| Autor |
Nachricht |
Pepe89
Anmeldungsdatum: 26.08.2016
Beiträge: 4
|
 Pepe89 Verfasst am: 26. Aug 2016 16:47 Titel: Stationärer Zustand des Wasserstoffatoms |
 |
|
hallo,
ich würde gerne zeigen, dass  = R_{21} ( r) \cdot Y_{11}(\vartheta,\varphi) ) ein stationärer Zustand des Wasserstoffatoms ist. Dazu muss ich zeigen, dass  eine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten ist.
Ich habe nun in die Schrödingergleichung eingesetzt und habe nun ein Ergebnis  . Wie kann ich nun damit beweisen, dass ein stationärer Zustand des Wasserstoffatoms ist?
Oder ist das schon ausreichend?
Ich könnte ja z.B. auch einfach  = R_{21} ( r) \cdot Y_{11}(\vartheta,\varphi) \cdot ) 5r einsetzen und hierbei hätte ich dann ja auch ein Ergebnis.
Zweite Frage ist, welche Energien hierfür auftreten können.
Es gibt ja die allgemeine Energieformel fürs Wasserstoffatom: ^2\frac{m}{\hbar^2n^2} )
und hier nun eben "n = 2" setzen. Dann ich habe eine Energie. Aber es sind ja in der Angabe mehrere Energien gesucht. |
|
 |
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 26. Aug 2016 21:48 Titel: Re: Stationärer Zustand des Wasserstoffatoms |
|
|
Willkommen im Forum Pepe89! 
Mir erscheint es zweckmäßig, zur Einstimmung sozusagen, die Behandlung des "Wasserstoffatoms" kurz zu überfliegen (in einem beliebigen Lehrbuch zur Quantentheorie, z.B. hier): Warum stationäre Lösungen, Hamiltonoperator, Rolle des Drehimpulses, Normierung, Energiewerte ...
=\frac{u_{nl}(r)}{r}Y_{lm}(\theta,\phi))
Vielleicht lichtet sich damit der Nebel schon etwas? Weiter dann mit den Laguerre-Polynomen.
PS Eine für mich etwas merkwürdige Problemstellung: Es wird nicht die Lösung gesucht (Fallgesetz aufgrund Schwerkraft sozusagen), sondern die Lösung fällt irgendwie vom Himmel und wird, quasi als Rechenübung, auf Kompatibiltät zur Bewegungsgleichung untersucht. |
|
|
Pepe89
Anmeldungsdatum: 26.08.2016
Beiträge: 4
|
| Pepe89 Verfasst am: 27. Aug 2016 15:36 Titel: |
|
|
Danke für deine Antwort
Ich hab mir in meinem Skript das Kapitel zum Thema Wasserstoffatom angeschaut, beginnend von der Schrödingergleichung, über die Speration der Variablen, den Radialanteil der Wellenfunktion, den Kugelfkächenfunktion und wie man dann abschließend Wellenfunktionen und Energiewerte zum H-Atom kommt. Also ich denke ich habe es sehr gut überflogen schonmal :-D
und mittels der Laguerre Polynome kann man den radialen Anteil der Wellenfunktionen formulieren.
Auch wenn ich ein paar Schwierigkeiten mit den Rechnereien habe, kann ich das "große und ganze", was man aussagen möchte, wohl nachvollziehen.
Der erste gemachte Schritt bei meiner Aufgabe ist wohl richtig, weil selbst auf der Aufgabenstellung steht ja, dass man die Wellenfunktion in die Schrödingergleichung einsetzen muss. Und als Ergebnis hiervon habe ich nun eben 8 Terme: . Du hast ja extra auf die Laguerre Polynome verwiesen, aber die helfen mir ja hier auch nicht weiter. Ich habe das Gefühl, dass ich das mit irgendwas vergleichen muss, z.B. mit den Energieniveaus, die ich oben geschrieben habe. So wie man es bei dem Teilchen im unendlich tiefen Potentialtopf machen kann. Also Wellenfunktion einsetzen in SG und Ergebnis sind dann die Energieniveaus. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 27. Aug 2016 15:41 Titel: |
|
|
Du nimmst den Hamilton-Operator des Wasserstoffatomes, wendest ihn auf Deine Wellenfunktion an und wenn es tatsächlich eine Eigenfunktion des Operators ist, dann ist das Ergebnis dieselbe Wellenfunktion mal der zugehörigen Energie (die natürlich nicht mehr von r, theta, phi abhängt).
https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Wavefunction |
|
|
Pepe89
Anmeldungsdatum: 26.08.2016
Beiträge: 4
|
| Pepe89 Verfasst am: 28. Aug 2016 12:17 Titel: |
|
|
ich schreib es mal aus...
 + \frac{1}{r^2sin^2(\theta)} \frac{d^2}{d \varphi}\psi + \frac{1}{r^2sin(\theta)}\frac{d}{d\theta} {(sin(\theta)} \frac{d}{d\theta}\psi)] - \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{e^2}{r} \psi = E_n \psi )
und wenn ich das nun ausrechne steht links das gleiche, wie wenn ich in die rechte Seite "n=2" setze. Also in die Formel für E, die ich in meinem Eröffnungspost geschrieben habe. Es dürfte ja auch egal sein eigentlich, ob ich das Psi auch rauskürze oder nicht, oder es zwischendrin schon mal auflöse. Dann steht halt am Ende:  und nicht  . Weil in den Rechenschritten, die ich aufzeigen werde, ist es schwierig, das Psi "zu halten" (z.B. sin wird zu cos...).
Aufgund der Linearität der Gleichung kann ich mir beim durchrechnen die Normierungskonstanten sparen und setze
e^{i\varphi})
So gilt:
e^{i\varphi} - \frac{r}{2a_0} e^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi} )) + \frac{1}{r^2sin^2(\theta)} \frac{d}{d \varphi} i re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi} + \\ \frac{1}{r^2sin(\theta)}\frac{d}{d\theta} (sin(\theta) re^{-r/2a_0}cos({\theta})e^{i\varphi} )] - \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{e^2}{r} re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi} = E_2 re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi} )
e^{i\varphi} -
<br />
r^2 \frac{1}{2a_0} e^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi}
<br />
- 2 \frac{1}{2a_0} re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi}
<br />
+ r^2 \frac{1}{2a_0} \frac{1}{2a_0}e^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi})
<br />
+\frac{1}{r^2sin^2(\theta)} (- re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi})
<br />
+ \frac{1}{r^2sin(\theta)} (cos(\theta)re^{-r/2a_0}cos({\theta})e^{i\varphi}
<br />
- sin(\theta)re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi}]
<br />
- \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{e^2}{r} re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi} = E_2 re^{-r/2a_0}sin({\theta})e^{i\varphi} )
und jetzt ich rechne einfach weiter und wenn es etwas übersichtlicher geworden ist integriere ich aufgrund der Normierung alle Terme. Also Theta von 0 bis pi. Phi von 0 bis 2pi. und r von 0 bis 1??? und dann steht mein Ergebnis da... |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 28. Aug 2016 12:34 Titel: |
|
|
| Pepe89 hat Folgendes geschrieben: | ich schreib es mal aus...
....
und jetzt ich rechne einfach weiter und wenn es etwas übersichtlicher geworden ist integriere ich aufgrund der Normierung alle Terme. Also Theta von 0 bis pi. Phi von 0 bis 2pi. und r von 0 bis 1??? und dann steht mein Ergebnis da... |
Ich seh in der Schrödingergleichung nirgends ein Integral.. |
|
|
Pepe89
Anmeldungsdatum: 26.08.2016
Beiträge: 4
|
| Pepe89 Verfasst am: 29. Aug 2016 11:58 Titel: |
|
|
aber mein Ansatz von meinem letzten Post ist richtig?
Nur dass r, theta und phi nicht durch Integrale verschwinden, sondern diese addieren und kürzen sich weg.
Klappt zwar bisher nicht, aber ich hab dann eben nur irgendwo Rechenfehler
Mein Ansatz ist bestimmt richtig, da nun nach Beseitigung meiner Rechenfehler folgendes erwartetes Ergebnis dasteht:
Habe nur noch eine Abschlussfrage, nämlich weshalb in meiner Aufgabenstellung die Frage nach mehreren Energien ist?
Vielen Dank für die Bemühungen my dawgs :-) |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
