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Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetz
 
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GvZ



Anmeldungsdatum: 06.02.2017
Beiträge: 7

Beitrag GvZ Verfasst am: 06. Feb 2017 11:35    Titel: Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetz Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ich wurde gerne die Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetz aus dem planckschen Strahlungsgesetzt verstehen.
Bei dem Versuch ist mir aufgefallen, dass ich nicht genau verstehen was die Aussage des planckschen Strahlungsgesetztes ist.
Oder mit anderen Worten, was ist dieses u?



Meine Ideen:
Häufig liest man es sei die spektrale Energiedichte. Nun ist die Frage, wie ist das zu verstehen? Leitet man das Gesetz her indem man betrachtet welche Zustände das System einnimmt und entsprechend der Freiheitsgrade und dem Gleichverteilungssatz alles eine Energie zuordnet ist mir nicht klar wie "Energiedichte" zu verstehen ist.
Ich bin bis jetzt zu dem Schluss gekommen, dass Dichte hier nicht im gewöhnlichen räumlichen Sinne zu verstehen ist ("die Energiemenge in 1 m^3 ist halb so viel Energie wie 2 m^3"), sondern eben die Dichte der Zustände im dreidimensionalen Fourierraum.

Wenn man annimmt das dies so ist, dann müsste ich das Plancksche Strahlungsgesetz über alle Zustände (also hier alle Frequenzen) integrieren und erhalte die Energie die ein Schwarzer Strahler emittiert, dem ist aber nicht so, denn das widerspricht dem Stefan-Boltzmann-Gesetz.
Aber wie funktioniert es dann???

Ich hoffe ich konnte einigermaßen verständlich erklären was mein Problem ist und ich bin froh um jeden Hinweis und Internetlink der mir weiterhilft.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Feb 2017 11:53    Titel: Antworten mit Zitat

GvZ hat Folgendes geschrieben:
Ich bin bis jetzt zu dem Schluss gekommen, dass Dichte hier nicht im gewöhnlichen räumlichen Sinne zu verstehen ist, sondern eben die Dichte der Zustände im dreidimensionalen Fourierraum.

Es handelt sich um die Strahlungsleistung je Frequenzintervall df.

GvZ hat Folgendes geschrieben:
Wenn man annimmt das dies so ist, dann müsste ich das Plancksche Strahlungsgesetz über alle Zustände (also hier alle Frequenzen) integrieren und erhalte die Energie die ein Schwarzer Strahler emittiert ...

Du erhältst die Leistung, nicht die Energie.

GvZ hat Folgendes geschrieben:
... dem ist aber nicht so, denn das widerspricht dem Stefan-Boltzmann-Gesetz.

Aber wie funktioniert es dann???

Es widerspricht nicht dem Stefan-Boltzmann-Gesetz, und es funktioniert genau so wie du sagst :-)

Die Funktion u(f) liefert die spektrale Leistungsdichte über alle Frequenzen f für eine bestimmte Temperatur T. Die von einer Fläche A abgestrahlte Leistung beträgt



Die Rechnung ist recht einfach. Zu integrieren ist (bis auf diverse Konstanten)



Du substituierst



Aus dem df erhältst du dann ein kT, aus dem (hf)^3 eine (kT)^3.

Zusammen ergibt das (wieder bis auf diverse Konstanten)



und damit das Stefan-Boltzmann-Gesetz.
GvZ



Anmeldungsdatum: 06.02.2017
Beiträge: 7

Beitrag GvZ Verfasst am: 06. Feb 2017 12:53    Titel: Antworten mit Zitat

Zuerst mal danke für die Antwort!

Zitat:

Es handelt sich um die Strahlungsleistung je Frequenzintervall df.


Ok das es sich hierbei alles nur auf das Frequenzintervall df bezieht war eine Unaufmerksamkeit von mir. Hammer
Aber warum soll das direkt die Leistung sein? Also ich meine man verwendet nur den Gleichverteilungssatz und dieser liefert mir die Energie eines Systems aber nicht die Leistung?

Zitat:

Du erhältst die Leistung, nicht die Energie.


Dem würde ich eben widersprechen. Lasse mich aber gerne belehren.

Zitat:

Die Funktion u(f) liefert die spektrale Leistungsdichte über alle Frequenzen f für eine bestimmte Temperatur T. Die von einer Fläche A abgestrahlte Leistung beträgt ...


Gut wenn ich annehme es sei wirklich die Leistung, dann verstehe ich diesen Schritt ebenfalls nicht. Klar ist das ich über alle Frequenzen integriere um die gesamte Leistung zu erhalten. Aber wo hab ich bis jetzt angenommen dass dies alles pro Fläche des schwarzen Strahler gilt? Diese taucht in der Herleitung gar nicht auf bzw. man nimmt (jedenfall in der Herleitung die wir in der Vorlesung hatten) einen schwarzen Körper an, der aussehen kann wie er will sich aber im Gleichgewicht befindet mit einem ideal verspiegelten Würfel (in dem er sich befindet) mit einer sehr großen Kantenlänge. Im gesamten kürzt sich diese Kantenlänge wieder raus und das Ergebnis ist unabhängig davon.

Zitat:

Die Rechnung ist recht einfach


Naja get so. Prinzipell ist mir klar was ich zu rechnen habe die Frage ist nur warum das was am ende rauskommt wirklich das ist was ich haben will.

Zitat:

bis auf diverse Konstanten


Die sind es die mir großes Kopfzerbrechen bereiten.
grübelnd

Das was man am Ende stehen hat ist ja nichts anderes als:


Das ist dann das spektrale Emissionsvermögen oder die spektrale Strahldichte. Dies ist dann die Leistung einen Frequenzintervalles die ein Flächenelement des schwarzen Strahlers auf eine Raumwinkelelement emittiert. Das konnte ich schon nachlesen, aber mir ist nicht klar wie ich darauf kommen soll und warum gerade c/4pi dort stehen muss.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 06. Feb 2017 14:13    Titel: Antworten mit Zitat

Die Grösse u(f,T) ist die räumliche Energiedichte pro Frequenzintervall im Hohlraum eines Schwarzen Körpers. Der Faktor c/4Pi wird bei Demtröder wie folgt begründet (mit angepasster Notation): "... Aus einer kleinen Öffnung des Hohlraums würde dann die Strahlungsdichte in den Raumwinkel emittiert."

Die Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes aus u(f,T) erfolgt in Demtröder wie folgt: Integration von u(f,T) über alle Frequenzen, ergibt



Dann folgt "Die Strahlungsdichte der von dem Oberflächenelement dF=1m2 eines Schwarzen Körpers in den Raumwinkel unter dem Winkel gegen die Flächennormale emittierten Strahlung ist

."

Diese Funktion wird dann über den Halbraum 2Pi integriert, und heraus kommt

.
GvZ



Anmeldungsdatum: 06.02.2017
Beiträge: 7

Beitrag GvZ Verfasst am: 06. Feb 2017 15:03    Titel: Antworten mit Zitat

Zu beginn hab ich gesagt:
Zitat:

Ich bin bis jetzt zu dem Schluss gekommen, dass Dichte hier nicht im gewöhnlichen räumlichen Sinne zu verstehen ist ("die Energiemenge in 1 m^3 ist halb so viel Energie wie 2 m^3"), sondern eben die Dichte der Zustände im dreidimensionalen Fourierraum.


Diese Aussage nehme ich zurück. Ich sehe es ein, es ist wirklich eine Energiedichte im räumliche Sinne.
Aber diese resultiert aus der Betrachtung der Dichte der Zustände im k-Raum (Fourierraum) pro Volumen des schwarzen Körpers - oder das versteh ich nicht so richtig, pro Volumen des ideal verspiegelten Würfels der im thermischen Gleichgewicht mit dem darin befindlichen schwarzen Körper liegt.
Wie Myon gesagt hat

Zitat:

Die Grösse u(f,T) ist die räumliche Energiedichte pro Frequenzintervall im Hohlraum eines Schwarzen Körpers


Die Frage ist wie macht man nun weiter?
Mein Gedanke wäre über alle Frequenzen integrieren und dann mit dem Volumen den schwarzen Körpers/oder des verspiegelten Würfels? multiplizieren. Dann hätte ich die Energie die ein schwarzer Körper beinhaltet.
Aber die nützt mir ja rein gar nichts. Mich interessiert ja was für eine Energie/Leistung rauskommt.

Zitat:

Der Faktor c/4Pi wird bei Demtröder wie folgt begründet (mit angepasster Notation): "... Aus einer kleinen Öffnung des Hohlraums würde dann die Strahlungsdichte in den Raumwinkel emittiert."

Das und ähnliches hab ich in einigen Quellen schon gelesen hat mir aber nicht weiter geholfen


Zuletzt bearbeitet von GvZ am 07. Feb 2017 00:36, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Feb 2017 16:17    Titel: Antworten mit Zitat

GvZ hat Folgendes geschrieben:
Mein Gedanke wäre über alle Frequenzen integrieren ... Mich interessiert ja was für eine Energie/Leistung rauskommt.

Das haben wir doch oben erklärt. Du integrierst über die Frequenz und über die Oberfläche.

GvZ hat Folgendes geschrieben:
Das und ähnliches hab ich in einigen Quellen schon gelesen. Aber entweder ich verstehe die Argumentation nicht oder das sind nur schöne Worte für "der Faktor steht das weil ...

Was ist denn jetzt dein Problem? Das grundsätzliche Verständnis, warum dieses Integral zu berechnen ist? Oder ledigtlich die Frage, warum genau dieser Vorfaktor, also diese Proportionalitätskonstante?
GvZ



Anmeldungsdatum: 06.02.2017
Beiträge: 7

Beitrag GvZ Verfasst am: 06. Feb 2017 17:09    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

Das haben wir doch oben erklärt. Du integrierst über die Frequenz und über die Oberfläche.


Wie gesagt, welche Rechenschritte nacheinander gemacht werden müssen um auf das Gesetz zu kommen ist mir klar:
Man nimmt die Relation die ich oben als spektrale Strahldichte oder Emissionsvermögen betitelt hab und Integriert die über alle Größen die infinitesimal in der Gleichung stehen (die Frequenz von 0 bis unendlich und den Raumwinkel über den Halbraum, danach über die Fläche des schwarzen Strahlers). Dann erhält man die Relation die auf Wikipedia steht


Die Frage ist warum ist das spektrale Emissionsvermögen genau das was?
-warum c?
-warum 1/4pi?
-warum gilt die Herleitung für jede beliebige Form von schwarzer Strahler?
-wie mache ich den Schritt von Energiedichte zur Energie?
-wie mache ich den Schritt von der Energie zur Leistung ohne jemals durch die Zeit zu teilen?
-wieso ist die Energiedichte eine zeitliche konstante und dennoch ist die Leistung ebenfalls unabhängig von der Zeit?
(Die Energie ist doch Leistung mal Zeit.)

Unsere Grundlage ist doch die Kenntnis der Energiedichte in einem schwarzen Strahler. Aber was liefert mir, das die Energie quasi überhaupt rauskommt (ok wir setzen es voraus). Aber warum soll sich diese gleichmäßig über den Raum verteilen? Welche Energiemenge kommt aus dem Strahler heraus? Die gesamte Energie welche sich in dem Strahler befindet? Wenn ja in welchen Zeitraum?
Unsere Endformel ist nur eine Funktion der Oberfläche des schwarzen Strahlers aber unabhängig vom Volumen obwohl wir mit einer Dichte gestartet sind. Das ist für mich eindeutig nicht klar.

Man hört oft das bei einem schwarzen Strahler die emittierte Leistung und die absorbierte Leistung im thermischen Gleichgewicht steht. Wie ist das z.B bei der Sonne zu verstehen? Ist dort die im Gleichgewicht befindliche absorbierte Leistung eine Addition aus der tatsächlich absorbierten Strahlungsleistung (was quasi gar nichts sein dürfte) und der inneren Leistung durch irgendwelche chemischen Prozesse?
Wie kann ich also jemals wissen was aus meinem schwarzen Strahler rauskommt wenn ich nicht weiß was reingesteckt wird? Das steht doch in einem direkten unlösbaren Zusammenhang welcher nur von dem jeweils anderen abhängt?


Zitat:

Was ist denn jetzt dein Problem? Das grundsätzliche Verständnis, warum dieses Integral zu berechnen ist? Oder ledigtlich die Frage, warum genau dieser Vorfaktor, also diese Proportionalitätskonstante?


Sowohl als auch. Die Frage ist wann ich jemals behaupte, dass dies alles nur für ein Raumwinkelelement gilt was mich berechtigen würde über den Raumwinkel zu integrieren. Und klar hängt das direkt zusammen mit den Propotionalitätskonstanten.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 06. Feb 2017 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Dass man die Energiedichte mit c multipliziert, um die Strahlungsdichte zu erhalten, finde ich schon plausibel - ähnlich wie wenn man eine Teilchendichte n hat und die Teilchenstromdichte = n*v ist. Dass man dann von einer isotropen Strahlung ausgeht und für die pro Raumwinkel abgestrahlte Strahlung noch durch 4pi teilt, naja, kann ich auch akzeptieren.

Zum Demtröder: Natürlich sind das Experimentalphysik-Bücher, und sie sind nicht präzise im Sinn von Axiom - Satz - Beweis etc. Verglichen mit anderen Büchern mag ich sie aber gerade deshalb, weil i.a. keine Gleichungen eingeführt werden ohne Herleitung oder Begründung. Den Vergleich mit Micky Maus-Heften finde ich deshalb nicht ganz angebracht smile.

@TomS: Ich wollte nicht dreinfunken. Das Problem mit den auftretenden Energie- und Strahlungsdichten hat mich auch schon beschäftigt, weshalb ich mir die Herleitung nochmals angeschaut hatte. Das Geschreibsel oben war sozusagen eher für mich selber.
Im übrigen möchte ich einmal sagen, dass ich Deine ausführlichen Beiträge auch zu abstrakten Themen immer äusserst interessant finde und gerne lese, auch wenn ich oft nur der Spur nach folgen kann. Vielen Dank dafür!
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2017 19:12    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:

Zum Demtröder: Natürlich sind das Experimentalphysik-Bücher, und sie sind nicht präzise im Sinn von Axiom - Satz - Beweis etc. Verglichen mit anderen Büchern mag ich sie aber gerade deshalb, weil i.a. keine Gleichungen eingeführt werden ohne Herleitung oder Begründung.

Ernsthaft? Experimentalphysik-Buecher (und Vorlesungen) sind doch berühmt dafür dass Formeln vom Himmel fallen. Der Demtroeder ist zudem mMn ziemlich schlecht in vielen Erklärungen und gar nicht so selten auch mal falsch oder zumindest stark irreführend.
GvZ



Anmeldungsdatum: 06.02.2017
Beiträge: 7

Beitrag GvZ Verfasst am: 07. Feb 2017 00:33    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich wollte keine Literatur-Diskussion anfechten. Ansage
Mein Ziel ist es die Sache zu verstehen.

Zitat:

Dass man die Energiedichte mit c multipliziert, um die Strahlungsdichte zu erhalten, finde ich schon plausibel - ähnlich wie wenn man eine Teilchendichte n hat und die Teilchenstromdichte = n*v ist. Dass man dann von einer isotropen Strahlung ausgeht und für die pro Raumwinkel abgestrahlte Strahlung noch durch 4pi teilt, naja, kann ich auch akzeptieren.


Akzeptieren kann ich das auch smile ich bin mir sogar ziemlich sicher das die Herren Josef Stefan und Ludwin Boltzmann sich was dabei gedacht haben. Und der Grund warum ich die Frage in das Forum gestellt habe ist, weil ich wissen will was sie sich dabei gedacht haben. Tanzen

Klar gibt es hier schon irgendwie Sinn mit c zu multiplizieren, ich meine es geht ja um Licht.
Aber eben der Vergleich mit den Teilchen ist genau einer der Punkte der mir großes Kopfzerbrechen bereitet. Denn hierbei wird die Teilchendichte als räumliche Konstante angesetzt, dann ist der Schritt zum Teilchenstromdichte klar. Aber die Energiedichte u(f,T) ist eben keine räumliche Konstante außerhalb des schwarzen Strahlers. Dies kann man sich dadurch klar machen, wenn man bedenkt dass das Poynting-Theorem besagt, dass eine emittierte e-m Welle pro Raumwinkel immer die selbe Intensität besitzt (wenn man davon ausgeht, dass der schwarze Strahler ideale Kugelwellen aussendet).
Nun würden man fordern, dass sowohl die Energie welche durch eine Fläche (in einem bestimmten Zeitintervall) hindurch diffundiert abnimmt bei größerem Abstand zum schwarzen Körper als auch, dass die Energiedichte eine konstante ist. Das ist ein Widerspruch.
Man könnte auch sagen das sich dazu die Energie nach außen hin selbst vermehren müsste, was auch keinen Sinn gibt.
GvZ



Anmeldungsdatum: 06.02.2017
Beiträge: 7

Beitrag GvZ Verfasst am: 08. Feb 2017 16:18    Titel: Antworten mit Zitat

Kennt niemand ein Buch, Skript, Artikel, Website ...
in welchem das Stefan-Boltzmann-Gesetz etwas genauer betrachtet wird?
Ich freu mich weiterhin über jeden Beitrag Prost
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 08. Feb 2017 22:01    Titel: Antworten mit Zitat

Landau / Lifschitz V § 60.
GvZ



Anmeldungsdatum: 06.02.2017
Beiträge: 7

Beitrag GvZ Verfasst am: 09. Feb 2017 13:20    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Antwort. Thumbs up!
Ich hab dort mal nachgelesen und das scheint vermutlich wirklich mein Problem zu lösen (leider konnte ich nicht alles verstehen). Jedoch ist das eine ganz andere Herangehensweise an die gesamte Thematik.
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