Resonanz/Dämpfung

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Betrachtet versch. Überlagerungen zweier harmonischer Schwingungen, so gibt es ja den Fall, dass diese beiden Oszillatoren mit gleicher Frequenz schweingen. Das bedeutet aber ja noch nicht, dass sie auch in Phase, d.h. mit

schwingen.
Jetzt dachte ich bis vor kurzem immer, dass Resonanz eintritt, wenn beide mit derselben Frequenz

und mit

schwingen (also quasi positive Interferenz eintritt!), was aber anscheinend falsch ist.
Habe jetzt erfahren, dass
1. die Frequenzen nicht exakt übereinstimmen, sondern nur gilt:

und 2. die Resonanz bei

bzw.

eintritt.
Wieso? Lässt sich das nur mathematisch erklären? Und was hat das Ganze mit der Dämpfung zu tun? Ich meine, wieso muss denn die max. Energieübertragung von der Dämpfung abhängen?

Bitte euch sehr um eure Hilfe

!!!

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Da stehe ich nun ein wenig auf der Leitung, denn Resonanz hat nichts mit der Überlagerung zweier Schwingungen bzw. mit Interferenz zu tun, sondern ist eine Besonderheit im dynamischen Verhalten eines schwingungsfähigen Systems, welches mit einer bestimmten Frequenz erregt wird. Man hat zB eine Gesamt-Spannung an einem Serien-Schwingkreis und die Spannung an dessen Kondensator. Diese beiden Spannungen sind bei Resonanz in der Tat um 90° verschoben, es geht hier aber nicht um zwei überlagerte Schwingungen...

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Mir ist schon klar, dass ich es hier nur mit einem schwingungsfähigen System zu tun habe, ich dachte nur, ich könnte mir das so vorstellen, als wären es zwei Schwingungen - nämlich zum einen die Eigenschwingung des Oszillators und zum anderen die von außen aufgezwungene Schwingung, wobei erstere natürlich nicht schwingt in dem Sinne...
Immerhin heißt es ja auch: wenn

, obwohl die Eigenfrequenz nur "sichtbar" wird, wenn der Oszillator ohne äußeren Einfluss schwingen würde!
Wie stellt ihr euch das denn vor?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ah, da hast du glaube ich zwei Dinge durcheinandergebracht:

Die Überlagerung zweier Schwingungen ist etwas anderes als der von einer externen periodischen Kraft getriebene harmonische Oszillator.

Die Überlagerung zweier Schwingungen hast du dann, wenn sich zwei Schwingungen nicht gegenseitig beeinflussen, so dass sich die Amplituden dieser beiden Schwingungen einfach addieren. Diese Gesamtamplitude wird natürlich dann besonders hoch (nämlich zur Summe der beiden Amplituden), wenn die beiden Schwingungen am selben Ort genau gleichphasig erfolgen.

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Der getriebene harmonische Oszillator ist etwas anderes: Hier hast du einen schwingenden Körper, auf den eine äußere periodische Kraft wirkt.

Magst du dazu mal in den folgenden Link schauen

http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/online-skript/d70_06.html

und auch auf den Link zum zugehörigen Applet klicken, der zeigt, wie das am Beispiel eines Federpendels, das auf und ab bewegt wird, aussieht?

http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/online-skript/d70_06b.html

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Danke für den Link:-)
Soll ich ganz ehrlich sein? Aus den Gleichungen auf der linken Seite werde ich nicht ganz schlau. Für mich sieht die DGL für eine gedämpfte harmon. Schwingung folgendermaßen aus:

Und die Lösung dieser DGL sieht für mich folgendermaßen aus:

. Die Gleichungen dort verstehe ich nicht.
Die Resonanzkurve rechts hab ich allerdings verstanden: Für ein

ist die Amplitude A umso größer je schwächer die Dämpfung ist (also die bunten Linien). Und die Kurve darunter: Wenn die aufgezwungene Schwingung zunächst kleiner ist als die Eigenschwingung des Oszillators und dann immer mehr zunimmt in Richtung Eigenschwigung, dann wird die Phase

gleich

. Erhöht man ab dieser Stelle noch weiter die Frequenz, dann geht die Phase gegen -

. O.K., aber ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich das interpretieren soll! Warum gerade

? Und welche Auswirkungen haben die unterschiedlichen Dämpfungen auf die Phase? Versteh ich das überhaupt richtig: mit "die Phase" ist auf dieser Homepage die Phasendifferenz gemeint? Und wieso entsteht Resonanz nur, wenn

? Ich glaub ich werde diese Resonanzerscheinung wohl nie verstehen......

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Eigentlich habe ich dir diese Links gar nicht wegen der Gleichungen drin gegeben, und nur ein kleines bisschen wegen der Diagramme für die Amplitude und Phase.

Das wichtigste war mir hier der Link zu dem Java-Applet, den man von dieser Seite aus erreicht und ich unten extra nochmal dazugetan habe, denn da kannst du selber ausprobieren und herumspielen, wie das Federpendel schwingt, wenn du es mit verschiedenen Frequenzen auf und ab bewegst. Das ist fast genausogut wie wenn du selbst ein Federpendel findest, das in die Hand nimmst und selbst experimentierst, um ein Gefühl für die Sache zu bekommen.

Wie sieht das also im Experiment aus, wenn die Anregungsfreuquenz sehr klein ist, sehr groß ist, oder nahe der Resonanzfrequenz ist? Was machen Phasenverschiebung und Amplitude?

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Das hab ich ja grad oben beschrieben:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das nur anhand der Kurven zu verstehen, die in abstrakter Form die Ergebnisse von Versuchen zeigen, halte ich für ein bisschen abstrakt und mühsam. Magst du statt dessen am besten mal selbst mit so einer Feder experimentieren? Oder, falls du gerade keine zur Hand hast, mal mit dem Applet spielen, dessen Link ich dir gegeben habe?

Ich finde, man bekommt ein viel besseres Gefühl und Verständnis für die Sache, wenn man so ein Experiment wirklich mal konkret gemacht oder gesehen hat.

(Selbst eine Erklärung in Worten wie die folgende ist sicher nicht so gut wie selberexperimentieren:

Wenn man ein schwingendes System mit genau der Frequenz anregt, mit der es sowieso selbst frei schwingen würde, dann geht das natürlich am leichtesten und die Amplitude wird am größten.)

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Nun gut, ich habe mit dem Applet gespielt. Und so eine Feder hatte ich auch schon mal in der Hand. Und bin so schlau wie zuvor.
Vielleicht hab ich mein Problem noch nicht ganz klar ausgedrückt: Ich mache den Versuch und sehe, was passiert. Ich sehe auch die Graphik, und kann sie interpretieren (war es denn überhaupt richtig, was ich gesagt habe?). Das Problem bei mir ist beides miteinander zu verknüpfen! Deshalb verstehe ich auch nicht, warum es zu diesem Resonanzphänomen grade bei

kommt und nicht bei

oder so.... Und DAS werde ich bestimmt nicht verstehen, wenn ich mit so einer Feder jetzt spielen würde!

Deshalb habe ich auch versucht mir das Ganze mit zwei Schwingungen vorzustellen, was ja falsch ist, weil ich nicht dran gedacht habe, dass sich hier die Schwingungen gegenseitig beeinflussen....

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Vielen lieben Dank für die superausführliche Antwort smile

Ich scheine tatsächlich langsam zu verstehen: ich muss mich bei der Resonanzerscheinung quasi auf die externe antreibende Kraft konzentrieren, wenn ich verstehen will, warum die Amplitude nur unter den zwei Bedingungen (delta phi gleich pi/2 und omega gleich omega_null)maximal wird. Je nachdem, ob sie gerade nicht von anderen Kräften ausgeglichen wird, treibt sie als Resultierende die Masse am Pendel immer wieder in Richtung der Gleichgewichtslage zurück. Zu deinem Vorschlag F_ext(t) einzuzeichnen: wie soll das denn gehen, wenn das Diagramm nur das Verhältnis Amplitude zum Frequenzverhältnis zeigt? Irgendwie verstehe ich das grade nicht....

So, jetzt bin ich grade am Überlegen, was die Höhe der Amplitude im Fall der Resonanz begrenzt: Zum einen hängt die Amplitude von der Größe des "Bruchteils" der externen Kraft ab und zum anderen von der Dämpfung, oder? Immerhin wird die Amplitude ja nicht unendlich groß! Bzw. irgendwo habe ich mal gelesen, dass sie im Falle gar keiner Dämpfung unendlich groß werden kann! -- Stimmt das? Warum? Also wieso wird die Amplitude umso größer je schwächer die Dämpfung wird? Kann man sich das so vorstellen, dass die Dämpfung eine Art Gegenkraft zur externen Kraft ist? Oh je, ich merke gerade, dass meine Ausdrucksweise heute sehr schlecht ist und ganz und gar nicht wissenschaftlich:-) Hoffe du kannst verstehen, was ich meine Augenzwinkern

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Oh super, danke für dein Bemühen! Dachte schon du würdest meine miserable Sprache diesmal nicht verstehen:-)

Eine kleine Frage noch: wieso kann bei hypothetisch ungedämpfter Schwingung (kommt ja so in der Realität nicht vor) die Amplitude unendlich groß werden? Ich meine, selbst wenn in diesem Fall gar keine Energie verlorengehen würde, so ist die Energie ja doch begrenzt groß, da auch die externe Kraft begrenzt groß ist und somit ja auch die Amplitude nur begrenzt groß werden kann! Oder verwechsle ich da jetzt wieder etwas?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ein Vergleich als Tipp: Wieso wird die kinetische Energie eines Schlittens immer größer, wenn man ihn immer weiter mit einer begrenzt großen, konstanten Kraft beschleunigt?

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

weil das eine gleichförmig beschleunigte Bewegung ist, d.h. die Geschwindigkeit nimmt immer weiter zu und daher auch die kinet. Energie.
Aber hier ist die Kraft ja nicht nur selbst begrenzt groß, sondern sie wirkt auch noch in einem kurzen, begrenzten Zeitraum (mal kurz unterhalb der Gleichgewichtslage, mal kurz darüber und das immer abwechselnd- periodisch eben). Ins Unendliche kann hier also nichts gehen, oder?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das Prinzip ist in beiden Fällen das gleiche: Auch beim ungedämpften Oszillator führt die treibende Kraft im Resonanzfall einfach immer weiter Energie zu, so dass die Amplitude immer größer wird.

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Und je größer die treibende Kraft in einem kurzen Zeitbabschnitt ist, desto größer die Beschleunigung und desto größer die Amplitude.
Generell ist es aber so, dass dann, wann die Kraft aufhört zu wirken, nichts mehr beschleunigt werden kann, und die Amplitude wird deshalb auch nie unendlich groß--
Ist das die Antwort auf meine vorherige Frage?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Nein, die treibende Kraft hört doch gar nicht auf zu wirken: Sie beschleunigt den Oszillator im Resonanzfall immer so, dass die Amplitude größer wird, weil sie immer nur in Bewegungsrichtung wirkt. Wenn er sich nach oben bewegt, nach oben, und wenn er sich nach unten bewegt, nach unten.

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Habe nach meinem Denkfehler gesucht, kann ihn aber nicht finden (tut mir leid, wenn ich dich nerven sollte, aber das ist bestimmt nicht meine Absicht):
Mit "aufhören zu wirken" habe ich gemeint, dass die unendliche Auslenkung ja durch den Zug der Feder (um bei deinem Beispiel zu bleiben) wieder in Richtung Gleichgewihctslage verhindert werden würde. Während das passieren würde, würde die Geschwindigkeit schließlich bei max. Auslenkung ja wieder bei Null angelangen.

Jetzt hast du gemeint, es sei o.K. zu sagen, dass die Dämpfung sozusagen Gegenkraft zur externen Kraft ist. Wodurch wird sie denn versursacht? Etwa auch durch den Zug der Feder?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Überleg mal: Die Kraft dreht ihre Richtung ja auch immer mit um, wenn der Oszillator am Umkehrpunkt angekommen ist und zurückschwingt. Also wird die Amplitude bei jedem Mal Schwingen größer.

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Das ist einleuchtend... dass ich bloß nie selbst drauf komme.....
ich hatte wohl mit der Zeit irgendwie den Überblick verloren, aber ich denke ich habe es jetzt verstanden smile

Vielen Dank für deine Hilfe und v.a. die Geduld Augenzwinkern