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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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 Mandelbrodt Verfasst am: 09. Feb 2017 16:49 Titel: HO & Operatoren |
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Hallo, ich habe die Aufgabe:
Betrachte den eindimensionalen HO mit den bekannten stationären Zuständen  . Weiterhin sei  bzw.  die bekannten Auf bzw. Absteigeopratoren und  der Anzahloperator.
a) Zeige ^3=a^3+(a^+)^3+3Na^++3aN)
Betrachte den zweidimensionalen isotropen harmonischen Oszillator mit der Kreisfrequenz  .
b) Gebe den Hamiltonoperator in kartesischen Koordinaten an sowie in der Schreibweise mit auf und Absteigeopratoren.
c) Gebe den Zustandsraum des 2DHO an sowie eine Basis desselben.
d) Gebe die möglichen Energieeigenwerte sowie deren Entartungsgrad an.
Soweit erstmal:
Meine Idee:
a) Für die auf bzw. Absteigeoperatoren gilt:
)
)
Meine Idee war es nun dies jeweils in beide Seiten der Gleichung einzusetzen und damit die Gleichheit zeigen. Das erscheint mir allerdings verdammt aufwendig. Ich denke da muss anders gehen oder?
b) Für das Potential im 1d Fall gilt: =\frac{1}{2}m\omega^2x^2)
Ich denke dass ich 2d Fall dann gilt: =\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2))
Damit gilt für den Hamiltonoperaotr )
Für den Impuls gilt ) . Das nur noch eingesetzt und man erhält:
^2+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2))
Im 1D Fall lautet zumindest der Hamiltonoperator:
^2+(m\omega x)^2]) und mit auf und Absteigeoperatoren: 
Wie komme ich denn nun auf die Darstellung mit auf und Absteigeoperatoren?
Lauten diese dann einfach +im\omega(x+y))) und
-im\omega(x+y)))
und damit dann:
???
d) Die Energieeigenwerte für den HO im eindimensionalen Fall lauten: \hbar\omega)
Für den 2d HO müssten dann die Energieeigenwerte lauten: \hbar\omega)
Passt das? Wie bestimme ich denn hier den Entartungsgrad?
Weiter weiß ich noch nicht. Kann jemand helfen?
Grüße! |
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 09. Feb 2017 20:13 Titel: |
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Kann mir noch jemand helfen?
Grüße! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 09. Feb 2017 20:23 Titel: Re: HO & Operatoren |
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| Mandelbrodt hat Folgendes geschrieben: |
Für den Impuls gilt |
Nein, in 2D ist der Impuls ein Vektor. |
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 09. Feb 2017 21:31 Titel: |
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a) Hast du eine Idee ob es so gewollt ist in der Aufgabe das man die Operatoren einsetzt oder geht das auch schneller und besser?
b) Ok, dann muss der Impuls lauten 
Damit ist dann der Hamiltonoperator: 
Wie stelle ich das nun mit dem Quadrat eines Vektors an?
Das mit den auf und absteigeoperatoren stimmt wie auch die Darstellung des Hamiltonoperators in 2D mithilfe der auf und absteigeoperatoren?
c) Hier fehlt mir noch komplett der Ansatz. Hast du eine Idee?
d) Ist die Darstellung der Energieeigenwerte korrekt? Wie bestimme ich denn den Entartungsgrad?
Grüße |
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 10. Feb 2017 18:53 Titel: |
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Kann noch jemand helfen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 10. Feb 2017 20:58 Titel: |
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| Mandelbrodt hat Folgendes geschrieben: | a) Hast du eine Idee ob es so gewollt ist in der Aufgabe das man die Operatoren einsetzt oder geht das auch schneller und besser?
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Bloss nicht einsetzen. Einfach ausmultiplizieren.
| Zitat: |
b) Ok, dann muss der Impuls lauten
Damit ist dann der Hamiltonoperator:
Wie stelle ich das nun mit dem Quadrat eines Vektors an?
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Was stellst Du denn sonst mit dem Quadrat eines Vektors an?
| Zitat: |
Das mit den auf und absteigeoperatoren stimmt wie auch die Darstellung des Hamiltonoperators in 2D mithilfe der auf und absteigeoperatoren?
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Da Dein p falsch war, stimmte es offensichtlich nicht vorher.
| Zitat: |
c) Hier fehlt mir noch komplett der Ansatz. Hast du eine Idee?
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Schreib H mit den entsprechenden Operatoren, dann solltest Du es sehen. Dies kannst Du aber erst nach b machen.
| Zitat: |
d) Ist die Darstellung der Energieeigenwerte korrekt? Wie bestimme ich denn den Entartungsgrad?
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Da H vorher falsch war, stimmen auch die Energieeigenwerte nicht. Ist das nicht irgendwie logisch?
PS: Gibt es eigentlich keine Bücher mehr an Universitäten? und ist das Internet abgedreht worden? |
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 10. Feb 2017 22:38 Titel: |
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Ich hoffe es passt nun:
))
Wie komme ich damit nun an die Darstellung mit auf und absteigeoperatoren? Im 1D Fall gilt bekanntlich )
Grüße |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 10. Feb 2017 23:12 Titel: |
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Nein, mein Internet ist nicht kaputt.
Mit auf und Absteigeoperatoren erhalte ich dann für den HO:
)
c) Gebe den Zustandsraum des 2DHO an sowie eine Basis desselben.
Was muss ich denn hier machen? Ich sehe es nämlich nicht ...
Grüße |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 10. Feb 2017 23:14 Titel: |
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| Mandelbrodt hat Folgendes geschrieben: |
Mit auf und Absteigeoperatoren erhalte ich dann für den HO:
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Nicht raten, sondern ausrechnen...
| Zitat: |
c) Gebe den Zustandsraum des 2DHO an sowie eine Basis desselben.
Was muss ich denn hier machen? Ich sehe es nämlich nicht ...
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Hättest Du verstanden, was die Antwort für H ist, würdest Du das nicht fragen... oder zumindest detaillierter fragen... |
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 11. Feb 2017 10:04 Titel: |
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Ja aus dem Grund stelle ich doch auch meine Fragen, weil ich es nicht verstanden habe. Willst du mir nicht sagen wie ich bzw. was ich nun machen soll?
Ich weiß garnicht was damit gemeint ist mit den Zustandsraum angeben sowie eine Basis dessen.
Wenn ich wüsste was das ist dann könnte ich mir weitere Gedanken machen.
Kann mir noch jemand helfen?
Grüße! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 11. Feb 2017 10:12 Titel: |
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Der Hamiltonoperator entspricht der Summe über unabhängige Terme einzelner Operatoren je Index i = 1,2,...
Damit bietet sich für die Eigenzustände ein Produktansatz an, mit einem Faktor je i.
Die Konstante in deinem H ist übrigens falsch.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Feb 2017 10:45, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 11. Feb 2017 10:38 Titel: |
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Hallo Tom, es muss mit auf und absteigeoperatoren lauten:
)
Mein Vorgehen war nun das ich mir erstmal wichtige Formeln rausgeschrieben habe. Mir scheitert allerdings daran dies nun in einen logischen Kontext zu bringen.
Bringen mir die Eigenzustände hier etwas? Da gilt:
Grüße und Danke! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 11. Feb 2017 10:46 Titel: |
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Natürlich.
Aber du musst sie je Index i = 1,2,... betrachten. Und anschließend eine Produktansatz hinschreiben.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Mandelbrodt
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 77
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| Mandelbrodt Verfasst am: 11. Feb 2017 11:31 Titel: |
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Die Eigenzustände sind doch beim HO:
=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}})
Für  also im Grundzustand gilt: =\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}})
Muss ich das nicht einfach einsetzen?
Meinst du mit Produktansatz einen Separationsansatz? Das heißt ich muss erstmal die SG aufstellen?  mit
\phi=\hbar\omega(n+1)\phi)
Grüße und Danke! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 11. Feb 2017 16:17 Titel: |
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Du musst das nicht mit Wellenfunktionen rechnen, das ist viel zu kompliziert. Alles was du brauchst, steht schon da:
| Mandelbrodt hat Folgendes geschrieben: |
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Und dann meinen Hinweis beachten:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ... du musst dies je Index i = 1,2,... betrachten. Und anschließend eine Produktansatz hinschreiben. |
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