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Amphibol
Anmeldungsdatum: 19.09.2016
Beiträge: 3
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 Amphibol Verfasst am: 19. Sep 2016 19:23 Titel: Harmonische Schwingung Federpendel |
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Meine Frage:
Hallo, ich versuche gerade die Folgende Aufgabe zu lösen, bin mir aber absolut nicht sicher, ob das richtig ist was ich tue & bei einer Teilaufgabe fehlt mir schon der Ansatz.
Zum Zeitpunkt t=0 ist die Auslenkung x(t) eines frei schwingenden und ungedämpften Federpendels positiv und genau gleich der Hälfte der maximalen Auslenkung x0. Die Auslenkung bei t=0 wächst weiter mit der Zeit an, d.h. >0) .
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Kreisfrequenz  des Pendels als Funktion von Größen an, die die dynamischen Eigenschaften des Federpendels bestimmen.
b) Geben Sie die Bewegungsgleichung dieses Federpendels an.
c)Leiten Sie aus der allgemeinen Lösung dieser Bewegungsgleichung =x_0cos(\omega_0*t+\varphi _0)) einen Ausdruck für die Gesamtenergie des Oszillators her, die die Zeit t nicht mehr enthält. Welches physikalische Gesetz findet durch diese Zeitunabhängigkeit seinen Ausdruck?
d)Modifizieren sie die Formel aus c) in geeigneter Weise, um eine endlich große, schwache Dämpfung des Oszillators zu berücksichtigen.
e)Bestimmen Sie für die oben genannten Anfangsbedingungen die Phasenkonstante  im allgemeinen Weg-Zeit-Gesetz der ungedämpften Schwingung. (Lösungshinweis:cos(+/-60°)=1/2.Beachten Sie die oben genannte Bedingung v(t)>0.)
Meine Ideen:
a) D/m =  & daraus die Wurzel ziehen für  .
b) ->  -> 
c)=x_0*cos(\omega_0*t+\varphi _0))
=-x_0*sin(\omega_0*t+\varphi _0)\omega) mit
=-x_o*cos(\omega_0*t+\varphi _0)\omega^2)
Das alles dann in  einsetzen (mit  und  einsetzen,  setzen cos^2 & sin^2 einklammern und da die gleich 1 sind, kann ich die wegstreichen. Am Ende komm ich auf  . Das ist const. & damit gilt die Energieerhaltung. Ist die Energieerhaltung das physikalische Gesetz nach dem gefragt wurde?
d) In die Formel aus c) setze ich einen e-Term ein:
=x_o*e^(-(\gamma/2)*t) *cos(\omega_0*t+\varphi _0)) mit  . Hab ich damit eine endlich große, schwache Dämpfung berücksichtigt oder nur die Dämpfung allgemein?
e) Die Aufgabe ist mein Hauptproblem, da ich nicht weiß, wie ich die Anfangsbedingung verwenden soll. Der Lösungshinweis der Aufgabenstellung bringt mich leider auch nicht weiter.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte  |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 19. Sep 2016 21:00 Titel: Re: Harmonische Schwingung Federpendel |
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Hallo Amphibol!
Die Bewegungsgleichung wird üblicherweise  geschrieben und die Einführung der Dämpfung soll vermutlich im Sinne einer geschwindigkeitsabhängigen (viskosen) Reibungskraft erfolgen 
| Zitat: | | Lösungshinweis:cos(+/-60°)=1 |
?
Und am Rande noch ein Warnhinweis: Der Index 0 wird in dreierlei Bedeutung verwendet: Zeit 0, Amplitude und ungedämpft - also Vorsicht! |
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Amphibol
Anmeldungsdatum: 19.09.2016
Beiträge: 3
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| Amphibol Verfasst am: 19. Sep 2016 22:05 Titel: |
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Moment, ich muss für e) gar nicht die Formel benutzen die in c) genannt wurde, oder?
An die spezielle Lösung
=x_0*sin(\omega*t)) hab ich gar nicht gedacht
(Spezielle Lsg für den Fall, dass die Masse bei t=0 in GGW-Lage ist & sich in Richtung positiver x-Werte bewegt -> keine Auslenkung vorhanden?
Wie bekomm ich die da rein?
Wenn ich =x_0*cos(\omega*t)*\omega) und =-x_0*sin(\omega*t)*\omega^2) bilde, ist das da ja auch nicht drin. Oder mach ich Fehler beim Ableiten?
=x_0*cos(\omega*0)*\omega^2) -> Das müsste schon >0 sein? Aber ich kann doch keinen Cosinus von Null haben, der wäre dann doch 1 und nicht 1/2 wie in dem Hinweis.
Ich versteh nicht, was mir der Hinweis mit dem Cos(60°)=1/2 bringen soll. Gibt es vielleicht ein paar Tipps, was für Themen/Zusammenhänge ich mir anschauen müsste, um das zu verstehen? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 19. Sep 2016 23:33 Titel: |
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Sorry, mein Hinweis mit der Sinusfunktion beruhte auf einem Irrtum.
Aus der Fragestellung ergibt sich
=x_0\cos \varphi_0\overset !=\frac 12 x_0\Rightarrow \cos\varphi_0=\frac 12\Rightarrow \varphi_0=\pm 60^\circ)
=-x_0\omega_0\sin \varphi_0>0\Rightarrow \sin \varphi_0<0\Rightarrow \varphi_0=-60^\circ) .
Der Lösungshinweis oben cos(+/-60°)=1 ist vermutlich ein Tipfehler.
Ob die Dämpfung stark oder schwach ist, hängt von dem Verhältnis des Dämpfungsfaktors zur Frequenz ab. Dein Ansatz eines quasiperiodischen Abklingens paßt zur schwachen Dämpfung, bei mir  |
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Amphibol
Anmeldungsdatum: 19.09.2016
Beiträge: 3
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| Amphibol Verfasst am: 20. Sep 2016 11:43 Titel: |
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Irgendwie mach ich da immernoch einen Fehler:
1)
) positiv & 
=1/2*x_0) 
 
)
Soweit versteh ich das noch, aber der Teil danach ist mir unschlüssig:
2)
 > 0)
*\omega >0) 
 
)
Wie kommst du auf  Bzw. darf man das überhaupt so rechnen, oder sind da grobe Fehler drin? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. Sep 2016 11:56 Titel: |
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Für  gibt es zwei Lösungen  und durch die zusätzliche Bedingung einer anfänglich positiven Geschwindigkeit*) kommt nur noch  in Frage.
 Also }\sin \varphi_0 < 0\text{ entsprechend der gewünschten Form }x(t)\overset != x_0 \cos (\omega_0t+\varphi_0){.}) |
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