Relativität der Gleichzeitigkeit

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Hallo,
ich sitze gerade vor einem Artikel im Tippler (Kapitel R5 "Weit voneinander entfernte Uhren" falls diesen jemand von euch hat).

Und zwar werden dort zwei Uhren im Ruhesystem (1) in einem Abstand von Δl_0 synchronisiert. Lampe bei Uhr A sendet dazu einen Lichtstrahl aus.
Danach wird das Ganze aus dem System eines Beobachters (2) betrachtet, der die Uhren mit der Geschwindigkeit v an sich vorbeiziehen sieht.
Es wird nun der Zeitunterschied zwischen den beiden Uhren aus Sicht des Beobachters berechnet. (vgl. Bild)

Volgendes Vorgehen habe ich verstanden:
Da sich die Strecke zwischen den beiden Uhren im Bezugssystem 2 ändert, wird zunächst der Abstand berechnet, den der Beobachter aus seinem System misst.
Δl= Δl_0*sqrt(1-v²/c²)

Das Licht legt generell die Strecke ct in der Zeit t zurück. Bezogen auf das Systems 2 ist t die benötigte Zeit des Lichtes um die Uhr B zu erreichen. Diese Strecke entspricht also Δl-v*t (v*t ist ja die zurückgelegte Strecke der Uhr B auf das Lichtsignal zu).

Nun nach t auflösen und dann hat man doch damit die Zeit, die das Licht benötigt um aus Sicht des Systems 2 die Uhr B zu erreichen.
Das würde doch dann bedeuten, dass aus Sicht des Systems 2 beim Eintreffen des Lichts bei B die Uhr A eine Zeit von t= Δl/(c+v) anzeigt (wenn bei Aussendung des Lichtsignals an der Uhr A gerade Null Uhr ist).

Dass der Lichtblitz die Uhr B erreicht und diese in diesem Moment die Zeit Δl_0/c anzeigt ist ja eine Raumzeitkoinzidenz. Darum muss auch im System 2 dieses Ereigniss zum Zeitpunkt Δl_0/c passieren.

Wenn man also beide so erhaltenen Zeiten (beide sind auf System 2 bezogen) voneinander abzieht, so müsste man doch folgendes erhalten:

Zeitunterschied der beiden Uhren aus Sicht des Beobachters im System 2 ist:
Δl/(c+v)-Δl_0/c

Im Buch wandeln sie jedoch aufgrund der Tatsache, dass bewegte Uhren langsamer gehen, die Formel für die Uhr A noch weiter um.
So wie ich das verstehe berechnen sie dann die vergangene Zeit im Bezugssystem 1 bis das Licht bei der Uhr B eintrifft. Aber warum?
Wir wollen doch den Zeitunterschied im System 2 berechnen.

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
Ich verstehe das gerade einfach nicht.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Hi, habe mal alles nochmal abgetippt.
Wäre nett, wenn Du mir sagen könntest, ob es jetzt passt.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Ich hab˙s mir angeschaut - wow, du beschäftigst dich ja intensiv mit dem Thema! Grundsätzlich ist m.E. alles richtig (und sehr gut dargestellt mit den beiden Farben). Zu den letzten beiden Abschnitten möchte ich aber noch etwas schreiben, wofür ich momentan grad keine Zeit habe. Die Antwort folgt aber sehr bald, versprochen.

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Ok, ich warte natürlich gespannt auf deine Ergänzung.

Mir ist es wichtig etwas zu verstehen und nicht einfach irgend welche Formeln auswendig zu lernen. Augenzwinkern

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Hier noch zwei Ergänzungen, wobei ich die zweite eher für mich zur Überprüfung angefügt habe:

1. Nach "Wir fassen zusammen" schreibst du: "Beim Eintreffen des Lichtstrahls an der Uhr B zeigt die Uhr A=..."

Hier müsste man (das soll keine Kritik sein!) etwas präziser sagen - und das ist der entscheidende Punkt: Für einen Beobachter, der sich im System 2 befindet, zeigt die Uhr A beim Zeitpunkt, wo der Lichtstrahl bei der Uhr B eintrifft,

an. D.h. er liest diese Zeit von der Uhr A ab, wenn der Strahl bei B eintrifft. Ein im System der Uhren ruhender Beobachter sagt selbstverständlich etwas anderes, für ihn zeigt die Uhr A beim Eintreffen des Lichtstrahls bei B genau gleich wie die Uhr B

an. Die Uhren sind ja im System 1 synchronisiert.

Mit diesem Beispiel hat man gezeigt, dass zwei Ereignisse, die ein Beobachter für gleichzeitig hält, für einen anderen, zum ersten bewegten Beobachter nacheinander stattfinden.

2. Noch eine Ergänzung zum ersten Teil des Beispiels: Hier wird ja anschaulich gezeigt, wieso für den Beobachter im System 2 der Lichtstrahl von Uhr A zu Uhr B die Zeit

braucht. Allerdings - ganz einfach ist das auch nicht einzusehen. Da hilft es vielleicht, wenn man ganz stur die Lorentztransformation auf die Zeitkoordinate anwendet und das Ergebnis überprüft. Die Zeitkoordinate im 2. System ergibt sich ja aus den Koordinaten im ersten System zu

(wobei

und

).

Mit

und

ergibt sich:

,

was zum Glück mit der anschaulichen Herleitung übereinstimmt.

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Ok, vielen vielen Dank für deine Hilfe.

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Ich habe dazu jetzt eine Übungsaufagbe ausgegraben.
(vgl. Anhang).
Laut unserem Ergebnis Gilt ja:
"Sind 2 Uhren in ihrem Ruhesystem synchronisiert, so hat in einem Bezugssystem, in dem sich die Uhren mit der Geschwindigkeit v längs ihrer Verbindungslinie bewegen, die hintere Uhr gegenüber der vorderen Uhr einen Vorsprung von Δt= v* Δl_0/c^2.

Bezogen auf den Fall ist in meiner Zeichung A die hintere Uhr und B die vordere Uhr.
Das Ruhesystem in dem beide Uhren synchron gehen (die 2 Ereignisse also gleichzeitig geschehen ist System M. Aus dessen Sicht bewegt sich System S dann mit -v_M.

Δt wäre also die 2+10^-6 s.
Im Lösungsbuch steht, dass Δl_0=1.500m ist. Aber das ist doch die Entfernung im System S. Δl_0 wäre aber doch die Stecke im unbewegten System, also im System M.
Wo liegt mein Denkfehler?

Mit der Lorentztransformation komme ich auf das richtige Ergebnis von 0,4c.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Ok, ich habe es verstanden.
Danke nochmal Augenzwinkern