Ungleichförmige Kreisbewegung,Parametrisierung für Animation

rosinante · Anmeldungsdatum: 21.09.2016 Beiträge: 1

Hallo,

mein Ziel ist es, eine Animation eines Massenpunktes zu erstellen, der einen Looping beschreibt. Dabei möchte ich z.B. einen Kreisförmigen Looping mit einem Klothoidenlooping vergleichen.

Zunächst versuche ich mich am Kreisförmigen Looping ohne Reibung, d.h. ich habe eine vertikale Kreisbewegung einer Punktmasse und es wirkt nur die Schwerkraft.

Ich habe mich etwas schlau gemacht und das Problem physikalisch einigermassen begiffen (so hoffe ich). Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung habe ich für die Beschleunigung eine radiale Komponente

und eine tangentiale Komponente

. Erstere zeichnet dafür verantwortlich, dass sich das Objekt im Kreis bewegt (Richtung wird beschleunigt) und letzere sorgt dafür, dass das Objekt entlang seiner Bahn beschleunigt wird (Beschleunigung des Betrages der Geschwindigkeit).

Zeichne ich mir das ein und teile die Gewichtskraft in eine radiale Komponente

und tangentiale Komponente

auf, so erhalte ich:

bzw.

.

Meine erste Idee war, dass ich daraus die Parametrisierung bekommen kann, da ich ja einfach die Beschleunigung zwei Mal integrieren muss, doch mein Koordinatensystem mit den Radialen- oder Tangentialen Einheitsvektoren ist ja etwas "speziell" - die Einheitsvektoren stehen zwar senkrecht aufeinander, doch sie drehen sich und der Nullpunkt bewegt sich auch auf einer Bahn... Kann man diesen Ansatz trotzdem irgendwie durchziehen und das sich verändernde Koordiantensystem irgendwie berücksichtigen?

Meine zweite Idee war, dass ich ja die Kurve als Punktmenge kenne und ich muss nur herausfinden, wie sich der Winkel nach der Zeit verändert. Ich habe also:

Ich kann das zwei mal nach t ableiten um die Geschwindigkeit, bzw. die Beschleunigung zu bekommen:

Hier kann ich nun leicht die Radiale und die Tangentiale Komponente der Bschleunigung ablesen, da der erste Teil ja nichts anderes ist als die Winkelgeschwindigkeit im Qadrat mal (-R) mal einen Einheitsvektor in radialer Richtung und der zweite Teil R mal die Winkelbeschleunigung mal einen Einheitsvektor in Tanentialer Richtung.

Die erste Frage die ich habe: ist die Radiale Komponente die Zentripetalbeschleunigung oder einfach nur ein Teil davon (die Zentripetalbeschleunigung sorgt ja dafür, dass das Objekt auf dem Kreis verbleibt und ist eine Nettogeschichte...)

Meine Idee war nun, die "Komponenten" zu vergleichen (also z.B. die Tangentialbeschleunigungen die ich durch das Ableiten und geometrisch bekommen habe) und dadurch

zu bestimmen, z.B. hätte ich für die Tangentiale Beschleunigung:

Aber diese Differentialgleichung ist nicht so ohne Weiteres aufzulösen...

Mache ich etwas grundlegendes Falsch, d.h. gibt es eine schlauere Methode für meine Problemstellung die Parameterdarstellung der Kurve nach t zu finden? Muss ich es evtl. direkt nummerisch machen indem ich irgendwie die gefundenen Beschleunigungen in Geschwindigkeiten umrechne und bestimme, wie viele Pixel ich bei einer Animatin nach "oben/unten" gehen muss, wenn ich x-Pixel nach "rechts/links" gehe?