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Dennga
Anmeldungsdatum: 10.12.2015
Beiträge: 27
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 Dennga Verfasst am: 19. Jul 2016 16:38 Titel: Kugel in einer Parabel |
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Meine Frage:
Hallo Leute,
mich lässt schon wieder eine Sache nicht schlafen und ich krieg sie einfach nicht vernünftig gelöst. Es geht um eine Kugel, oder vielmehr einen Massenpunkt, der sich entlang einer Parabel, nur von der Gewichtskraft beeinflusst, bewegt. Als Koordinatensystem hab ich mir ein 2-dim. gesetzt, mit x und y(x)=x².
An sich dürfte nur die Komponente der Kraft in x-Richtung von Bedeutung sein, da dadurch automatisch die Position in y-Richtung vorgegeben ist.
Es gibt sicherlich auch Lösungsmöglichkeiten, die Energiebetrachtungen berücksichtigen, aber ich wollte es mit der kinematischen Lösung probieren.
Meine Ideen:
Die Kraft in x-Richtung ist abhängig vom Winkel, mit dem die Kugel auf die Parabel trifft. Also müsste schonmal gelten:
 = \frac{\dd y(x)}{\dd x})
Denselben Winkel findet man auch in einem Kräftedreieck zwischen der gesuchten beschleunigenden Kraft  , der Normalkraft und der Gewichtskraft  . Also:
 = \frac{F_{B}}{F_{G}})
Da nur die x-Komponente interessiert gilt weiterhin:
 = \frac{x_{F_{B}} }{F_{B}} )
Wenn man das nach dem Winkel auflöst und einsetzt und umformt folgt:
_{F_{B}} = -\cos(\arctan(\frac{\dd y(x)}{\dd x} ) ) \sin(\arctan(\frac{\dd y(x)}{\dd x} ))\cdot F_{G} = \frac{-y(x)'}{y(x)'²+1} \cdot F_{G})
Als ich mir den Verlauf der Kraft in Abhängigkeit von x mal graphisch hab anzeigen lassen, sah das soweit ganz gut und verständlich aus. Allerdings müsste bei so einer Bewegung am Ende doch eine Oszillation herauskommen, oder nicht? Als ich versucht hab die DGL zu lösen, kam was komisches bei raus. Außerdem krieg ich es meistens nicht hin DGLs zu lösen.
Also wenn jemand weiß, ob das so richtig ist und, falls ja, vllt einen Tipp hat die DGL zu lösen, dem wäre ich dankbar. Und auch, wenn jemand noch andere Lösungsansätze hat. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Jul 2016 18:30 Titel: |
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Was ist denn genau Deine Frage? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 19. Jul 2016 20:46 Titel: Re: Kugel in einer Parabel |
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| Dennga hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings müsste bei so einer Bewegung am Ende doch eine Oszillation herauskommen |
Eine periodische Bewegung liegt durchaus nahe, eine harmonische Schwingung wohl nicht.
Der Bewegung eines Punktes auf einer Parabel im Schwerefeld könnte man vielleicht mit einer Lagrangefunktion ) usw. beschreiben ... Ich würde auch über eine Näherung für kleine Auslenkungen nachdenken. |
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Auwi
Anmeldungsdatum: 20.08.2014
Beiträge: 602
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| Auwi Verfasst am: 19. Jul 2016 21:20 Titel: |
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Ich sehe es so, daß er eine Zeitfunktion (letztlich Schwingung) eines Massepunktes beim hin und her laufen ohne Reibung in der Parabel herleiten möchte.
Die wird natürlich von den Anfangsbedingungen abhängen.
Dazu würde es reichen, die Zeit aus der Starthöhe bis zum Tiefpunkt zu berechnen. T wäre dann das 4 fache dieser Zeit. Sowas analoges habe ich schon mal für eine Kugel in einer Kugelschale durchgerechnet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 19. Jul 2016 21:40 Titel: |
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Ich halte es mit Franz.
Zunächst ist die Lagrangefunktion durch
)
gegeben. Dabei bezeichnet r den Ortsvektor
)
und V(r) kann im Schwerefeld durch
 = V(y) = mgy)
ersetzt werden.
Die Bedingung, dass sich der Massenpunkt auf einer zunächst beliebigen Bahnkurve y = f(x) bzw. speziell auf ein Parabel bewegt, kann durch eine Zwangsbedingung
 = y - x^2 = 0)
implementiert werden.
Die um die Zwangsbedingung erweiterte Lagrangefunktion mit Lagrangemultiplikator lambda lautet nach Einsetzen
 - mgy + \lambda \, (y - x^2))
Die Bewegungsgleichungen für x,y,lambda folgen wie üblich als Euler-Lagrange-Gleichungen. Die Gleichung für den Lagrangemultiplikator lambda reproduziert dabei die Zwangsbedingung C. |
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Dennga
Anmeldungsdatum: 10.12.2015
Beiträge: 27
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| Dennga Verfasst am: 21. Jul 2016 11:03 Titel: |
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Erstmal danke für die Arbeit. Dann ist es wohl doch sinnvoller das mit der Lagrangefunktion herzuleiten. Allerdings kenn ich mich damit nicht so gut aus, und wie ich da die Bewegungsgleichungen rausbekomme, weiß ich schon gar nicht. Wäre gut, wenn Sie vllt einen Link hätten, wo das näher beschrieben wird oder, wenn Sie Zeit und Lust haben, es selber kurz erklären könnten. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 21. Jul 2016 14:53 Titel: |
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Die Bewegungsgleichungen erhält man als Euler-Lagrange-Gleichungen wie folgt:
q steht für x,y und lambda, d.h. man erhält zunächst drei Gleichungen.
Dann ist L* unabhängig von t, t ist zyklisch, d.h. es existiert eine erhaltene Energie E mit dE/dt = 0.
Zuletzt enthält L* keine Zeitableitung von lambda; damit wird der Constraint C reproduziert. Außerdem muss damit aus Konsistenzgründen auch dC/dt = 0 gelten. Generell muss man auch weitere Konsistenzbedingungen d²C/dt² = 0 usw. gelten.
Ich würde unter Stichpunkten "Lagrange" und "Zwangsbedingungen" mal nach einem Skript googeln. Falls noch keinerlei Kenntnisse bzgl. Lagrangeformalismus vorliegen ist dieser Fall mit Zwangsbedingungen ein schwieriger Startpunkt. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 21. Jul 2016 16:34 Titel: |
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Ich verstehe deine abgeleitete Gleichung nicht.
Bist du einverstanden mit
I:
II:
aus I:
=G²)
aus II:
=F_{B}² )
alles kombiniert
 (1+\frac{1}{y'²})=G² )
 (1+\frac{1}{y'²})}})
die wurzel erlaub 2 Vorzeichen
für x>0 ax<0 für x<0 ax>0
Parabel ohne urpsrungsverschiebung
y=c*x²
y'=2cx
=\frac {g} {\sqrt { 2+4c²x²+\frac{1}{4c²x²}}})
Ermittlung von vx:
==============
Wolfram kann das noch analytisch lösen
danch müsstest du rechnen
})
was nachdem ich die komplizierte Formel für vx gesehen habe, wohl nicht mehr analytisch lösbar ist,
kannsd ja numerisch lösen. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Jul 2016 10:24 Titel: |
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Vielleicht kommt man (über L II und Energie) wenigstens zu qualitativen Aussagen? 
\overset ! = \frac a 2 x^2{,}\ \left(1+a^2x^2\right)\ddot x+a^2x\dot x^2+agy=0{,}\ t=\int\sqrt{\frac{1+ax^2}{\frac{2E}{m}-agx^2}}\ dx)
Wolfram bietet dazu eine Reihenentwicklung t = Ax + Bx³ + ... |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 22. Jul 2016 12:04 Titel: |
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Nachtrag, ich habe übersehen das sein Ergebnis gleichwertig ist
entspricht
 (y'²+1)}}=\frac {g*y'} { 1+y'²})
bei positiver Steigung muß die Beschleunigungs nach links gehen also
Nun erhalte ich
mit 
Stammfunktion:
 )
 + \frac {g} {4c} ln (1)=0.5 vx² -0.5 v_{0}² )
+v_{0}²} )
v0 die Geschwindigkeit im untersten Punkt eben bei x=0, diese Geschwindigkeit können wir errechnen mit
+v_{x}²} )
sei xstart und vstart gegeben dann gilt
+v_{start}²)
+\frac {g} {2c} ln (4 c²x_{start}²+1)+v_{start}²} )
oder
Term 2 und 3 sind Konstanten
+k_{1}+k_{2}} )
+k_{1}+k_{2}}})
und spätestens hier gehts nur numerisch weiter.
Ich bekomme aber auch eine Taylor Reihe für Entwicklungspunkt x=0 für die Formel von vx
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 22. Jul 2016 12:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Jul 2016 12:32 Titel: |
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Danke, daß Du das nochmal angesehen hast!
Statt t(x) oder x(t) wäre ja schon (bescheidener Wunsch) die näherungsweise Schwingungsdauer von Interesse. Ob es einen harmonischen Grenzfall gibt?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 23. Jul 2016 10:44 Titel: |
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Ich war zu faul, meine Rechnungen hier einzustellen. Evtl. hol' ich das noch nach.
Das von Franz angegeben Integral sieht sinnvoll aus.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 25. Jul 2016 23:54 Titel: |
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Auch wenn's evtl. nicht mehr relevant ist, hier meine Rechnung.
Die um den Constraint C erweiterte Lagrangefunktion L* lautet
 - mgy + \lambda \, \left(x - \frac{x^2}{2a}\right))
Die Euler-Lagrange- einschließlich der Constraint-Gleichung sowie deren Zeitableitung lauten
Man erhält die erhaltene Energie aus der Hamiltonfunktion für C = 0
 + mgy = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + mgy = \text{const.})
Man beweist z.B. mittels Differentation dass E erhalten ist:
 + mg\dot{y})
Man setzt aus den o.g. Bewegungsgleichungen ein und eliminiert so die zweiten Zeitableitungen. Daraus folgt
Für eine Bewegung aus der Ruhelage x_0 gilt
Man erhält also aus dem Energiesatz die bekannte DGL erster Ordnung. Diese löst man mittels Trennung der Variablen
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 28. Jul 2016 00:59 Titel: |
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lol 
genau den gleichen Fehler den ich im Thread
Beschleunigung - Wann verliert Rolle den Kontakt? (da gings auch um eine Parabel) den anderen ausgebessert habe, habe ich hier von Dennga blind übernommen.
Es gilt überhaupt nicht
I:
FB die beschleunigende Kraft der tangentiale Teil der Gewichtskraft.
das ist Quatsch
Die beschleunigende Kraft ist der tangentiale Teil der Gewichtskraft plus die radiale Zentripetalkraft deren größe von der momentanen Geschwindigkeit und den Krümmungsradius abhängt.
damit ist meine ganze Rechnung Mist.
die Rechnung von TomS stimmt,
über die Beschleunigungen funktioniert es nicht da die Geschwindigkeit mit drin hängt.
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WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 28. Jul 2016 07:11 Titel: |
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Dieses ganze Gebastel mit Zwangskräften kann unübersichtlich werden.
Der vernünftige Ansatz ist, alle Zwangsbedingungen in eine erweiterte Lagrangefunktion aufzunehmen und daraus alle Bewegungsgleichungen inklusive der Zwangskräfte abzuleiten.
Letztlich ist das nichts Neues, nur eben übersichtlicher. Außerdem kann man teilweise durch neue, generalisierte Koordinaten die Zwangsbedingungen in der
Lagrangefunktion direkt vereinfachen, was mit Zwangskräften so direkt nicht funktioniert. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 28. Jul 2016 10:47 Titel: |
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| Zitat: | | Der vernünftige Ansatz ist, alle Zwangsbedingungen in eine erweiterte Lagrangefunktion aufzunehmen und daraus alle Bewegungsgleichungen inklusive der Zwangskräfte abzuleiten. |
naja wenn er über die Beschleunigung gehen will dann nicht über ax sondern über die bekannte tangentiale Beschleunigung,
die verändert ja vt, der radiale anteil lenkt nur um
=G² )
mit g als positiven Zahlenwert
 ->  -> 
)
+v_{t0}²})
Das ist natürlich auch der Energiesatz /m ohne Lagrange
aber am schnellsten gehts hier sicher gleich über die Energie um zu vx zu gelangen,
direkt über ax finde ich keinen weg
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