Kugeln in Fallrinnen - Reihenfolge der Ankunft

willi_learn2 · Anmeldungsdatum: 13.10.2016 Beiträge: 53

Wie kann man berechnen, in welcher Reihenfolge und mit welchen Geschwindigkeiten Kugeln am Boden ankommen, die zur gleichen Zeit in unterschiedlichen Fallrinnen gegeben werden. Die Fallrinnen sind im angehängten Bild ersichtlich. Zu jeder Kugel soll zusätzlich ein s-t, v-t, a-t Diagramm erstellt werden.

Meine Frage ist, WIE man das grundsätzlich berechnen kann?

Mein Ansatz wäre über die Beschleunigung a=g also die Fallgeschwindigkeit und die Winkel der Fallrinnen. Gefühlsmäßig kann man recht gut feststellen, in welcher Reihenfolge sie unten ankommen, aber wie kann man dies physikalisch belegen?

Mit der bitte um Tipps, wäre sehr dankbar!

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

willi_learn2 · Anmeldungsdatum: 13.10.2016 Beiträge: 53

Die Kugeln haben also die gleichen Endgeschwindigkeiten, weil sie alle den gleichen Höhenunterschied überwinden? EDIT: + die gleiche horizontale Distanz?

Zur Reihenfolge: Gefühlsmäßig würde ich sagen Nummer 1, 3, 2 - 3 würde ich auf alle Fälle vor 2 setzen, da die Kugel schon mit einer gewissen Geschwindigkeit zum geraden Teil, der überwunden werden muss, hinkommt.

Trotzdem meine Frage: WIE ist es physikalisch zu belegen, in welcher Reihenfolge die Kugeln ankommen?

Und wie kann ich dazu ein s-t, v-t, a-t Diagramm erstellen?
Die Strecke und Geschwindigkeit ist ja bei allen gleich, ich steh grad ziemlich auf dem Schlauch...

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

da sich die Bahnen nicht geschlossen mathematisch beschreiben lassen, musst Du die Bahn in mehrere Teilstücke aufteilen (min. zwei, wenn man den jeweiligen Übergangsradius vernachlässigt).
Für jedes Teilstück betechnest Du dann die benötigte Zeit, wobei die Endgeschwindigkeit des ersten Teilstückes dann die Anfangsgeschwindigkeit des zweiten Teilstücks darstellt.

Aus dem Bauch heraus wird diejenige Bahn am schnellsten sein, bei der früh eine hohe Geschwindigkeit vorliegt. Übrigens: Es gibt einen Bahnverlauf, der allen drei Bahnen noch überlegen ist.

EDIT: Und die Strecke ist auch nicht bei allen Bahnen gleich, so wie ich die Skizzen sehe.

willi_learn2 · Anmeldungsdatum: 13.10.2016 Beiträge: 53

Ok, ich teile die Bahnen in zwei Teilstücke auf, aber wie kann ich für ein Teilstück die benötigte Zeit berechnen?

t = s/v

Die Strecke s kann ich theoretisch abmessen, die Anfangsgeschwindigkeit ist jeweils 0, es wirkt die Erdbeschleunigung g. Auch den Winkel könnte man miteinbeziehen.

Das sind alle Größen, von denen ich denke, dass ich damit arbeiten kann/muss, aber wie komme ich auf die richtige Formel?

Und wie kann ich damit ein s-t, v-t, a-t Diagramm erstellen?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Angenommen, ein Körper gleitet reibungsfrei die Bahnen entlang. Dann kannst Du über die Hangabtridbskraft auf die Beschleunigung a(t) schließen, welche auf jedem geraden Teilstück konstant sein wird. Diese einmal integriert liefert v(t), und ein zweites mal integrieret s(t). Es wird Sinn machen, wenn Du die Koordinate s entlang des Teilstücks laufen lässt. Aus s(t) kannst Du die benötigte Zeit für ein Teilstück ermittrln, indem Du nach t auflöst.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Wahrscheinlich hat hansguckindieluft gemeint, dass es eine Bahnkurve gibt, die schneller als alle anderen ist.

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

willi_learn2 · Anmeldungsdatum: 13.10.2016 Beiträge: 53

[quote]Angenommen, ein Körper gleitet reibungsfrei die Bahnen entlang. Dann kannst Du über die Hangabtridbskraft auf die Beschleunigung a(t) schließen, welche auf jedem geraden Teilstück konstant sein wird. Diese einmal integriert liefert v(t), und ein zweites mal integrieret s(t). Es wird Sinn machen, wenn Du die Koordinate s entlang des Teilstücks laufen lässt. Aus s(t) kannst Du die benötigte Zeit für ein Teilstück ermitteln, indem Du nach t auflöst.[/quote]

Ich habe nun über die Hangabtriebskraft Fh=m*g*sinAlpha auf die Beschleunigung geschlossen: a=g*sinAlpha

Einmal integriert ist v=gx*-cosAlpha
ein zweites Mal integriert ist s=gx²/2*-sinAlpha

Meine Fragen:
1) Ist das richtig, so wie ich es berechnet habe?
2) Das x, das beim Integral dazugekommen ist, wofür steht das bzw. welchen Wert sollte ich hier einsetzen? Ist das die Zeit t, so dass ich auch v(t)=gt*-cosAlpha einsetzen kann?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Hallo,

die Beschleunigung ist richtig. Allerdings ist beim Integrieren einiges schief gelaufen. Die Beschleunigung ist doch auf einem Teilstück konstant (denn der Winkel alpha ist ja konstant. Wie integriert man denn eine Konstante?
Und ja, die Variable ist hier die Zeit t, denn Geschwindigkeit und Beschleunigung sind ja Ableitungen nach der Zeit.

Gruß

willi_learn2 · Anmeldungsdatum: 13.10.2016 Beiträge: 53

Oh, das Integrieren ist bei mir schon einige Jahre her, ich habe das Integral von sinus und cosinus nachgeschlagen...

a(t)=g*sinAlpha
v(t)=gt*sinAlpha*t ?
s(t)= gt²/2*sinAlpha*t²/2 ?

Stimmt es so?

Und wenn ich nun das a-t Diagramm erstelle, dann ist die Beschleunigung ja für jeden Zeitpunkt unterschiedlich, also nicht linear, oder? Heißt ich nehme dann zb. 10 Zeitpunkte und berechne das a und erstelle daraus das Diagramm?
Kann ich ebenso für v(t) und s(t) verfahren?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

willi_learn2 · Anmeldungsdatum: 13.10.2016 Beiträge: 53

Ah, g ist eine Konstante, sin(Alpha) ebenso, also hängen sie beide zusammen über das Multiplizieren, weshalb das t für den gesamten Term dazukommt.

Super, danke für die Hilfe!