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Liouville Theorem
 
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jvc96



Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113

Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 13:18    Titel: Liouville Theorem Antworten mit Zitat

Hallo,

Wir haben jetzt heute in der Vorlesung das Liouville Theorem durchgenommen. Ich habe in der Vorlesung so einigermaßen verstanden was der Phasenraum bedeutet, viel mehr aber auch nicht. Der Professor hat dann auf die Fragestunde verwiesen, die jedoch diese Woche ausfällt unglücklich
Ich habe nun also Aufgabe und nur ein paar kleine Ideen / Ansätze.


Ansätze:
a)
Für die Hamilton Funktion eines Teilchens habe ich den Ausdruck:




gefunden, bei dem man dann noch das jeweilige Potential einsetzen zu müssen scheint.
Womit wir bei der ersten Frage wäre: Wie stelle ich das Potential auf?
Auch bei der Skizze zu einem späteren Zeitpunkt weiß ich nicht wirklich weiter.

b/c)
Hier habe ich noch keine Ideen außer der bereits in a) erwähnten Formel in die ich bei b) das gegebene Potential einsetzen könnte.



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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 13:37    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Bei mir ist das alles schon sehr lange her, deshalb keine Garantie... Big Laugh

Erstens: Deine Hamiltonfunktion würde ich so nicht nehmen. Erstens ist die kinetische Energie ja relativistisch, was in der Aufgabe eber wohl eher nicht so verlangt ist. Außerdem ist für die a) das Potential 0 (oder zumindest ein konstanter Wert für alle x und t, so dass man es auch ignorieren kann). Die Angabe, dass es sich um freie Teilchen handelt, bedeutet letztlich, dass es kein Potential gibt.
Ich denke also, dass die Hamiltonfunktion in Deinem Fall für die a) eher:

dein müsste, also einfach die kinetische Energie eines jeden Teilchens.

Wie sieht aber der Phasenraum für t>0 aus: Da musst Du Dir überlegen, wenn der Impuls höher ist, also auch die Geschwindigkeit eines Teilchens höher ist, wie verändert sich dann der Wert dessen x-Koordinate? Du hast in dem gegebenen Rechteck ja unterschiedliche Teilchen mit unterschiedlichen Impulsen. Bei denen mit höherem Impuls verändert sich also die x-Koordinate ja anders, als bei denen mit niedrigerem. Aber die Veränderung der x-Koordinate ist für alle Teilchen mit gleichem Impuls gleich. Hilft Dir dieser Hinweis schon weiter? Nimm einfach mal alle Teilchen mit p = 2 p0 und alle mit p =p0. Wo müsste jeweils das neue x sein nach einer bestimmten Zeit t?

Gruß
Marco
jvc96



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Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 13:50    Titel: Antworten mit Zitat

Ok. Vielen Dank. Ich habe jetzt schonmal das mit der Funktion fürs freie Teilchen verstanden und was überhaupt mit diesen Diagramm gemeint ist.
Nun würde ich ja sagen dass, wenn ich dich richtig verstanden habe, eine Art Parallelogramm entsteht, da die Teilchen mit höherem Impuls eine stärkere Änderung der x-Koordinate haben. Bin ich da auf dem richtigen Weg?
as_string
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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 14:09    Titel: Antworten mit Zitat

Genau richtig! Thumbs up!
Und wie groß ist die Fläche dieses Parallelograms und wie wird sich die mit der Zeit entwickeln?
jvc96



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Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 14:13    Titel: Antworten mit Zitat

Also meine Intuition sagt mir jetzt das die Fläche leich bleibt, da sich evt die Anzahl der Teilchen nicht ändert sondern nur ihr Ort. Da der Impuls ja an den verschiedenen Stellen zwar verschieden ist, aber dort konstant ist, wird sich das Parallelogramm zwar immer mehr "auseinanderziehen", die Fläche wird aber gleich bleiben. Würde für mich jetzt so Sinn ergeben smile
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 14:29    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, also schon, nur wäre es vielleicht besser, wenn es etwas mehr "mathematisch" wäre... Big Laugh

Die Fläche eines Parallelograms ist ja einfach Grundseite mal Höhe. Du kannst ja als Grundseite den Abstand in x nehmen. Und jetzt kommt eben die Begründung: Bei gleichem p bleibt der Abstand der Teilchen logischerweise gleich (die fliegen ja nur mit gleicher Geschwindigkeit hintereinander her), aber die mit größerem p sind nach einer Zeit insgesamt ein Stück weiter rechts, als die mit kleinerem p. Daher ja das Parallelogram, allerdings bleiben damit auch die Seiten jeweils 2a breit und da sich die p jeweils so wie so nicht ändern, bleibt auch die Höhe p0 erhalten. Also bleibt die Fläche des Parallelograms immer gleich, obwohl es immer "schräger" wird.

Jetzt zur b). Da ist eine Potentialstufe geben. Das führt dazu, dass alle Teilchen, die am Anfang nur den Impuls p0 hatten, dann stehen bleiben müssen, weil ja die potentielle Energie auf der Stufe der kinetischen Energie dieser Teilchen entspricht. Wenn die Geschwindigkeit der langsamsten Teilchen also v=p/m = p0/m ist und die Teilchen ganz links eine Strecke 2a zurück legen, bis sie an die Potentialstufe kommen, dann dauert es t=2a/v0 = 2am/p0, so wie in der Aufgabe angegeben.
Ist das soweit noch alles klar?

Jetzt ist wichtig: Wie hoch ist der Impuls und die Geschwindigkeit der schnellsten Teilchen, wenn sie sich auf dem höheren Potential bewegen. Ich denke auch da kannst Du am einfachsten die Energieerhaltung verwenden, oder?
Welche Zeit haben sich diese Teilchen "auf" der Potentialstufe bewegt, wie lange die, die ganz rechts waren und gleich auf die Potentialstufe kamen, wie lange die, die sich die längste Zeit noch mit voller Geschwindigkeit bewegt haben, weil sie ganz links waren.
Damit bekommst Du verschiedene Eckpunkte. Welche Form hat die mit diesen Eckpunkten eingeschlossene Fläche, bzw. wie viele Eckpunkte gibt es jetzt?

Gruß
Marco
jvc96



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Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 14:40    Titel: Antworten mit Zitat

Also vom Prinzip habe ich jetzt verstanden was du meinst und es macht auch Sinn. Ich weiß nur noch nicht so ganz wie ich an die Energieerhaltung rangehen soll.
mein Ansatz wäre jetzt:


Die "obersten" Teilchen mit p=2p0 sind ja nach (1/2)t bei a angekommen und sind dann nochmal die selbe Zeit im Potential. Aber ich weiß nicht wie ich darauf komme wo die sich nach dieser Zeit befinden
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 14:52    Titel: Antworten mit Zitat

Erstmal fehlt auch noch die Hamiltonfunktion mit dem Potential. Da das Potential ja stückweise definiert ist, musst Du auch für die Hamiltonfunktion eine abschnittsweise Definition machen, denke ich, oder mit einer Theta-Funktion, wenn Du willst.

Zur Energieerhaltung. Wenn Du die Geschwindigkeit mit dem Impuls ersetzen willst, dann musst Du schon auch alle v ersetzen. Also ist die kinetische Energie:

Außerdem ist bei einem freien Teilche oder auch bei so einem einfach Potential und einer Dimension und so, der generalisierte Impuls gleich dem normalen physikalischen Impuls. Und die Hamiltonfunktion gibt in diesem Fall (glaub bei skleronomen Randbedingungen?) auch einfach die Gesamtenergie wieder.
Wenn das zuerst freie Teilchen (also das Teilchen bewegt sich zuerst in einem Bereich mit V=0) in ein Potential eintritt, dann verringert sich die kinetische Energie ja einfach um den Wert, den das Potential hat, damit eben die Energie erhalten ist. Hier wird sich also die kinetischen Energie p^2/(2m) gerade um den Wert der Potentialstufe verringern, also um eben p0^2/(2m). Also ist die kinetische Energie der langsamsten Teilchen "auf" der Stufe dann eben gerade 0. Und von der kinetischen Energie der schnellsten Teilchen musst Du eben auch gerade diese Energie abziehen und dann daraus wieder die Geschwindigkeit berechnen.

Gruß
Marco
jvc96



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Beiträge: 113

Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 15:04    Titel: Antworten mit Zitat

Ok. Dann wären ja die Hamiltonfunktionen:

und


Da sich ja auf der obersten Stufe die Teilchen mit der doppelten Kinetischen Energie wie auf der untersten bewegen, wäre ja deren kinetische Energie im Potential =

Nach der Zeit wäre also das ganze linke unterste Teilchen bei a und das ganz linke oberste Teilchen bei 2a.
Das ganz rechte unterste Teilchen würde bei a bleiben und das ganz rechte oberste Teilchen wäre beim Punkt "3a".
Man hätte als ein Dreieck. Stimmt das soweit?

Ich glaube mein größtes Problem bei der Rechnung ist noch die potentielle Energie. Wenn ich jetzt das oberste Teilchen gans links habe, ist Ekin am Anfang p^2/m und im potential p^2/2m. Aber für die Energieerhalung weiß ich nicht was ich für Epot einsetzen soll


Zuletzt bearbeitet von jvc96 am 15. Jan 2017 17:29, insgesamt 3-mal bearbeitet
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 15:09    Titel: Antworten mit Zitat

Nur kurz:
Bei Deiner H darfst Du p und p0 nicht einfach zusammen nehmen! Das eine ist der Impuls eines einzelnen Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt und das andere ist einfach eine Konstante!

Gruß
Marco
TomS
Moderator


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Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Jan 2017 15:16    Titel: Antworten mit Zitat

Kurzer Hinweis: H spielt im Hamiltonformalismus zwei unterschiedliche Rollen.

Zum einen ist es ein formales Objekt, mittels dessen man die Zeitentwicklung von physikalischen Größen A durch die Poissonklammer {A,H} berechnen kann und mittels dessen man die Symmetrien des Systems sowie die zugehörigen erhaltenen Ladungen gem. {Q,H} = 0 diskutieren kann.

Zum anderen entspricht H für eine bestimmte Trajektorie [x(t), p(t)] als Lösung der Bewegungsgleichungen der erhaltenen Energie E entlang dieser Trajektorie.

Man sollte diese begriffliche Trennung immer im Hinterkopf haben.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
jvc96



Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113

Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 15:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke für den Hinweis TomS
@as_string: habs geändert
jvc96



Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113

Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 16:41    Titel: Antworten mit Zitat

@as_string. Habe jetzt meinen letzteb Beitrag noch um die Sachen ergänzt die ich noch rausgefunden habe
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 17:09    Titel: Antworten mit Zitat

jvc96 hat Folgendes geschrieben:
Da sich ja auf der obersten Stufe die Teilchen mit der doppelten Kinetischen Energie wie auf der untersten bewegen, wäre ja deren kinetische Energie im Potential =

Vorsicht! Die Geschwindigkeit oder der Impuls gehen in die kinetische Energie im Quadrat ein!
Wie ist also der Impuls und die Geschwindigkeit dann der schnellsten Teilchen, sobald sie bei x>a sind?
jvc96 hat Folgendes geschrieben:
Nach der Zeit

Fehlt da wieder ein Index-null beim p?

Überlege Dir nochmal, wie die Bewegungsgleichung (x(t) und v(t)) der Teilchen links oben, rechts oben und links unten aussieht. Beachte dass die kinetische Energie bei doppeltem Impuls oder doppelter Geschwindigkeit viermal so groß ist und dass wenn man von diesen 4 eins "weg nimmt", immer noch 3 übrig sind!

Gruß
Marco
jvc96



Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113

Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

ok, blöd das ich da nicht drauf geachtet habe. Ist jetzt aber noch blöder das alles im Kopf zu überlegen wann wo welches Teilchen ist. Deswegen wäre es super wenn du mir erstmal bei der Energieerhaltung helfen könntest. Dann könnt eich nämlich einfach eine Formel benutzen.

Ich weiß jetzt nur, dass wenn das unterste linke Teilchen bei -a/2 ist, ist das obere linke bei a, weil es 4 mal so schnell ist
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 19:54    Titel: Antworten mit Zitat

OK, also:

Die kinetische Energie des Teilchens links-oben in dem Rechteck, ist ja zuerst

Da es doppelt so schnell ist, wie das Teilchen links-unten, wird es in der halben Zeit die Potentialstufe erreichen, also bewegt es sich für die Zeit noch mit dem ursprünglichen Impuls und Geschwindigkeit und für die Zeit noch einmal genau so lange mit dem geringeren Impuls.
Die neue kinetsiche Energie ist um den Wert der Potentialstufe geringer (weil die Summe ja erhalten bleiben muss). Also ist sie:

Das wieder zurück zu einem Impuls und einer Geschwindigkeit zu rechnen ist dann ja recht einfach. Für den Impuls bekommst Du dann und die Geschwindigkeit ist dann einfach nochmal durch m geteilt.
Wenn Du also diese Geschwindigkeit mit der Restzeit t2 multiplizierst, wie weit kommt das Teilchen dann noch im Bereich des höheren Potentials? Welchen Wert hat x dann also?

Gruß
Marco
jvc96



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Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 20:28    Titel: Antworten mit Zitat

ah ok. Also ist das Teilchen am Ende der ganzen Zeit um 2a+a*Wurzel(3) verschoben worden. wenn das stimmt, dann hab ich es verstanden. Dann setze ich mich da gleich noch mal ran und berechne alle Punkte.
jvc96



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Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 20:33    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich hätte dann am Ende ein Dreieck mit den Eckpunkten 0, wurzel(3) und 2*wurzel(3), wenn ich denn Nullpunkt bei a lege. Richtig?
as_string
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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 20:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, die Eckpunkte stimmen. Allerdings würde ich jetzt nicht den Nullpunkt plötzlich verschieben, wenn Du die Ergebnisse irgendwann aufschreibst. Schreibe einfach x=a; x=a+wurzel3 a, etc. oder so ähnlich.
Andererseits hat das Ding zwar 3 Ecken, ist aber trotzdem kein Dreieck! Die linke und rechte Kante wird keine Gerade sein. Deshalb kannst Du zur Berechnung der Fläche auch nicht einfach die Formel für ein 3-Eck verwenden. Man muss eigentlich jetzt für alle Anfangsimpulse den jeweiligen minimalen x-Wert im Endzustand ausrechnen, um dann die Streifen anschließend zu einer Fläche zu integrieren.

Gruß
Marco
jvc96



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Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 20:48    Titel: Antworten mit Zitat

Aber in der Aufgabe steht doch ich soll nur die Ecken berechnen. Ich hab keine Ahnung wie das mit dieser Integration gehen soll. Und ich kann mir auch noch nicht so wirklich vorstellen, warum kein Dreieck mit "geraden" Kanten herauskommen soll. Der Impuls steigt ja nach oben hin gleichmäßig
as_string
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Beitrag as_string Verfasst am: 15. Jan 2017 21:59    Titel: Antworten mit Zitat

Dachte ich erst auch, aber leider ist das nicht so einfach:
Bei den Teilchen, die zuerst ganz links sind, sind ja alle erst mit ihrer höheren Geschwindigkeit unterwegs und werden dann langsamer, sobald sie zu der Stufe kommen. Dabei sind aber die schnelleren schneller an der Stufe und schalten "einen Gang zurück", als die unteren.
Rechne es aus: Es gibt eine nicht-lineare Abhängigkeit von dem insgesamt zurück gelegten Weg und dem Anfangsimpuls.

Ich bin mir nicht sicher, ob der Prof das bei der Aufgabenstellung so richtig berücksichtigt hat. Aber Du es als Dreieck rechnest, wirst Du merken, dass sich dann die Fläche geändert hätte, was ja dem Theorem widersprechen werde.

Gruß
Marco
jvc96



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Beitrag jvc96 Verfasst am: 15. Jan 2017 22:01    Titel: Antworten mit Zitat

ok, das werde ich mir nochmal in Ruhe anschauen und ansonsten mal meinen Tutor fragen.
Hast du noch eine Idee bei Aufgabe c)?
Ich verstehe noch nicht mal was da gemeint ist Hammer
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 16. Jan 2017 17:41    Titel: Antworten mit Zitat

Zur c):
Die Teilchen, die bei den angegebenen Phasenraum-Koordinaten starten, werden zum ersten Mal reflektiert, wenn sie die rechte Wand bei +2a erreicht haben, wenn sie also eine Strecke von 2a zurück gelegt haben. Das wäre also zum Zeitpunkt
Wenn alle Teilchen bei +2a reflektiert werden, dann sind ja die, die ursprünglich weiter rechts waren, jetzt schon nach links reflektiert worden. Die weiter links aber noch nicht. Bei den schnelleren sind schon mehr reflektiert worden, bei den langsameren noch nicht so viele. Wieviel genau, kannst Du Dir ja mal überlegen.
Die reflektierten haben zwar den selben Impulsbetrag, aber jetzt in die entgegen gesetzte Richtung, also ist es gerade der negative Wert im Diagramm.
Überlege Dir mal, wie das Diagramm zum Zeitpunkt T_1 dann aussehen würde. Dann kannst Du auch weiter überlegen, wie es zu den anderen Zeitpunkten wäre.

Gruß
Marco
jvc96



Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113

Beitrag jvc96 Verfasst am: 17. Jan 2017 15:37    Titel: Antworten mit Zitat

Zur b) hattest du wohl recht. Es gab ein Update zur Aufgabe:


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