Landau Theoretische Physik Band 1

Svenjamin · Gast

Meine Frage:
Hallo,

Ich bearbeite gerade L. D. Landaus und E. M. Lifschitz' "Lehrbuch der Theoretischen Physik", Band 1: "Mechanik" und habe zwei Fragen dazu. Zur Beantwortung der Frage ist allerdings das Buch notwendig.

Auf Seite 34 (14. Auflage, Verlag Harri Deutsch),
zum Kapitel III: 'Integration der Bewegungsgleichungen',
§12. 'Bestimmung der potentiellen Energie aus der Schwingungsdauer,

steht:

---!!!ZITAT:!!!---

" [...] oder nach Vertauschung der Integrationsfolge

Das Integral über dE ist elementar und gleich %pi. [...]"

---!!! ZITAT ENDE !!!---

Meine Ideen:
Meine Frage nun:

1. Wie kommt er im zweiten Integral der rechten Seite auf die Integrationsgrenzen U und Alpha? In der vorherigen Gleichung (im Buch) waren es noch die Grenzen 0 und E. Er führt aber keine Substitution durch, soweit für mich ersichtlich. Also ein Fehler im Buch oder meine Beschränktheit? ;)

2. Wie löse ich dieses... naja... "elementare" Integral auf? Wie komme ich dabei auf %pi?

Bin für jegliche Hilfe dankbar!

MfG
Svenjamin

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich nehme an, dass du alle anderen vorhergehenden Schritte verstanden hast und das du dir insbesondere das Schaubild mit dem Potential, den Punkten x1 und x2 und dem Energielevel gut angeschaut hast.

Zu 1. :

Wenn du das innere Integral dU mit dem äußeren nach dE vertauscht, dann findest du, dass du den Term mit x1 und x2 im Nenner vor das innere Integral ziehen darfst. Schau dir jetzt die Grenzen noch einmal an:

Obwohl die Wurzel im Nenner nur für Werte von E <= alpha und E >= U definiert ist, integrierst du immer noch über den ganzen Bereich von 0 bis alpha. Das ist natürlich Quatsch, denn erstens liefern bestimmte Integrale über eine gewisse Grenze hinaus keinen Beitrag mehr zum Ergebnis (beispielsweise ist Integration bis zu unendlich manchmal nicht nötig) und zweitens liefert dieses Integral nicht nur keine Beiträge mehr, sondern die Wurzelfunktion ist in diesem Bereich für reelle Lösungen nicht definiert. Du musst also die Integralgrenzen anpassen, das ist mathematisch ein Hinweis, dass alle deine rellen Lösungen in einem bestimmten Bereich liegen. Da die Obergrenze schon durch alpha begrenzt ist, muss auch das äußere Integral angepasst werden auf Obergrenze alpha.

Zu 2.: Elementar ist das Integral in dem Sinne, dass es eben bekannt ist. Es ist d/dx atan(x)=1/(x^2 +1) und so ähnlich kommt das in der analytischen Lösung dann vor, du kannst ja mal wolframalpha befragen.

Svenjamin · Gast

Cool, danke für die schnelle Antwort. Das war auf jeden Fall einleuchtend dargestellt! Thumbs up!

Ich muss dich/euch leider trotzdem noch wegen einer Anschlussfrage belästigen.

Wieder im Landau,
Kapitel III,
§14. 'Bewegung im Zentralfeld',
Gleichung (14,3).

Er leitet an dieser Stelle den Flächensatz bzw. das zweite Keplersche Gesetz her. Dieses Gesetz stelle ich keinster Weise in Frage zumal es andere Herleitungen gibt die ich wesentlich besser verstehe als diese; Landaus Darstellung erscheint mir nur etwas fragwürdig. Nun zu meiner Frage:

Er führt im Absatz vor Gleichung (14,3) die Fläche

ein, und behauptet, dass der Drehimpuls somit ausgedrückt werden kann in der Form

.
Nun würde das bedeuten, dass die Flächengeschwindigkeit die Form

hat. Dies wird auch deutlich wenn ich in der Gleichung

einfach durch

dividiere.

Wenn ich nun allerdings die Gleichung

integriere, das heißt im Endeffekt auf eine Lösung

komme, dann stellt sich die Fläche dar als

.
Differenzieren nach der Zeit ergibt aber NICHT die obige Flächengeschwindigkeit, da der Radiusvektor doch auch zeitabhängig ist? Und wenn der Radiusvektor oder zumindest der Betrag des Radiusvektors NICHT zeitabhängig ist, dann würde doch der Flächensatz nur für Kreisbewegungen gelten?

Wo liegt mein (Denk-)Fehler? grübelnd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

NB