diese Konstante bestimmt werden. Die Vorgangsweise hab ich nicht erfunden sondern ist Standard bei Differenzialgleichungen.


Wie man sehen kann, bin ich relativ unwissend was das ganze angeht.
Sowas ähnliches hat schon Sokrates mal gesagt...
Danke und Gruß


PS: Es wäre interessant, zu verifizieren, inwieweit das ganze wirklich stimmt. Du bräuchtest ja nur einen weiteren Temparatursensor reinzustecken (irgendwo in der Mitte) und schauen ob es stimmt. Halte uns bitte am Laufenden was dein Experiment ergibt.

_________________
Wer von der Quantentheorie nicht schockiert ist, hat sie nicht verstanden.
Niels Bohr
Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 26. Okt 2007 14:27    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Da ist der quadratische sicher physikalischer und mit Sicherheit besser, da es bei einem linearen Verlauf einen "Spitz" bei r=0 gäbe, was nicht möglich ist: Wenn die Ableitung dT/dr ungleich Null ist, so bedeutet das einen Temperaturgradienten und damit automatisch einen Wärmetransport. Wohin soll ein solcher Wärmetransport bei r=0 denn hinführen ? Dort sitzt ja kein schwarzes Loch. Daher muss die Ableitung bei r=0 verschwinden. Bei der quadratischen Lösung ist dies der Fall.


Jop, das ist ein echt gutes Argument. gefühlsmäßig würde ich sowieso sagen das solch ein quadratischer Ansatz der wirklichkeit näher kommt. Dann werde ich mich auf den Quadratischen Ansatz beschränken. Der würde dann folgendermaßen aussehen:



Und diese "Temperaturverteilung" würde über den kompletten Zeitraum meines Versuchs gleichbleiben. Das gefällt mir. Kann man relativ einfach mit rechnen.



Zitat:
PS: Es wäre interessant, zu verifizieren, inwieweit das ganze wirklich stimmt. Du bräuchtest ja nur einen weiteren Temparatursensor reinzustecken (irgendwo in der Mitte) und schauen ob es stimmt. Halte uns bitte am Laufenden was dein Experiment ergibt.


Problem ist, die Versuche sind eigentlich soweit beendet. Muss jetzt noch einiges schreiben. Kann ich eventuell noch mal ausprobieren wenn ich meine Diplomarbeit abgegeben habe. Wenn ich dann da nochmal rann darf.

Auf jeden fall vielen Dank, habt mir echt weitergeholfen.

Gruß Chris
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