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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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 joe1 Verfasst am: 25. Feb 2017 17:50 Titel: Elektromagnetische Wellen: Wellengleichung |
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Hey Leute,
es geht um die Herleitung der Wellengleichung bei elektromagn. Wellen.
Allgemeine Wellengleichung (1) in 3D:
})
Es gelten ja folgende Maxwell-Gleichungen in Vakuum:
Und dann soll folgendes meine Wellengleichung sein:
 = \vec \nabla \cdot \left(\vec \nabla \cdot \vec E\right) -\Delta \vec E = \Delta \vec E =\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} )
 = \vec \nabla \cdot \left(\vec \nabla \cdot \vec B\right) -\Delta \vec B =\Delta \vec B =\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2} )
Also ich komme genau auf obiges nach sturem einsetzen der Maxwellgleichungen.
Fragen:
1. Hat man das einfach entdeckt, dass  und genau, im Fall von ) , die linke Seite der Wellengleichung entspricht?
2. Dann gilt auch noch  , um genau auf zu kommen. Ich nehme an für andere Media außer Vakuum gibt es dann dementsprechende Dielektrizitäts- und Permaabilitätskonstanten?
Gruß
joe1 |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 25. Feb 2017 19:18 Titel: Re: Elektromagnetische Wellen: Wellengleichung |
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| joe1 hat Folgendes geschrieben: | | Also ich komme genau auf obiges nach sturem einsetzen der Maxwellgleichungen. |
Sind wahrscheinlich nur Schreibfehler: Nach dem 1. Gleichheitszeichen kommt ein Gradient, keine Divergenz, und nach dem 2. und 3. Gleichheitszeichen kommt noch ein Minus.
| Zitat: | Fragen:
1. Hat man das einfach entdeckt, dass und genau, im Fall von , die linke Seite der Wellengleichung entspricht? |
Diese Frage verstehe ich nicht ganz. Wenn Du den Rotations-Operator auf beide Seiten der 3. und 4. Maxwell-Gleichung anwendest, erhältst Du
und eine analoge Gleichung für  . Ein Vergleich mit der Wellengleichung (1) aus Deinem Beitrag zeigt doch genau, dass dies einer Wellengleichung mit  entspricht.
| Zitat: | | 2. Dann gilt auch noch , um genau auf zu kommen. Ich nehme an für andere Media außer Vakuum gibt es dann dementsprechende Dielektrizitäts- und Permaabilitätskonstanten? |
Ja, in Medien gilt  und  , wobei die relativen Grössen  und  i.a. frequenzabhängig sind. Die Geschwindigkeit im Medium ist dann
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 25. Feb 2017 21:32 Titel: |
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Ahh stimmt, hab mich verschrieben, danke! Und der Laplace-Operator ist ja im Prinzip meine Summe über die zweifachen Ableitungen nach x,y,z-Koordinaten(3D).
Und eine Lösung ist dann wieder sowas wie bei der 1D-Wellengleichung:
)
Die Amplitude  kann ja nur eine Koordinate x, y oder z haben. Also kann man einfach schreiben  ,  , oder 
Aber da im Argument "kx" steht, kann man davon ausgehen, das sich die E-Welle ja entlang der x-Achse bewegt, also kann die Amplitude ja nur in richtung y, oder z gehen.
Stimmt das? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 25. Feb 2017 23:52 Titel: |
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Ja, die Lösungen sind ebene Wellen
)) oder )
mit  .
| joe1 hat Folgendes geschrieben: |
Die Amplitude kann ja nur eine Koordinate x, y oder z haben. Also kann man einfach schreiben , , oder
Aber da im Argument "kx" steht, kann man davon ausgehen, das sich die E-Welle ja entlang der x-Achse bewegt, also kann die Amplitude ja nur in richtung y, oder z gehen.
Stimmt das? |
Naja, die Vektoren  und  können beliebige Richtungen haben. Wegen  muss aber gelten  (nimmt man z.B. an, zeige in x-Richtung, dann folgt sofort  ). |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Feb 2017 00:16 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Ja, die Lösungen sind ebene Wellen |
Ebene monochromatische Wellen sind natürlich (wichtige) Lösungen der Wellengleichung, aber nicht "die Lösungen". |
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 26. Feb 2017 09:52 Titel: |
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Danke! Die Lösungen müssen also so gestaltet werden, dass auch die Maxwellgleichungen im jeweiligen Medium erfüllt sind.
Allgemein: Ortsvektor  bestimmt also auf bzw. um welche "Achse" die E-Welle schwingt. Mittels Wellenvektor  kann ich einen gewissen Ort irgendwo auf der Welle ansprechen, also den ortsabhängigen "y-Wert".
Naja und bei  ist es ja einfach die Zeitachse, um den meine Welle schwingt(wenn ich z.B. einen gewissen Ort festhalte) und \omega gibt halt an, wieviele Periodendauern in einer vollen Kreisumdrehung  stecken. Damit kann ich ja auch dann den y-Wert, wie oben bestimmen.
Und das Vorzeichen bei entscheidet noch, ob die Welle nach links oder rechts um läuft.
Ist das im Prinzip die Idee?
PS: Was wäre, wenn im Argument  stehen würde? Also negativ. Dann müsste sich die Welle ja im 4. Quadranten bewegen? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Feb 2017 11:44 Titel: |
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@franz: Da hast Du recht. Ich hatte gedacht, dass alle Lösungen als Linearkombinationen von ebenen Wellen dargestellt werden könnten bzw. nach solchen entwickelt werden könnten, aber das ist wahrscheinlich falsch.
| joe1 hat Folgendes geschrieben: | | Allgemein: Ortsvektor bestimmt also auf bzw. um welche "Achse" die E-Welle schwingt. Mittels Wellenvektor kann ich einen gewissen Ort irgendwo auf der Welle ansprechen, also den ortsabhängigen "y-Wert". |
Wenn schon wäre es umgekehrt. Der Wellenvektor k gibt die Richtung an, in welcher sich die Welle ausbreitet. Der Ortsvektor r gibt den Ort an, an dem man das zeitabhängige E-Feld ) betrachtet. Wenn im Argument der Exponentialfunktion  statt  stehen würde, so wäre dies einfach eine Welle, die sich in Richtung  ausbreitet. |
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 26. Feb 2017 13:15 Titel: |
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Ok, das ergibt mehr Sinn, stimmt das aber auch im Eindimensionalen überein?
Die Welle ) läuft wegen dem Minus nach rechts und die Welle ) läuft wegen dem Plus nach links. k kann ja hier z.b. gar keine Richtung angeben.
Wie stimmt obiges dann mit der 3D-Welle überein? |
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