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Michel99
Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26
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 Michel99 Verfasst am: 17. Feb 2017 17:45 Titel: Feldtheorie: Geschlossenes Kurvenintegral eines Wirbelfeldes |
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Hallo, 
ich beschäftige mich zurzeit innerhalb des Elektromagnetismus mit der Feldtheorie und bin auf folgendes Problem gestoßen. Ich hoffe, die Community kann mir dabei helfen. Sollte ich irgendwo fachlich mathematische bzw. physikalische Fehler machen, bitte ich darum, mich zu korregieren.
Was ich weiß: 
Man unterscheidet Skalarfelder und Vektorfelder.
Erstere ordnen jedem Punkt im Raum ein Skalar (also nur Betrag) zu; zweitere ordnen jedem Punkt im Raum einen Vektor (also Betrag und Richtung) zu. [Ein Skalarfeld wäre in der Physik beispielsweise ein Potentialfeld.]
Jedem Punkt eines Skalarfeldes kann ein Gradient zugeordnet werden, der die Änderung des Skalars an jenem Punkt angibt und in die Richtung der Änderung zeigt. [Betrachtet man das Potentialfeld der Erde, dann zeigt der Gradient bei 'Änderung zum niedrigeren Potential' in Richtung Gefälle oder wenn man ihn andersrum definiert bei 'Änderung zum größeren Potential' in Richtung Steigung.] Bestimmt man den Gradient jedes Punktes eines Skalarfeldes, erhält man ein Gradientfeld, welches selbst ein Vektorfeld ist. Das Gradientfeld ist also der Differentialquotient eines Skalarfeldes. Kann ein Gradientfeld selbst wieder einen Diffenzialquotienten haben? Ich vermute: Ja 
Vektorfelder können eine Divergenz oder eine Rotation aufweisen.
Ein Vektorfeld hat eine positive Divergenz, wenn in einem begrenzten Bereich des Raumes, der durch das  beschrieben wird, mehr Gradient nach außen zeigt, als wieder hinein.  Bei einer negativen Divergenz zeigt mehr in den Bereich hinein als raus. 
[Im Potentialfeld der Erde wäre ein Tal eine negative Divergenz des Gradientfeldes des Gravitationspotentials.]
Ein Vektorfeld hat eine Rotation, wenn in einem begrenzten Bereich des Raumes, der durch das  beschrieben wird, die Beträge der Vektoren unveränder bleiben und sich nur ihre Richtung um einen bestimmten Betrag dreht. 
Vektorfelder, die eine Divergenz und keine Rotation beinhalten, bezeichnet man als Quellenfelder; Vektorfelder, die eine Rotation aber keine Divergenz beinhalten nennt man Wirbelfelder.
Können Felder gleichzeitig Quellen- und Wirbelfelder sein? Ich vermute, dass das nicht möglich ist.
Für Quellenfelder gilt:
Die Gleichung sagt aus, dass es sich um ein konventionelles Kraftfeld - ein Quellenfeld - handelt, dessen Änderung des Potentials nur vom Start- und Endpunkt und nicht vom Weg der Kurve S abhängt.
Für Wirbelfelder gibt:
Die Gleichungs sagt aus, dass es sich um ein nicht konventioelles Kraftfeld - ein Wirbelfeld - handelt, dessen Änderung des Potentials vom Weg und nicht vom Start- und Endpunkt der Kurve S abhängt.
Und jetzt zur Frage:
Gibt es ein Skalarfeld, was einem Wirbelfeld zugrunde liegt? Das Wirbelfeld müsste ja als Vekotrfeld auch das Gradientfeld eines Skalarfeldes sein, aber das würde ja dazu führen, dass an einer Stelle unterschiedliche Skalare bzw. Potentiale vorhanden sein müssen.
Konkretisierung:
Es gilt bekanntlich das Faraday´sche Induktionsgesetz:
 Wobei S die Randkurve der Fläche A ist
Das heißt aber, dass es eine Spannung ohne Divergenz gibt, deshalb bekommt eine Probeladung Energie, wenn sie sich z.B. einmal im Kreis wieder an dieselbe Stelle bewegt. Also muss sie von einem höheren zu einem niedrigeren Potential übergegangen sein.
Und genauso gilt das Ampere´sche Durchflutungsgesetz:
Auch hier wird Arbeit verrichtet, wenn ich einen Körper, auf den magnetische Kräfte wirken, einmal im Kreis wieder an dieselbe Stelle bewege. Dies wird durch die magnetische Spannung nochmals deutlich, die eine magnetische Potentialdifferenz ist.
Einer Stelle kann nur ein Potential zugeordnet sein. Heißt das, dass Wirbelfelder keine Potentialfelder sind. Der Begriff 'Spannung' setzt doch eine Potentialdifferenz voraus! 
Folglich habe ich irgendwo einen Fehler gemacht, doch ich kann ihn nicht finden.
Ich hoffe auf eine baldige Antwort.
MfG 
Michel  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 17. Feb 2017 20:40 Titel: Re: Feldtheorie: Geschlossenes Kurvenintegral eines Wirbelfe |
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| Michel99 hat Folgendes geschrieben: |
ich beschäftige mich zurzeit innerhalb des Elektromagnetismus mit der Feldtheorie und bin auf folgendes Problem gestoßen. Ich hoffe, die Community kann mir dabei helfen. Sollte ich irgendwo fachlich mathematische bzw. physikalische Fehler machen, bitte ich darum, mich zu korregieren.
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Auf gehts 
| Zitat: |
Man unterscheidet Skalarfelder und Vektorfelder.
Erstere ordnen jedem Punkt im Raum ein Skalar (also nur Betrag) zu;
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hier solltest Du präziser sein: Skalare können auch negativ sein (also nicht einfach nur "Betrag").
| Zitat: |
[Betrachtet man das Potentialfeld der Erde, dann zeigt der Gradient bei 'Änderung zum niedrigeren Potential' in Richtung Gefälle oder wenn man ihn andersrum definiert bei 'Änderung zum größeren Potential' in Richtung Steigung.]
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Der Gradient eines Skalarfeldes ist eindeutig definiert. Da kann man sich die Richtung nicht aussuchen.
| Zitat: |
Das Gradientfeld ist also der Differentialquotient eines Skalarfeldes.
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Etwas unsauber formuliert. Der Differentialquotient ist anders Definiert. Der Gradient ist ein Vektor, der Differentialquotienten enthält.
| Zitat: |
Vektorfelder können eine Divergenz oder eine Rotation aufweisen.
Ein Vektorfeld hat eine positive Divergenz, wenn in einem begrenzten Bereich des Raumes, der durch das beschrieben wird, mehr Gradient nach außen zeigt, als wieder hinein.
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Wo kommt hier der Gradient her? Ich denke Du meinst die "Vektorpfeile" des Vertorfendes, aber auch da muss man aufpassen, inwiefern zeigen denn "mehr" rein als raus?
| Zitat: |
[Im Potentialfeld der Erde wäre ein Tal eine negative Divergenz des Gradientfeldes des Gravitationspotentials.]
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Nein. In Oberflaechennähe gilt ja phi=m*g*z, der Gradient hat nur eine von Null verschiedene Komponente m*g. Diese ist aber konstant, die Divergenz also 0.
| Zitat: |
Ein Vektorfeld hat eine Rotation, wenn in einem begrenzten Bereich des Raumes, der durch das beschrieben wird, die Beträge der Vektoren unveränder bleiben und sich nur ihre Richtung um einen bestimmten Betrag dreht.
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Ich bin mir gerade nicht sicher, ob man es auch so formulieren kann. Es ist zumindest keine Formulierung, die ich wählen würde.
| Zitat: |
Können Felder gleichzeitig Quellen- und Wirbelfelder sein? Ich vermute, dass das nicht möglich ist.
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Ja, Es gibt Vertorfender deren Divergenz und Rotation ungleich Null sind. Zum Beispiel ist das elektrische Feld in der Elektrodynamik im Allgemeinen von dieser Form.
Es gilt sogar, dass die Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes, dieses eindeutig bestimmen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition
https://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz-Theorem#Physikalische_Betrachtung
| Zitat: |
Für Quellenfelder gilt:
Die Gleichung sagt aus, dass es sich um ein konventionelles Kraftfeld - ein Quellenfeld - handelt, dessen Änderung des Potentials nur vom Start- und Endpunkt und nicht vom Weg der Kurve S abhängt.
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Meinst Du "konservativ"?
| Zitat: |
Für Wirbelfelder gibt:
Die Gleichungs sagt aus, dass es sich um ein nicht konventioelles Kraftfeld - ein Wirbelfeld - handelt, dessen Änderung des Potentials vom Weg und nicht vom Start- und Endpunkt der Kurve S abhängt.
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Dito.
| Zitat: |
Gibt es ein Skalarfeld, was einem Wirbelfeld zugrunde liegt? Das Wirbelfeld müsste ja als Vekotrfeld auch das Gradientfeld eines Skalarfeldes sein, aber das würde ja dazu führen, dass an einer Stelle unterschiedliche Skalare bzw. Potentiale vorhanden sein müssen.
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Nein. Ein Vertorfend, dass der Gradient eines SKalarfeldes ist, ist immer wirbelfrei.
| Zitat: |
Konkretisierung:
Es gilt bekanntlich das Faraday´sche Induktionsgesetz:
Wobei S die Randkurve der Fläche A ist
Das heißt aber, dass es eine Spannung ohne Divergenz gibt, ...
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??
| Zitat: |
Heißt das, dass Wirbelfelder keine Potentialfelder sind.
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Ja (siehe vorletzte Bemerkung). |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3398
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| ML Verfasst am: 17. Feb 2017 21:42 Titel: Re: Feldtheorie: Geschlossenes Kurvenintegral eines Wirbelfe |
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Hallo,
| Michel99 hat Folgendes geschrieben: |
Konkretisierung:
Es gilt bekanntlich das Faraday´sche Induktionsgesetz:
wobei S die Randkurve der Fläche A ist.
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Wir wollen es gleich richtig schreiben:
mit der Zeitableitung IM Integral (nicht: davor).
Ich ergänze noch, dass die Umlaufrichtung und die Orientierung der Fläche einer üblichen Konvention folgend immer rechtshändig zueinander angenommen werden. Das ist für die Vorzeichen wichtig und ist in einem gewissen Sinn der "eigentliche" Grund dafür, dass im Induktionsgesetz das Minuszeichen steht.
| Zitat: |
Das heißt aber, dass es eine Spannung ohne Divergenz gibt, deshalb bekommt eine Probeladung Energie, wenn sie sich z.B. einmal im Kreis wieder an dieselbe Stelle bewegt.
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Du kennst diese "Spannung ohne Divergenz" vom Fahrradfahren. Vom Höhenprofil her musst Du bei einer Kreisfahrt ja so viel nach oben treten wie Du es nach unten rollen lassen kannst. Wenn Du aber bei der Kreisfahrt in einem Windwirbel fährst und daher ständig Rückenwind hast, hast Du sowas wie ein Wirbelfeld.
In der Elektrotechnik ist diese "Spannung ohne Divergenz" auch überall präsent.
Betrachten wir die Sekundärseite eines Transformators im Leerlauf:
- Wenn wir die Spannung zwischen den Sekundärklemmen als Linienintegral über das E-Feld entlang des Wickeldrahtes messen, so kommt null heraus. Begründung: Innerhalb des Drahtes ist  , da voraussetzungsgemäß (--> Leerlauf) kein Strom fließt und somit  gilt.
- Berechnen wir die Spannung als Linienintegral entlang der direkten Verbindung zwischen den Klemmen (durch die Luft), so kommt das heraus, was man üblicherweise die Sekundärspannung nennt und dann mit dem Oszilloskop anzeigt.
An der Sekundärseite des Transformators herrscht offensichtlich ein elektrisches Wirbelfeld. Aus diesem Grund darf man eigentlich nicht von "DER" Spannung sprechen, da es in Wirklichkeit ja viele verschiedene Spannnungen gibt -- für jeden Integrationsweg eine andere. Der Begriff "Spannung" ist insofern den (reinen) elektrischen Potentialfeldern vorbehalten.
In der E-Technik ignoriert man dieses Problem so weit wie es eben gerade noch geht.
- Zunächst einmal gilt ja, dass bei Wechselstrom grundsätzlich NIE ein Potentialfeld vorherrscht. Denn sobald wir unseren Stromkreis schließen, haben wir ja gewissermaßen eine von Wechselstrom durchflossene Spule mit der Windungszahl N=1. Der Draht umschließt dabei offensichtlich eine Fläche, in der (aufgrund des Wechselstroms) ein magn. Wechselfeld herrscht. Wir haben also immer Induktionseffekte, und es gilt für nahezu alle Umlaufwege*:
 .
- Bei kleinen Frequenzen ist es nun aber so, dass der Fehler, den man allein aufgrund der Eigeninduktion im Stromkreis macht, sehr klein ist. Die Induktivität einer solchen Luftspule mit der Windungszahl N=1 ist ja sehr klein.
- Erst, wenn man den Draht mehrfach wickelt (und dann idealerweise noch um einen Kern mit großem µr), werden die Abweichungen von den Zahlenwerten her relevant. Das siehst Du an der Formel für die Induktivität einer Spule. Sie steigt mit N²:
https://de.wikipedia.org/wiki/Induktivit%C3%A4t#Induktivit.C3.A4t_einer_Zylinderspule
Üblich ist es daher, dass man sich bei kleinen und mittleren Frequenzen darauf festlegt, dass man die Integrationswege immer so legt, dass sie nicht um die Wicklung von Spulen-/Transformatorenkernen herum gehen und insofern die Induktionseffekte im Stromkreis "in den Skat drückt". Mit der Spannung an einer solchen Wicklung meint man die Spannung AN der Wicklung (nicht: IN der Wicklung, also im Draht).
Nur unter dieser Grundvoraussetzung ist es überhaupt sinnvoll, bei Wechelstromrechnung näherungsweise die Kirchhoffsche Maschenregel
zu verwenden.
| Zitat: |
Einer Stelle kann nur ein Potential zugeordnet sein. Heißt das, dass Wirbelfelder keine Potentialfelder sind.
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Ja.
Hier eine Vorlesung vom MIT zu diesem Thema:
https://www.youtube.com/watch?v=nGQbA2jwkWI
Viele Grüße
Michael
* Möglicherweise kann man Umlaufwege definieren, für die das Integral "zufällig" null wird. Sie sind aber die Ausnahme. |
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Michel99
Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26
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| Michel99 Verfasst am: 18. Feb 2017 20:01 Titel: |
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Hallo,
ich hab nachgedacht und das ist dabei rausgekommen:
| Zitat: | | Der Gradient eines Skalarfeldes ist eindeutig definiert. Da kann man sich die Richtung nicht aussuchen. |
Wie denn? Immer vom höheren zum niedrigeren Wert oder umgekehrt?
| Zitat: | | Wo kommt hier der Gradient her? Ich denke Du meinst die "Vektorpfeile" des Vertorfendes, aber auch da muss man aufpassen, inwiefern zeigen denn "mehr" rein als raus? |
Zum Beispiel so: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Gradient2.svg/512px-Gradient2.svg.png (linke Seite)
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| Zitat: |
[Im Potentialfeld der Erde wäre ein Tal eine negative Divergenz des Gradientfeldes des Gravitationspotentials.]
| Zitat: |
Nein. In Oberflaechennähe gilt ja phi=m*g*z, der Gradient hat nur eine von Null verschiedene Komponente m*g. Diese ist aber konstant, die Divergenz also 0.
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Wenn der Gradient ungleich 0 ist, dann verändert sich das Potential. Der Ort mit dem geringsten Potential stellt eine Konvergenz dar, weil alle Gradienten in seine Richtung zeigen. Soweit ich das verstanden hab, ist es doch keine Bedingung, dass der Betrag des Gradienten konstant ist, um eine Divergenz aufzuweisen, sondern nur, dass alle Vektoren in einem Punkt bzw. Bereich zusammen oder auseinander laufen, also Punkte, an denen das Skalar kleiner oder größer ist. Also hat ein Stein, den ich auf einen Berg rolle ein höheres Potential, als ein Stein in einem Tal.
Vielleicht habe ich hier ein ungünstiges Beispiel gewählt, weil das Gravtiationpotential noch anders definiert ist.
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| Zitat: | | Zitat: | | ...konventionelles Kraftfeld... |
Meinst Du "konservativ"? |
... peinlich O_o Ja, ich meine konservativ 
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| Zitat: | Ja, Es gibt Vektorfelder deren Divergenz und Rotation ungleich Null sind. Zum Beispiel ist das elektrische Feld in der Elektrodynamik im Allgemeinen von dieser Form.
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Kann ich also eine Spannung, hervorgerufen durch eine Potentialdifferenz durch Induktion noch weiter verstärken und addieren sich die Spannungen dann einfach zusammen?
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mit 
Warum ist das so falsch?
Diese Formel unterscheidet sich doch von:
nur darin, dass ich den magnetischen Fluss direkt eingesetzt hab.
| Zitat: | | mit der Zeitableitung IM Integral (nicht: davor). |
Aber es ist ja nicht nur der magnetische Fluss B, der sich ändern kann, es kann sich auch die Fläche A ändern. Deshalb dachte ich, dass es mit der Änderung des magnetischen Flusses anstatt der Flussdichte allgemeiner und eleganter ist.
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| Zitat: |
Ich ergänze noch, dass die Umlaufrichtung und die Orientierung der Fläche einer üblichen Konvention folgend immer rechtshändig zueinander angenommen werden. Das ist für die Vorzeichen wichtig und ist in einem gewissen Sinn der "eigentliche" Grund dafür, dass im Induktionsgesetz das Minuszeichen steht. |
Ergänzung sind immer gut. Also bestimmt die Richtung des Vektors, der senkrecht auf der Fläche steht die Umlaufrichtung der Kurve beim Integrieren, ähnlich wie die Richtung eines axialen Vektors in der Mechanik bw.  den Drehsinn angibt. 
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| Zitat: |
Du kennst diese "Spannung ohne Divergenz" vom Fahrradfahren. Vom Höhenprofil her musst Du bei einer Kreisfahrt ja so viel nach oben treten wie Du es nach unten rollen lassen kannst. Wenn Du aber bei der Kreisfahrt in einem Windwirbel fährst und daher ständig Rückenwind hast, hast Du sowas wie ein Wirbelfeld.
In der Elektrotechnik ist diese "Spannung ohne Divergenz" auch überall präsent. |
 Ich glaube, ich habe endlich verstanden, wie man das betrachten muss. In der beschriebenen Situation mit dem Fahrard müsste ich eigentlich selbst immer wieder Energie zuführen, um das Potential des Profils zu erhöhen, welches dann in Bewegung umgesetzt wird. Aber wenn ich Rückenwind hab, dann wird ein Teil oder die ganze Energie aus einem anderen Feld bezogen - also vom Wind - und dieser kann das Rad direkt antreiben.
Genauso werden die Elektronen dann also nicht von einer Potentialdifferenz bewegt, sondern beziehen Energie aus dem sich ändernden magnetischen Feld, das Ladungen durch ein elektrisches Feld antreibt.
Unter Berücksichtigung der speziellen Relativität frage ich mich jetzt: Ist dieses elektrische Wirbelfeld dann überhaupt real, oder handelt es sich dabei wieder nur um eine Analogie, sowie bei magnetischen Wirbelfeldern?
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| Zitat: |
Betrachten wir die Sekundärseite eines Transformators im Leerlauf:
- Wenn wir die Spannung zwischen den Sekundärklemmen als Linienintegral über das E-Feld entlang des Wickeldrahtes messen, so kommt null heraus. Begründung: Innerhalb des Drahtes ist , da voraussetzungsgemäß (--> Leerlauf) kein Strom fließt und somit gilt.
- Berechnen wir die Spannung als Linienintegral entlang der direkten Verbindung zwischen den Klemmen (durch die Luft), so kommt das heraus, was man üblicherweise die Sekundärspannung nennt und dann mit dem Oszilloskop anzeigt. [...] Der Begriff "Spannung" ist insofern den (reinen) elektrischen Potentialfeldern vorbehalten. |
Innerhalb der Spule selbst existiert also kein E-Feld im herkömmlichen Sinne, sondern erst, wenn man den Elektronen ermöglicht sich in einem Bereich außerhalb der Spule zu bewegen, tritt ein Spannungsähnlicher Effekt auf, weil die Elektronen sich zwar aus der Spule bewegen wollen, es aber zuerst nicht können, weil an den Klemmen keine Ladung wieder hineinfließen kann.
| Zitat: | | Mit der Spannung an einer solchen Wicklung meint man die Spannung AN der Wicklung (nicht: IN der Wicklung, also im Draht). |
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| Zitat: |
- Bei kleinen Frequenzen ist es nun aber so, dass der Fehler, den man allein aufgrund der Eigeninduktion im Stromkreis macht, sehr klein ist. Die Induktivität einer solchen Luftspule mit der Windungszahl N=1 ist ja sehr klein.
- Erst, wenn man den Draht mehrfach wickelt (und dann idealerweise noch um einen Kern mit großem µr), werden die Abweichungen von den Zahlenwerten her relevant. Das siehst Du an der Formel für die Induktivität einer Spule. Sie steigt mit N²: |
Okay, dass ist wirklich ziemlich cool... riesige Leiterschleifen von meinem Haus bis zum Kraftwerk, da hab ich nie dran gedacht. :O Wenn ich das richtig verstanden hab, muss diese Selbstinduktion ihrer Ursache immer selbst entgegen wirken, sonst würde der Strom in so einem Stromkreis ins unermessliche steigen. Das ist ja auch eine mögliche Interpretation des - im Induktionsgesetz und nennt sich Lenz´sche Regel, richtig? Eigentlich besteht die Spannung eines Wechselstromkreises also immer aus der theoretischen Spannung wie beim Gleichstrom abzüglich der entgegengerichteten Selbstinduktionsspannung. Wow
Noch eine Theorie: Jedes elektrisches Feld kann Energie speichern (oder ist Energie?) > Kondensator und hat eine Energiedichte  , genauso hat jedes magnetische Feld eine Energiedichte. Kann man das Minus im Induktionsgesetz bei der Selbstinduktion dann auch so interpretieren, dass die Energie im magnetischen Feld steckt, was von der Leiterschleife erzeugt wird und deshalb "fehlt" diese dann im Stromkreis?
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Man spricht in Bezug auf die Induktionsspannung im Gegensatz zu den "skalaren" Potentialen auch von "Vektorpotentialen" richtig?
Die "magnetische Spannug"  heißt ja auch "magnetische Durchflutung", warum spricht man dann bei Induktions- und Durchflutungsgesetz nicht von "Durchflutung" anstatt von "Spannung"? Das würde dem ständig zweifelnden Schüler einige Mühen ersparen, indem man klar macht, dass es sich nicht um eine Spannung aus Potentialen handelt.
Vielen Dank schonmal für die wirklich aufschlussreichen Antworten!
MfG
Michel |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 18. Feb 2017 20:19 Titel: |
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Zwei kurze Anmerkungen.
1) Der Zusammenhang zwischen einem skalaren Feld, insbs. dem Potential Phi, sowie der mittels des Gradienten daraus abgeleiteten Vektorfeldes, insbs. dem elektrischen Feld, lautet
Betrag und Richtung von E folgen also eindeutig aus Phi.
2) Die Maxwellgleichung zur Verknüpfung von elektrischem und magnetischem Feld lautet
Die integrale Form folgt mittels Integration über eine Fläche S
Nun wendet man Links den Stokesschen Integralsatz an und erhält so ein Linienntegral entlang der die Fläche S berandende Kurve
Die Form, in der die Zeitableitung vor dem Integral steht ist nicht allgemeingültig sondern eine Näherung.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen#Erl.C3.A4uterungen
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3398
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| ML Verfasst am: 19. Feb 2017 02:03 Titel: |
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Hallo,
| Michel99 hat Folgendes geschrieben: |
Kann ich also eine Spannung, hervorgerufen durch eine Potentialdifferenz durch Induktion noch weiter verstärken und addieren sich die Spannungen dann einfach zusammen?
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Du kannst Dir jedes (nicht-pathologische) Vektorfeld als Überlagerung eines reinen Quellenfeldes und eines reinen Wirbelfeldes zusammengesetzt denken. Die Felder überlagern sich dann einfach so.
| Zitat: |
mit
Warum ist das so falsch?
Diese Formel unterscheidet sich doch von:
nur darin, dass ich den magnetischen Fluss direkt eingesetzt hab. |
Statt des Vektorfeldes  setzt Du den magn. Fluss (Flächenintegral über ) ein. Das ergibt einfach mal was anderes.
Ich ahne, wo Dein Gedankenfehler liegt: Du lässt Dich irgendwie durch das doppelte Integralzeichen (Integration über die Fläche) irritieren.
 ist schon die Integration über die Fläche. Du brauchst hier nicht nochmal zwanghaft das Doppelintegralzeichen zu notieren:  . Und erst recht kannst Du jetzt nicht eine Integration im Sinne von  separat rausziehen.
Dieses Doppelintegral bräuchtest Du nur, wenn Du beispielsweise separat über die x- und y-Koordinate integrieren würdest.
| Zitat: |
| Zitat: | | mit der Zeitableitung IM Integral (nicht: davor). |
Aber es ist ja nicht nur der magnetische Fluss B, der sich ändern kann, es kann sich auch die Fläche A ändern. Deshalb dachte ich, dass es mit der Änderung des magnetischen Flusses anstatt der Flussdichte allgemeiner und eleganter ist.
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TomS hat Dir ja schon erklärt, weshalb es rechnerisch so rauskommen muss. Ich ergänze noch ein wenig:
Grundsätzlich musst Du zwischen folgenden zwei Größen unterscheiden:
a) der Spannung zwischen den Klemmen eines Drahtes/einer Spule und
b) dem Ringintegral über E
Die Bewegung des Leiterdrahtes im B-Feld führt i. A. zu einer Spannung an den Klemmen des Drahtes, aber nicht zu einem Ringintegral über E.
| Zitat: |
| Zitat: |
Ich ergänze noch, dass die Umlaufrichtung und die Orientierung der Fläche einer üblichen Konvention folgend immer rechtshändig zueinander angenommen werden. Das ist für die Vorzeichen wichtig und ist in einem gewissen Sinn der "eigentliche" Grund dafür, dass im Induktionsgesetz das Minuszeichen steht. |
Ergänzung sind immer gut. Also bestimmt die Richtung des Vektors, der senkrecht auf der Fläche steht die Umlaufrichtung der Kurve beim Integrieren, ähnlich wie die Richtung eines axialen Vektors in der Mechanik bw. den Drehsinn angibt. |
Du kannst Dich bei der Integration entscheiden, ob Du das Linienintegral in der einen oder der anderen Richtung durchführen willst. Die positive Richtung der Fläche musst Du dann aber immer rechtshändig zu der Umlaufrichtung des Linienintegrals legen (d. h. in Abhängigkeit von der Umlaufrichtung bei der Linienintegration).
| Zitat: |
Ich glaube, ich habe endlich verstanden, wie man das betrachten muss. In der beschriebenen Situation mit dem Fahrard müsste ich eigentlich selbst immer wieder Energie zuführen, um das Potential des Profils zu erhöhen, welches dann in Bewegung umgesetzt wird. Aber wenn ich Rückenwind hab, dann wird ein Teil oder die ganze Energie aus einem anderen Feld bezogen - also vom Wind - und dieser kann das Rad direkt antreiben. |
Ja. Im Falle des elektrischen Wirbelfeldes kommt die Energie direkt vom Feld. Das E-Feld ist also gewissermaßen selbst schon der "Rückenwind".
| Zitat: |
Genauso werden die Elektronen dann also nicht von einer Potentialdifferenz bewegt, sondern beziehen Energie aus dem sich ändernden magnetischen Feld, das Ladungen durch ein elektrisches Feld antreibt. |
Das kannst Du, denke ich, so sehen.
| Zitat: |
Unter Berücksichtigung der speziellen Relativität frage ich mich jetzt: Ist dieses elektrische Wirbelfeld dann überhaupt real, oder handelt es sich dabei wieder nur um eine Analogie, sowie bei magnetischen Wirbelfeldern? |
Es ist mit einem ganz normalen Oszilloskop messbar. Ich hatte Dir ja eine Vorlesung vom MIT gepostet. Ganz am Ende führt der Professor eine Messung durch.
| Zitat: |
Innerhalb der Spule selbst existiert also kein E-Feld im herkömmlichen Sinne, sondern erst, wenn man den Elektronen ermöglicht sich in einem Bereich außerhalb der Spule zu bewegen, tritt ein Spannungsähnlicher Effekt auf, weil die Elektronen sich zwar aus der Spule bewegen wollen, es aber zuerst nicht können, weil an den Klemmen keine Ladung wieder hineinfließen kann. |
Der Begriff Spannung ist nicht sinnvoll. Wir können einfach sagen, dass im Spulendraht kein E-Feld ist, zwischen den Klemmen in der Luft aber schon.
Wenn wir die Bedingungen ändern und wir die Spulenenden über einen Widerstand verbinden, dann fließt ein Strom. Im Draht ist dann ein kleines E-Feld, und im Widerstand ein großes E-Feld.
| Zitat: |
Okay, dass ist wirklich ziemlich cool... riesige Leiterschleifen von meinem Haus bis zum Kraftwerk, da hab ich nie dran gedacht. :O Wenn ich das richtig verstanden hab, muss diese Selbstinduktion ihrer Ursache immer selbst entgegen wirken, sonst würde der Strom in so einem Stromkreis ins unermessliche steigen. Das ist ja auch eine mögliche Interpretation des - im Induktionsgesetz und nennt sich Lenz´sche Regel, richtig?
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Ja, das ist eine mögliche Interpretation. Ich finde aber, man macht in der Schulphysik um dieses Vorzeichen viel zu viel Wind.
Ich hatte ja schon angedeutet, dass dieses Vorzeichen ein "+" wäre, wenn sich die Mathematiker, die den Satz von Stokes aufgeschrieben haben, auf ein Linkssystem zwischen Fläche und Umlaufrichtung festgelegt hätten.
Würde man bei einem Plus-Vorzeichen auch so viel Wind machen? Ich glaube nicht. Dabei verletzt ja praktisch jede physikalische Gleichung einen grundlegenden Zusammenhang, wenn man einfach mal so das Vorzeichen umdreht.
| Zitat: |
Eigentlich besteht die Spannung eines Wechselstromkreises also immer aus der theoretischen Spannung wie beim Gleichstrom abzüglich der entgegengerichteten Selbstinduktionsspannung. Wow |
Es ist sogar noch schlimmer. Die Nachbarstromkreise können auch noch Störungen einbringen, da ihr B-Feld ja auch in in den Stromkreis reinwirkt. Um diese Induktionsgeschichten möglichst klein zu halten, verdrillt man die Drähte daher gerne.
https://de.wikipedia.org/wiki/Verdrillung
| Zitat: |
Noch eine Theorie: Jedes elektrisches Feld kann Energie speichern (oder ist Energie?) > Kondensator und hat eine Energiedichte , genauso hat jedes magnetische Feld eine Energiedichte. Kann man das Minus im Induktionsgesetz bei der Selbstinduktion dann auch so interpretieren, dass die Energie im magnetischen Feld steckt, was von der Leiterschleife erzeugt wird und deshalb "fehlt" diese dann im Stromkreis? |
Die Energie steckt in den Feldern, das ist richtig. Ich würde hier aber keine so weitreichende Interpretation wagen.
| Zitat: |
Man spricht in Bezug auf die Induktionsspannung im Gegensatz zu den "skalaren" Potentialen auch von "Vektorpotentialen" richtig?
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Ich weiß nicht, ob Du es richtig meinst. Ich glaube aber, eher nicht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorpotential
| Zitat: |
Die "magnetische Spannung" heißt ja auch "magnetische Durchflutung", warum spricht man dann bei Induktions- und Durchflutungsgesetz nicht von "Durchflutung" anstatt von "Spannung"? Das würde dem ständig zweifelnden Schüler einige Mühen ersparen, indem man klar macht, dass es sich nicht um eine Spannung aus Potentialen handelt. |
Der Begriff Spannung bedeutet "Potentialdifferenz". Jede andere Verwendung ist zumindest erklärungsbedürftig.
Gerade beim Begriff "magn. Spannung" muss man schon ziemlich genau wissen, was man da macht. Der Begriff selbst ist m. E. irreführend.
Viele Grüße
Michael |
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Michel99
Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26
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| Michel99 Verfasst am: 19. Feb 2017 16:05 Titel: |
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Hallo,
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
[...]
Betrag und Richtung von E folgen also eindeutig aus Phi. |
Ok, ist einleuchtend.
_______
| Zitat: | Ich ahne, wo Dein Gedankenfehler liegt: Du lässt Dich irgendwie durch das doppelte Integralzeichen (Integration über die Fläche) irritieren.
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Ja, daran lags... Oh je
_______
| ML hat Folgendes geschrieben: |
Grundsätzlich musst Du zwischen folgenden zwei Größen unterscheiden:
a) der Spannung zwischen den Klemmen eines Drahtes/einer Spule und
b) dem Ringintegral über E
Die Bewegung des Leiterdrahtes im B-Feld führt i. A. zu einer Spannung an den Klemmen des Drahtes, aber nicht zu einem Ringintegral über E. |
Aha, dass bedeutet die Gleichung macht nur Sinn, wenn sich  ändert und ruft folglich a) durch b) hervor.
Wenn man eine Induktion durch die Änderung der Fläche  hat, ist die Ursache nicht mehr b), aber trotzdem tritt a) auf und dann muss, streng genommen, eine andere Formel verwendet werden, da sich nicht ändert. Wie würde diese dann korrekterweise lauten?
Dann sollte das Durchflutungsgesetz auch eher so ausssehen:
Hier dasselbe: Wie müsste eine Formel aussehen, die die Änderung der Fläche berücksichtigt.
_______
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Nun wendet man Links den Stokesschen Integralsatz an und erhält so ein Linienntegral entlang der die Fläche S berandende Kurve. [...]
Die Form, in der die Zeitableitung vor dem Integral steht ist nicht allgemeingültig sondern eine Näherung. |
Die Argumente verstehe ich, mathematisch betrachtet muss es so richtig sein, aber warum ist die Reihenfolge so wichtig? Von den Operationen her sieht es für mich unwissenden Schüler so aus, als ob es letzendlich egal ist, ob ich zuerst integriere und dann ableite. Kann mir vielleicht jemand ein Beispiel zeigen, indem man den Unterschied sehen kann?
Konkret:
Warum ist der Ausdruck:
exakter als:
bzw. :
 \, d\vec{A})
exakter als:
\, d\vec{A}=I+\frac{\partial\Psi} {\partial t})
?
_______
| ML hat Folgendes geschrieben: |
Es ist mit einem ganz normalen Oszilloskop messbar. Ich hatte Dir ja eine Vorlesung vom MIT gepostet. Ganz am Ende führt der Professor eine Messung durch. |
Das Magnetfeld um einen Leiter kann man ja auch ganz einfach messen, aber in Wirklichkeit gibt es das ja nicht, sondern es handelt sich nur um eine Darstellung zur Veranschaulichung. Die Kräfte, die zwischen Stromdurchflossenen Leitern wirken, sind auf rein elektrostatische Kräfte durch Verzerrung der Linienladungsdichten zurückzuführen. Ich dachte mir, vielleicht ist das bei Induktion auch der Fall.
_______
| ML hat Folgendes geschrieben: |
Ich finde aber, man macht in der Schulphysik um dieses Vorzeichen viel zu viel Wind. [...] Würde man bei einem Plus-Vorzeichen auch so viel Wind machen? Ich glaube nicht. |
Schulphysik halt. Kann man mit Physik gar nicht vergleichen.
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| ML hat Folgendes geschrieben: | | Wiki hat Folgendes geschrieben: |
Um diese Induktionsgeschichten möglichst klein zu halten, verdrillt man die Drähte daher gerne. |
"Die Verdrillung bewirkt, dass eine durch ein Magnetfeld induzierte Störspannung reduziert wird. Durch das Verdrillen zählen die zwischen den Drähten aufgespannten Teilflächen abwechselnd negativ und positiv. Bei Integration einer magnetischen Flussdichte über alle Teilflächen A wird der wirksame magnetische Fluss, aus dem die induzierte Spannung folgt, sehr gering oder im Idealfall zu Null, so dass die induzierte Störspannung stark reduziert wird." |
Einfach und Effektiv. Ziemlich clever.
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| ML hat Folgendes geschrieben: |
Die Energie steckt in den Feldern, das ist richtig. Ich würde hier aber keine so weitreichende Interpretation wagen. [...]
Ich weiß nicht, ob Du es richtig meinst. Ich glaube aber, eher nicht. |
Okay, dann halt ich mich lieber vorerst zurück mit diesen Begriffen.
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| ML hat Folgendes geschrieben: |
Der Begriff Spannung ist nicht sinnvoll. [...]
Der Begriff Spannung bedeutet "Potentialdifferenz". Jede andere Verwendung ist zumindest erklärungsbedürftig.
Gerade beim Begriff "magn. Spannung" muss man schon ziemlich genau wissen, was man da macht. Der Begriff selbst ist meines Erachtens irreführend. |
Dann waren meine ursprünglichen Zweifel an der Verwendung dieses Begriffs bei der Induktion ja berechtigt.
Danke für die schnellen und ausführlichen Antworten. 
MfG
Michel |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3398
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| ML Verfasst am: 19. Feb 2017 18:54 Titel: |
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Hallo,
| Michel99 hat Folgendes geschrieben: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
[...]
Betrag und Richtung von E folgen also eindeutig aus Phi. |
Ok, ist einleuchtend.
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Damit es nicht durcheinander kommt: Dieses  hier ist nicht der magnetische Fluss. Vielleicht sollten wir es als  schreiben.
| Zitat: |
| ML hat Folgendes geschrieben: |
Grundsätzlich musst Du zwischen folgenden zwei Größen unterscheiden:
a) der Spannung zwischen den Klemmen eines Drahtes/einer Spule und
b) dem Ringintegral über E
Die Bewegung des Leiterdrahtes im B-Feld führt i. A. zu einer Spannung an den Klemmen des Drahtes, aber nicht zu einem Ringintegral über E. |
Aha, dass bedeutet die Gleichung macht nur Sinn, wenn sich ändert und ruft folglich a) durch b) hervor.
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Die Gleichung ist auch dann richtig und nützlich, wenn B konstant bleibt. Sie heißt dann "Kirchhoffsche Maschengleichung".
| Zitat: |
Wenn man eine Induktion durch die Änderung der Fläche hat, ist die Ursache nicht mehr b), aber trotzdem tritt a) auf und dann muss, streng genommen, eine andere Formel verwendet werden, da sich nicht ändert. Wie würde diese dann korrekterweise lauten?
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Nein, man muss keine andere Gleichung nehmen. Die gegebene Gleichung ist ja trotzdem richtig! (Du kannst sie auch umstellen, so dass die Flächenänderung mit vorkommt. Das ändert aber am Aussagengehalt der Gleichung nichts und bringt Dir keine zusätzliche Information. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Induktion#Allgemeines).
Der Clou bei der Sache mit der Bewegungsinduktion ist, dass das E-Feld vom Bezugssystem abhängt. Besonders interessant ist das für den bewegten Draht.
(Es tut mir an dieser Stelle leid, dass es ein bißchen komplizierter wird. Aber die Elektrodynamik ist relativistisch, und hier schlägt die Relativitätstheorie voll zu.)
Wenn wir einen nicht-stromdurchflossenen Draht mit der Geschwindigkeit  im Raum bewegen, dann wirkt auf die freien Ladungen  innerhalb des Drahtes ein Kräftegleichgewicht aus Coulombkraft und Lorentzkraft:
 = \vec 0)
Umgeformt ergibt sich daraus:
 .
Das heißt: Wenn wir ruhen und der Draht sich (im B-Feld) bewegt, dann sagen wir: Schau mal, im Draht ist ein E-Feld.
Wenn wir einen ruhenden Draht mit  haben, dann sagen wir: "Ok, hier ist  ".
Wenn wir auf dem Draht "mitreiten", sind wir in einem anderen Bezugssystem. Wir kennzeichnen das durch einen kleinen Strich an den Variablen. Der mitreitende Beobachter misst im Draht ein E'-Feld von E'=0, und er sagt: "Schau mal, der Draht ist in Ruhe und hat die Geschwindigkeit v'=0. Da ist gar kein E'-Feld drin".
Die Bewegungsinduktion kommt durch Ladungsverschiebung aufgrund der Lorentzkraft zustande. Wir können sie berechnen, wenn wir das richtige Induktionsgesetz nehmen und berücksichtigen, dass im bewegten Draht ein E-Feld herrscht.
| Zitat: |
Dann sollte das Durchflutungsgesetz auch eher so ausssehen:
Hier dasselbe: Wie müsste eine Formel aussehen, die die Änderung der Fläche berücksichtigt.
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Die Formel wird dann noch komplizierter als beim Induktionsgesetz da es elektrische Ladungen (im Gegensatz zu magn. Ladungen, d. h. Quellen des B-Feldes) tatsächlich gibt.
| Zitat: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Nun wendet man Links den Stokesschen Integralsatz an und erhält so ein Linienntegral entlang der die Fläche S berandende Kurve. [...]
Die Form, in der die Zeitableitung vor dem Integral steht ist nicht allgemeingültig sondern eine Näherung. |
Die Argumente verstehe ich, mathematisch betrachtet muss es so richtig sein, aber warum ist die Reihenfolge so wichtig?
|
Die Reihenfolge ist wichtig, weil die Fläche gerade von der Variable (Zeit t) abhängt, nach der abgeleitet wird.
Betrachte den bewegten Leiterstab im zeitl. konstanten B-Feld und definiere als Randlinie der Fläche den Stromkreis bestehend aus Voltmeter, oberer Schiene, bewegtem Leiterstab und unterer Schiene.
Der Ausdruck
 ist offensichtlich gleich null, da voraussetzungsgemäß  ist.
Der Ausdruck
 ist ungleich null, da sich die umschlossene Fläche und damit der Fluss mit der Zeit verändert.
| Zitat: |
Das Magnetfeld um einen Leiter kann man ja auch ganz einfach messen, aber in Wirklichkeit gibt es das ja nicht, sondern es handelt sich nur um eine Darstellung zur Veranschaulichung. Die Kräfte, die zwischen Stromdurchflossenen Leitern wirken, sind auf rein elektrostatische Kräfte durch Verzerrung der Linienladungsdichten zurückzuführen. Ich dachte mir, vielleicht ist das bei Induktion auch der Fall. |
Auf was die Kräfte zwischen den Leitern zurückzuführen sind, hängt davon ab, aus welchem Bezugssystem heraus Du das Experiment beschreibst.
Was Du andeutest ist, dass sich bei einem Wechsel des Bezugssystems magnetische Kräfte gewissermaßen in elektrische Kräfte umwandeln und umgekehrt. Dennoch gibt es kein per se bevorzugtes Bezugssystem.
Man kann sehr gerne philosophisch diskutieren, was Wirklichkeit ist. Im Hinblick auf die Elektrodynamik ist das B-Feld jedoch genau so wirklich oder unwirklich wie das E-Feld.
Viele Grüße
Michael |
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Michel99
Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26
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| Michel99 Verfasst am: 21. Feb 2017 16:00 Titel: |
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Hey,
| Zitat: |
Die Gleichung ist auch dann richtig und nützlich, wenn B konstant bleibt. Sie heißt dann "Kirchhoffsche Maschengleichung". |
Okay, die kenn ich, aber ich hab sie in dem Kurvenintegral noch nicht wiederentdeckt, danke.
________
Okay ich glaube ich hab´s verstanden:
Die allgemeinste Form ist:
und die kann man in zwei andere Gleichungen überführen. Eine benutzt man bei der Änderung des magnetischen Flusses (Integralform I) und eine bei die Änderung der Fläche (Integralform II).
D.h. man kann sie nicht direkt ineinander überführen, sondern nur über die allgemeine Form erhalten.
________
| Zitat: |
Der Clou bei der Sache mit der Bewegungsinduktion ist, dass das E-Feld vom Bezugssystem abhängt. Besonders interessant ist das für den bewegten Draht.
(Es tut mir an dieser Stelle leid, dass es ein bißchen komplizierter wird. Aber die Elektrodynamik ist relativistisch, und hier schlägt die Relativitätstheorie voll zu.) |
Warum sollte dir das leid tun? Jetzt kommt erst das Beste! 
| Zitat: |
Wenn wir einen nicht-stromdurchflossenen Draht mit der Geschwindigkeit im Raum bewegen, dann wirkt auf die freien Ladungen innerhalb des Drahtes ein Kräftegleichgewicht aus Coulombkraft und Lorentzkraft:
Umgeformt ergibt sich daraus:
. |
| Zitat: |
Auf was die Kräfte zwischen den Leitern zurückzuführen sind, hängt davon ab, aus welchem Bezugssystem heraus Du das Experiment beschreibst.
Was Du andeutest ist, dass sich bei einem Wechsel des Bezugssystems magnetische Kräfte gewissermaßen in elektrische Kräfte umwandeln und umgekehrt. Dennoch gibt es kein per se bevorzugtes Bezugssystem. |
| Zitat: |
Die Bewegungsinduktion kommt durch Ladungsverschiebung aufgrund der Lorentzkraft zustande. Wir können sie berechnen, wenn wir das richtige Induktionsgesetz nehmen und berücksichtigen, dass im bewegten Draht ein E-Feld herrscht. |
Ok, dass hab ich verstanden.
Die Lorenzkraft ist eine Kraft, die sich auf rein elektristatische Kräfte zurückführen lässt, wenn man die Längenkontraktion berücksichtigt, also ist das E-Feld abhängig vom Bezugssystem.
| Zitat: |
Man kann sehr gerne philosophisch diskutieren, was Wirklichkeit ist. Im Hinblick auf die Elektrodynamik ist das B-Feld jedoch genau so wirklich oder unwirklich wie das E-Feld. |
Ist das B-Feld doch nicht so ne Art Scheinfeld? Na gut, dann hab ich wieder was gelernt!
MfG
Michel |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3398
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| ML Verfasst am: 21. Feb 2017 17:16 Titel: |
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Hallo,
| Michel99 hat Folgendes geschrieben: |
Okay ich glaube ich hab´s verstanden:
Die allgemeinste Form ist:
und die kann man in zwei andere Gleichungen überführen.
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... die beide genau so "allgemeinst" sind.
| Zitat: |
Eine benutzt man bei der Änderung des magnetischen Flusses (Integralform I) und eine bei die Änderung der Fläche (Integralform II).
D.h. man kann sie nicht direkt ineinander überführen, sondern nur über die allgemeine Form erhalten.
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Unter der Voraussetzung gutmütiger Vektorfelder* sind alle drei Gleichungen zueinander äquivalent.
und (Integralform 1) sind zueinander mathematisch äquivalent. Das heißt, man kann sie vollkommen ohne Physikkenntnisse ineinander umformen.
Diese beiden Gleichungen und (Integralform 2) sind auch äquivalent zueinander. Zur Umformung reicht aber reine Mathematik nicht aus. Man muss zusätzlich noch die Maxwellgleichung  (keine magn. Monopole) bemühen.
Du also alle drei Gleichungen absolut gleichbedeutend** nebeneinander verwenden.
| Zitat: |
Ok, dass hab ich verstanden.
Die Lorenzkraft ist eine Kraft, die sich auf rein elektristatische Kräfte zurückführen lässt, wenn man die Längenkontraktion berücksichtigt, also ist das E-Feld abhängig vom Bezugssystem.
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Ja, das E-Feld ist abhängig vom Bezugssystem. Hier stehen die Umrechnungen der Feldgrößen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Lorentz-Transformation#Lorentz-Transformation_f.C3.BCr_das_elektromagnetische_Feld
Viele Grüße
Michael
* In gewisser Weise sind die Gleichungen in Integralform sogar ein wenig allgemeiner, da sie aufgrund der Integration auch Vektorfelder zulassen, bei denen die Rotation oder die Zeitableitung nicht definiert sind. Das sind aber m. E. eher mathematische Spitzfindigkeiten.
** Falls dann mal irgendwann magnetische Monopole gefunden werden sollten, was sein kann oder auch nicht, muss man eh nochmal neu auf die Maxwellgleichungen schauen. |
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Michel99
Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26
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| Michel99 Verfasst am: 25. Feb 2017 12:50 Titel: |
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Hey,
ich hab ganz vergessen mich für die Hilfe zu bedanken.
Jetzt hab ich den Teil des Elektromagnetismus auch in seinen Ansätzen verstanden. Vielen Dank für die ausführlichen Kommentare.
MfG
Michel |
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