Zentralpotential (r_min und r_max einer Bahnkurve)

pulse · Anmeldungsdatum: 05.12.2015 Beiträge: 112

Hey Leute!

Mir ist die Berechnung von r_min und r_max noch nicht so geläufig:

Die Gesamtenergie E lautet erstmal:

- r_min:

wurde gleich Null gesetzt und auf r umgeformt.

- r_max: Man definiert

Gebünde Bewegung für

und

Dann ist -->

(weil

)

Und

-------------------
Obiges wurde halt so gelöst, jedoch ist es mir nicht klar.

Beim Berechnen von r_min wird offentsichtlich einfach die 1. Ableitung von r null gesetzt. Also es ist halt eine Extremaufgabe, ist ja klar.
Bei r_max muss Alpha anscheinend negativ sein und man macht dann dasselbe wie bei r_min, also eine Extremaufgabe und formt halt um.

Jedoch warum muss mein Alpha negativ sein, um das r_max zu bekommen?

Und warum habe ich bei

und

eine gebunde Bewegung(genau hier muss ja ein r_max vorhanden sein)? Also wie komme ich auf diese "Beschränkungen" überhaupt?

Grüße
pulse

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo pulse,

Du hast von jemanden die Lösung Deiner Aufgabe und verstehst die Lösung nicht? Dann frage diesen Jemand besser selber.

Oder, mein Vorschlag: Du beginnst von null, rechnest Schritt für Schritt alles selber und fragst dann punktuell.

Drehimpuls L bzgl. Zentrum Erhaltungsgröße,
Polarkoordinaten zweckmäßig
Energie; effektives Potential

An der Stelle kann man schon einige interessante Fragen stellen
- Ist ein Sturz ins Zentrum oder das Verlassen des Systems möglich?
- Ist eine gebundene Bewegung r_min <= r <= r_max möglich (gibt es feste Apsiden)?

pulse · Anmeldungsdatum: 05.12.2015 Beiträge: 112

Hallo,

danke für deine Antwort. Dann lassen wir mal die ganze Berechnung beiseite. Im Anhang ist ein Bild zusehen mit verschiedenen Fällen, die ich diskutieren möchte. (Ein Auszug aus dem Skript)

Auf dem Bild sind Energie-Diagramme zu sehen, d.h. die Energie E bzw. eigentlich das Effektive Potential

ist über dem bstand r(vom Zentrum) aufgetragen. Wobei

. Soweit ist alles noch klar.

Jedoch ist mir das Prinzip noch nicht so klar. Wenn sich ein Teilchen in einem Zentralpotential befindet, dann hat es ja eine Energie bzw. es gibt eine. Ich denke hier geht man von einem konservativen Kraftfeld aus, also gilt Energieerhaltung. D.h. das Teilchen bewegt sich irgendwie herum und hat die Energie E.

1. Fall: Das effektive Potential zeigt

-Verhalten. d.h.

Wenn mein Teilchan in dem Zentralpotential jetzt einfach die Energie E hat, gibt es genau den minimalsten Abstand

vom Zentrum. Die Kurve wo sich das Teil hinbewegt, kann irgendwie sein, jedoch ist klar, dass

der kleinste Abstand zum Zentrum ist.

Es handelt sich um eine ungebundene Bewegung, da es kein r_max gibt, also es gibt keine Bewegungseinschränkung.

Stimmt das so?

2. Fall: Hier muss V(r) eigentlich negativ sein, also -1/r^2 oder so. Wenn es links überweigen soll. Und rechts dann 1/r^2 - Verhalten von der Drehimpulsbarrerie.

Aber wenn ich mir das hier jetzt ansehe, dann sind teilweise die Überlegungen oben falsch von mir. Aber es muss ja Energieerhaltung gelten und wenn mein Teilchen die Energie E "hat", dann sieht es fast so aus, als r1 und r2 wie r_min und r_max sind.

Oder macht das Teilchen irgendwie eine gebundene UND eine ungebundene Bewegung in diesem Beispiel?

Ich denke, wenn ich die obigen 2 Fälle verstehe, kann ich das Beispiel auch besser alleine lösen.

Gruß
pulse

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Moin,

ja, Energie und Drehimpuls bezüglich Zentrum sind Erhaltungsgrößen. Bewegung in einer Ebene, der Flächensatz (Kepler II) gilt hier allgemein.

"Stellschrauben" für die Diskussion möglicher Bewegungen sind hier alpha, E und L und ich bin mir nicht sicher, ob die gezeigten Kurven für Veff das alles abdecken: Es ist beispielsweise - trotz Drehimpuls L > 0 - durchaus ein Sturz ins Zentrum r -> 0 möglich bei U(r) = -alpha/r^2; alpha > L^2/2m. Davon sehe ich im Skriptausschnitt nichts.

Wenn Du Zugang zu Landau / Lifschitz, Band 1 (Mechanik) hast, §14, möchte ich Dir den dringend ans Herz legen! Das Thema wird dort allgemein für U(r) behandelt, r_min, r_max, Sonderfälle werden durchdekliniert usw. - mehr weiß ich auch nicht.

Auch Beispiel 2 ist mir ziemlich unklar. Du hattest von alpha/r^2 geschrieben, jetzt lese ich alpha/r^n ... Wie gesagt: Am besten Landau / Lifschitz und nochmal melden.
Thumbs up!