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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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 Myon Verfasst am: 22. Jan 2017 11:13 Titel: |
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Die Freiheitsgrade stimmen. In der Lagrange-Funktion fehlt im zweiten Term noch der Gleichgewichtsabstand: ^2) .
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Jan 2017 11:39 Titel: |
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Warum nicht die Auslenkung aus der jeweiligen Ruhelage als x1, x2?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 22. Jan 2017 12:07 Titel: |
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@franz: aber wie würde dann die Lagrange-Funktion aussehen? Eine Möglichkeit wäre aber, z.B. die Koordinaten q1=x1 und q2=x2-x1 zu verwenden, dann ergibt sich eine zyklische Koordinate.
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 22. Jan 2017 13:04 Titel: |
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Danke für die Antwort.
Ahh, das l muss ich noch abziehen, sodass ich meine gesamte aktuelle Auslenkung bekomme, richtig?
Aber dann frage ich mich, warum man hier auf Seite 5 das nicht so mit der Ruhelage gemacht hat: https://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_11/T1_Theoretische_Mechanik/uebungen/SS11-T1-L5.pdf
Also die Lagrange-Fkt am Ende von Seite 4, da wurde die Gleichgewichtslage auch nicht abgezogen beim Potential V. Warum nicht?
(Die Gleichgewichtslage ist doch der Abstand der zwei Massen, wenn die Feder nicht ausgelenkt ist, oder?)
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 22. Jan 2017 13:47 Titel: |
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In dem beigefügten Beispiel sind x1, x2 die Auslenkungen aus den jeweiligen Ruhelagen, die sich zeitlich nicht ändern. Das ist in der vorliegenden Aufgabe nicht möglich, da sich die Feder und die Ruhelagen bewegen.
Wie oben erwähnt, kann man aber z.B. die Koordinaten q1=x1, q2=x2-x1 verwenden, dann ergibt sich eine zyklische Koordinate und damit eine Erhaltungsgrösse. Oder man nimmt als eine Koordinate den Schwerpunkt der Massen oder den Mittelpunkt der Feder, aber das wird eher komplizierter.
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 22. Jan 2017 15:19 Titel: |
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Achso, weil bei unserem aktuellen Beispiel die Massen sich ja auf einer Geraden fortbewegen und die Ruhelage sich ja verschiebt. Und beim anderen Beispiel werden x1, x2 als Koordinaten von der Ruhelage weg angesehen. Gut, das ist jetzt klar.
In der Aufgabe steht ja noch etwas mit "Suchen Sie die Erhaltungsgrößen". Das geht ja dann wohl nur mit zyklischen Koordinaten oder? Dazu habe ich mir hier erste Antwort durchgelesen: http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=105676&ref=https%3A%2F%2Fduckduckgo.com%2F
Aber wie würde dann T und V aussehen mit den zyklischen Koordinaten?
^2?)
Hm komme nicht ganz darauf, wass der Sinn von q1=x1 und q2=x2-x1 sein soll.
Weil q2 gibt ja den Abstand von den Massen an, wenn x1 angibt wo m1 ist und x2 angibt wo m2 ist.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 22. Jan 2017 15:59 Titel: |
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Wenn man  und  setzt, sieht die Lagrange-Funktion wie folgt aus:
=\frac{1}{2}(m_1\dot{q}^2_1+m_2(\dot{q}_1+\dot{q}_2)^2)-\frac{1}{2}k(q_2-l)^2)
 tritt in der Funktion nicht auf und ist daher eine zyklische Koordinate. Wegen der zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichung ist
=0)
und  ist eine Erhaltungsgrösse. Wenn man es nachrechnet, sieht man, dass das der Erhaltung des Gesamtimpulses entspricht.
Etwas schöner ist es vielleicht, wenn man stattdessen Schwerpunkt- und Relativkoordinaten verwendet.
Ist die Lagrange-Funktion nicht explizit zeitabhängig, ist
ebenfalls eine Erhaltungsgrösse. Im vorliegenden Fall entspricht das der Energieerhaltung.
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 22. Jan 2017 16:46 Titel: |
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Hmm, aber es gilt doch )
Und die zeitliche Ableitung von obigen Term ist doch nicht Null, oder?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 22. Jan 2017 17:42 Titel: |
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Die Grösse
=m_1\dot{x}_1+m_2\dot{x}_2) ,
und somit der Gesamtimpuls ist erhalten.
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 22. Jan 2017 17:50 Titel: |
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Stimmt, danke. Habe da falsch abgeleitet.
Aber eine Größe ist doch nur erhalten, wenn sie nach der Zeit abgeleitet Null ergibt, oder nicht?
Und  ist ja nach der Zeit abgeleitet nicht Null, sondern einfach  oder was genau verstehe ich hier falsch?
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Jan 2017 17:58 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Etwas schöner ist es vielleicht, wenn man stattdessen Schwerpunkt- und Relativkoordinaten verwendet. |
S - System 
PS Entschludrigung für's Reinquatschen, mir ging was in der Art schon heute früh durch den Kopf. 
Zuletzt bearbeitet von franz am 22. Jan 2017 18:45, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 22. Jan 2017 18:05 Titel: |
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Aus der Euler-Lagrange-Gleichung
und da in der Lagrange-Gleichung nicht auftritt folgt
=0) .
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 22. Jan 2017 18:23 Titel: |
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@franz: Ja, stimmt schon, mit Schwerpunkts- und Relativkoordinaten wäre es besser. Dann ist die Schwerpunktskoordinate zyklisch und es folgt, dass sich der Schwerpunkt gleichförmig bewegt, was ebenfalls der Impulserhaltung entspricht.
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 22. Jan 2017 19:36 Titel: |
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Danke!! Hab da zu kompliziert gedacht.
Aber um solche Koordinaten q zu finden, muss man ja vorher die "normal echte" Lagrange-Funktion aufstellen, also mit den x-Koordinaten, um halt dann zu sehen wie ich die Lagrange-Funktion von q abhängig machen kann und wie ich q überhaupt wählen muss, dass sich dann alles auf die "echte" Lagrange-Gl. ausgeht. Oder?
Und dann zufällig ist das ganze auch nicht mehr von q1 abhängig.
Ist irgendwie "Magie" für mich. Aber ist wohl ein normaler Trick, der immer so funktionieren kann?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2017 19:42 Titel: |
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| mister hat Folgendes geschrieben: |
Ist irgendwie "Magie" für mich. Aber ist wohl ein normaler Trick, der immer so funktionieren kann? |
Übungssache ... 
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Jan 2017 21:15 Titel: |
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"Tricks" würde ich auch nicht sagen. Durch Übung kriegt man, wie beim Sudoku, ein gewisses Gefühl für Situationen oder Zusammenhänge. Typisch ist zum Beispiel die Suche nach Symmetrien oder angepaßten Koordinaten (meinetwegen dem Schwerpunktsystem).
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 22. Jan 2017 23:54 Titel: |
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Okay, gut  - danke euch!
Möchte noch auf die Schwerpunktskoordinaten zurückkommen bitte, da es ja auch noch hier hinein passt(siehe Anhang bitte):
1. Das mit den Ortskoordinaten haben wir ja eben schon gemacht, oder?
2.
Soweit ich das richtig verstehe ist q die Differenzkoordinate und  die Schwerpunktkoordinate, richtig?
Jedoch komme ich nach dem Einsetzen nicht auf L=T-V, sondern auf:
}(\dot{x_2}-\dot{x_1})^2 - \frac{k}{2}(x_2 - x_1)^2)
Ist das gewollt? Ich dachte, man muss nach dem Einsetzen der Koordinaten immer auf %20-%20\frac{1}{2}k(x_2-x_1-l)^2) kommen.
3. 
Woher kommt dieser Teil?
Zuletzt bearbeitet von mister am 23. Jan 2017 10:03, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 23. Jan 2017 00:12 Titel: |
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Nur kurz: franz hat oben in seinem Beitrag die Lagrange-Funktion im Schwerpunktsystem aufgeführt. Da tritt die Schwerpunktskoordinate gar nicht auf. Das ist keine Koordinate, sondern nur die reduzierte Masse.
Mit der Koordinate für den Schwerpunkt  , der Relativkoordinate  und der Gesamtmasse M sollte die Lagrange-Funktion so aussehen (ich schau's mir aber morgen nochmals an):
^2)
Zu 3: Es gilt
Wenn daher die Lagrange-Funktion nicht explizit zeitabhängig ist, ist der Ausdruck auf der linken Seite eine Erhaltungsgrösse.
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 23. Jan 2017 09:37 Titel: |
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Ok und die Koordinaten lauten folgendermaßen, denke ich mal
1. Stimmen die Koordinaten so? Obwohl ich mir nicht ganz sicher bin, denn wenn ich das ganze einsetze ist zwar der potentielle Teil V richtig, aber alles davor, also T, irgendwie nicht.
Ich komm da auf folgendes, schaffe es jedoch nicht den Term auf das richtige T zu vereinfachen: T=^2}+\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(x_2-x_1)^2
<br />
)
1.1 ich denke Relativkoordinaten sind dasselbe Differenzkoordinaten?
2. Beim aufstellen der Langrange-Gleichung 2. Art komme ich auf:
für  gilt: 
für  gilt: =0)
3. Also gilt  immer? Also es ist etwas allgemein gültiges nehme ich an. Von wo kommt das?
Zuletzt bearbeitet von mister am 23. Jan 2017 10:33, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 23. Jan 2017 10:28 Titel: |
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Erst mal nur kurz zu 3: Dachte schon gestern, dass da etwas nicht stimmen kann. Es müsste richtig heissten (und das gilt allgemein):
=-\frac{\partial L}{\partial t})
Das folgt, wenn man es ausrechnet und die Euler-Lagrange-Gleichungen benutzt.
Wenn also die Lagrange-Funktion nicht explizit zeitabhängig ist, ist die Klammer links eine Erhaltungsgrösse. Sie hat den Wert der Hamilton-Funktion und ist, falls L=T-V, gleich T+V, also gleich der Energie. Ich schreib später etwas mehr, muss jetzt aber kurz weg.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 23. Jan 2017 11:58 Titel: |
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Zu 1 und 2 oben: es stimmt alles, nur beim Rückführen auf die Koordinaten x1 und x2 ist ein Rechenfehler:
}+\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2-2\dot{x}_1\dot{x}_2)) \dot{x}_1^2+m_2(m_1+m_2)\dot{x}_2^2}{2(m_1+m_2)}=\frac{1}{2}(m_1\dot{x}_1^2+m_2\dot{x}_2^2))
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 23. Jan 2017 12:19 Titel: |
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Ahh, stimmt danke dir! Habe die binomische Formel nicht berücksichtigt.
1. ist doch eine zyklische Koordinate und daurch ergibt sich folgendes(was ich im letzten Beitrag unter Punkt 2 erwähnt habe) 
Aber so kann mans besser erkennen. Es handelt sich um Impulserhaltung. (wenn die Koordinaten dann setzt sieht man das auch noch deutlicher)
2. zum letzten 3.: Ich warte noch auf das, was du da noch dazu schreiben willst, bevor ich frage, denn so klar ist es noch nicht, woher das kommt bzw. der Zusammenhang^^.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 23. Jan 2017 19:36 Titel: |
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Zu 3: Wenn die Lagrange-Funktion nicht explizit zeitabhängig ist, ist
eine Erhaltungsgrösse, denn (nur mit einer Variablen q)
=\underbrace{\frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{q}}\right)\dot{q}}_{=\frac{\partial L}{\partial q}\dot{q}}+\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}-\frac{dL}{dq}\dot{q}-\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t})
Die Grösse entspricht dem Wert der Hamilton-Funktion, und wenn L von der Form
)
entpricht die Grösse der Energie:
 .
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mister
Anmeldungsdatum: 23.08.2016
Beiträge: 51
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| mister Verfasst am: 23. Jan 2017 23:44 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Zu 3: Wenn die Lagrange-Funktion nicht explizit zeitabhängig ist, ist
eine Erhaltungsgrösse, denn (nur mit einer Variablen q)
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1. Mir ist noch nicht klar, wie du auf diese Summe da kommst. Also auf diese Terme, die sich dann wegkürzen. Also der 1. Term ist klar, denn der steht auch Links. Und der letzte Term(L nach t abgeleitet) ist auch klar. Aber was ist zwischen dem 1. Term und letzten Term? Von wo ist das, wenns ohne Summe ist, da wir nur eine Variable q haben.
2. Ich weiß nicht, wie du auf folgendes kommst:
\dot{q}=\frac{\partial L}{\partial q}\dot{q}
<br />
)
Folgendes verstehe ich: ^2=\left(\frac{dr}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}\right)^2=\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2\dot{\phi}^2)
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 24. Jan 2017 23:37 Titel: |
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Zu 1: Ich habe das Summenzeichen nur der Einfachheit halber weggelassen. Für n Variablen  funktioniert es völlig analog wie für eine Variable q. Im ersten Term rechts hätte eine partielle Ableitung stehen müssen, also so:
=\underbrace{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)}_{=\frac{\partial L}{\partial q}}\dot{q}+\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}-\frac{dL}{dq}\dot{q}-\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t})
Die beiden ersten beiden Terme auf der rechten Seite sind gleich
)
(Anwendung der Produktregel), und die restlichen 3 Terme stammen von der (totalen) zeitlichen Ableitung der Lagrange-Funktion. Analog, wie man für eine Funktion f(x(t),y(t),t) die Ableitung
=\frac{\partial f}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial f}{\partial t})
bildet.
Zu 2: Es hätte eine partielle Ableitung stehen sollen. Dann ist entspricht es der Euler-Lagrange-Gleichung.
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