Homogene vs. inhomogene DGL

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Hi,

kann mir jemand sagen, ob die DGL im Anhang homogen ist? Ich würde sagen, ja, da kein f(t) vorkommt!?

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!500:Differentialgleichungen

Danke!

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

und was ist mit dem g? f(x) kann ja auch eine Konstante sein.

Gruß

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Danke, aber wieso heisst es dann f(x)?

Ich tue mir etwas schwer, die Intuition dahinter zu verstehen. Was bedeutet es denn wenn es wie im homogenen Fall = 0 ist?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

f(x) ist der allgemeine Fall. Aber f(x) kann eben auch konstant sein. Ein Sonderfall stellt aber f(x)=0 (homogener Fall) dar.

f(x) wird ja auch als "Störfunktion" bezeichnet. Durch die Störfunktion unterliegt das System sozusagen noch äußeren Einflüssen.

Beispiel: Eine Tierpopulation entwickelt sich völlig isoliert. Die Populationsgröße wird (stark vereinfacht) nur durch die Reproduktionsrate und Sterblichkeitsrate bestimmt => homogene DGL
Nun wird in die Population noch von außen eingegriffen, in dem z. B. Tiere ausgewildert oder gefangen werden. => inhomogene DGL

Gruß

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Ok danke, aber y ist doch auch eine Funktion von x oder nicht!?

Wieso ist dann y'=3y homogen aber y'=3y + x nicht?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

die DGL ist inhomogen, wenn es eine Störfunktion gibt. Die Störfunktion kann zwar auch eine Funktion von x sein, aber sie enthält kein y oder eine Ableitung von y. Das ist der große Unterschied, denn y ist ja die gesuchte Funktion (Lösung der DGL).

Nimm z. B. ein Federpendel. Wenn es sich um eine freie Schwingung handelt, dann besteht die DGL nur aus Termen, die die gesuchte Ortsfunktion x(t) oder ihre Ableitungen enthalten. Das Pendel wird ja dann auch (nach einmaligem Anstoßen oder Auslenken) sich selbst überlassen. Handelt es sich hingegen um eine erzwungene Schwingung (Beispielsweise durch eine harmonische Anregung), dann wird das Pendel ständig von außen beeinflusst (gestört). Die DGL erhält dann eine Störfunktion, die zwar auch von der Zeit t abhängt, aber die kein x(t) oder eine Ableitung von x enthält. Die Störfunktion ist also unabhängig von der Position (oder Geschwindigkeit oder Beschleunigung) der Pendelmasse. Die fremde Anregung des Pendels erfolgt stur nach einer bestimmten Zeitfunktion, egal, was das Pendel dabei macht.

Mathematisch ist die Unterscheidung vor allem wichtig, um die richtige Lösungsmethode für die DGL anzuwenden. Bei der inhomogenen DGL benötigt man zur Lösung ja die allgemeine Lösung der homogenen Form der DGL und eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL.

Ich bin kein Mathematiker und ich fürchte, besser kann ich es nicht erklären.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Die Unterscheidung homogen / inhomogen bezieht sich meines Wissens auf lineare Differentialgleichbungen.

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Ja, Franz das ist richtig. Bei nichtlinearen DGL gibt es die Unterscheidung homogen / inhomogen nicht (bzw. macht dort keinen Sinn).

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Hallo nochmal, vielen Dank für deine Erklärungsversuche aber ich steh leider immer noch auf dem Schlauch :-)

Kannst du mir sagen wieso im Gleichung 1 (Anhang) homogen ist und Gleichung 2 inhomogen? Ich könnte das sin(wx) in Gleichung 2 ja genauso gut nach links holen und es ist ja auch y=y(x).

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Ups, hier:

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Ok danke!

Und wenn in der Gleichung 2 anstatt sin(wx) stehen würde 3x, dann wäre es immernoch inhomogen AUSSER wenn y=3x wäre?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Zwei Fragen:

1. Also wenn in Gleichung 2 anstatt sinus stehen würde 3x, dann wäre die Gleichung ja immernoch inhomogen?

2. y ist doch eine Funktion von x, also könnte es ja zufällig auch y=3x sein oder nicht?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Amateurphysiker · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 307

Ok macht irgendwie Sinn! :-) Danke!