Elektron im gekreuzten Feld

Batmangirl · Anmeldungsdatum: 25.03.2016 Beiträge: 22

Meine Frage:
Hallihallo,
mein Problem ist wieder mal eine Aufgabe aus dem Halliday. ich habe jetzt die Suchfunktion zig Begriffe von "Elektron im Magnetfeld" über "gekreuzte Felder" suchen lassen und nicht hilfreiches gefunden, also hoffe ich, dass ich nichts übersehen habe. Zuallererst die Aufgabe:
Ein Elektron bewegt sich mit der Anfangsgeschwindigkeit (12ey + 15ez)km/s und einer konstanten Beschleunigung (2 * 10^12 m/s)ex in einem Raumbereich, in dem ein elek. Feld und ein Magnetfeld einander überlagert sind. Das Magnetfeld sei gegeben durch B=(400mF)ex; bestimmen sie das elektrische Feld.

Ich hoffe mir kann jemand bei der Vollendung meiner bisherigen Überlegungen behilflich sein.
LG

Meine Ideen:
wie im Halliday so üblich gibt dieser einem nur stumpf die Lösungswerte an, welche lauten: (-11,4ex -6ey + 4,8ez)V/m
Ich bin schon recht nahe an diese Lösung gelangt, indem ich die Formel für die Lorentzkraft benutzt habe:

Dort habe ich zunächst einmal das Kreuzprodukt aus Geschwindigkeit und B-Feld berechnet und kam bereits auf (0ex + 6ey - 4,8ez). Wenn auch mit verdrehten Vorzeichen, so doch zumindest die richtigen Zahlenwerte.
So nun dachte ich, dass es möglich wäre q durch die umgestellte Formel von

zu ersetzen und nach E umzuformen, sodass sich ergeben würde:

Nun sitze ich da mit den beiden Kräften

. In meinen Überlegungen fehlt bisher die Beschleunigung, von der ich ausgehe, dass sie durch die Llorentzkraft bzw durch das elek. Feld auf das Elektron wirkt. Doch nun stehe ich auf dem Schlauch und kann meine Überlegungen nicht zu Ende führen. Ich hoffe, dass mir jemand einen Denkanstoß geben kann, wie ich das ganze zuende führe, denn ich dneke ich bin auf keinem allzu schlechten Weg (?).

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Hallo Batmangirl,

die "vollständigere" Version der Lorentzkraft lautet

Rechne mal damit smile

Am besten schreibst du die Beschleunigung und die Geschwindigkeiten als Ableitungen des Ortes nach der Zeit.

Batmangirl · Anmeldungsdatum: 25.03.2016 Beiträge: 22

Leider ist der Knoten bei mir noch nicht geplatzt, selbst wenn ich diese Formel verwende, habe ich

auf der rechten Seite meiner Gleichung und weiß nicht wohin damit. Meine Idee war zunächst F=m*a zu verwenden und als Masse die des Elektrons einzusetzen, aber irgendwie bin ich damit auf keinen korrekten Zahlenwert gekommen.
Und was bringt es mir wenn ich

schreibe?
Ich steh leider nach wie vor auf dem Schlauch unglücklich

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Deine Idee mit dem F = ma ist schon richtig. Hattet ihr schon Differentialgleichungen?

Dein Ort wird durch

beschrieben. Dein B-Feld ist angegeben als

Da ist bei dir übrigens noch die Einheit mF komisch, da steht bestimmt was anderes in der Aufgabe?
Gesucht ist

Durch die Lorentkraft darfst du schreiben

Das sind alles Vektoren, also sind das einfach drei Gleichungen, eine für x, eine für y und eine für z. Du erhältst

Diese Differentialgleichungen muss man jetzt lösen. Weißt du, wie man das Kreuzprodukt ausrechnet? Bevor ich weiter Dinge erzähle: Hast du Differentialgleichungen schon einmal gesehen? Weißt du prinzipiell, wie man an so etwas herangeht? smile

Batmangirl · Anmeldungsdatum: 25.03.2016 Beiträge: 22

Oh, ja da habe ich mich beim abschreiben vertippt, es ist selbstverständlich mT, Farad wäre ja die Einheit der Kapazität.

Und ja ich weiß eigentlich wie man Kreuzprodukt berechnet (habe ich ja auch schon getan für v x B) und auch wie man die gängigsten DGL's löst, aber hier werde ich dennoch nicht schlau daraus.
Wenn ich das Kreuzprodukt aus

und B bilde, dann kommt da bei mir ein ganz wilder Vektor raus und nicht sowas schönes wie in den drei Gleichungen?
Ich berechne das Kreuzprodukt nach der allgemeinen Formel:

und soweit ich weiß gibt es da auch keine andere Methode?

Aber selbst nach dem Kreuzprodukt wüsste ich in diesem Beispiel nicht mehr weiter. Ich kann eine DGL 2. Ordnung lösen (homogen und inhomogen), aber diese haben ja allgemein die Formel

für homogene DGL's.
Diese Form kann ich jetzt nur zu teilen in den Gleichungen erkennen grübelnd

also allgemein sind die Grundlagen glaube ich schon da, aber ihre Anwendung scheitert hier ganz gewaltig...

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Eins nach dem anderen. Ich finde, dass du eigentlich ganz gut auf dem Weg bist mit der Aufgabe. Dein Kreuzprodukt ist richtig aufgeschrieben. Du musst nur berücksichtigen, dass dein Vektor B nur eine Komponente hat, nämlich Bx, dann sind die bei dir mit b2 und b3 benannten Elemente null. Siehst du das auch? Ansonsten kannst du den "wilden Vektor" ja mal hinschreiben, den du herausbekommen hast ^^

Wie gesagt, wenn du alles ausrechnest, kommst du auf Terme wie in meinem vorherigen Post beschrieben. Als nächstes muss man die gemischten Terme in den Zeilen beseitigen, denn du willst ja eine DGL mit y'' und y' ohne irgendwelche x' usw. Es ist schon spät und ich würde morgen nochmal schreiben, wenn das okay ist. Bis dahin kannst du ja schauen, wie weit du kommst mit den Hilfen. Wie gesagt, dein Kreuzprodukt ist richtig und du bist schon auf dem richtigen Weg. Auch mit deiner Aussage über DGLs liegst du richtig, man kann schon "zu Teilen" erkennen, dass da irgendwas Lösbares herauskommen wird. Man muss eben noch umformen. Die Zeile mit x'' zum Beispiel ist schon direkt durch Integration lösbar.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Entschuldigung, wenn ich als stiller Mitleser hier reinschnattere!
Darf man das so verstehen:

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Tja, mir schwebte sofort etwas wie eine sich dehnende Spirale vor ... smile

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Batmangirl · Anmeldungsdatum: 25.03.2016 Beiträge: 22

Ja, das ^2 bei der Beschleunigung ist natürlich ein weiterer Tippfehler, ich sollte das mit dem abtippen wohl nochmal üben... Hammer

Und ich habe beim Aufstellen des Vektors tatsächlich aus dem Blick verloren, dass der Vektor des Magnetfeldes ja nur eine Komponente hat. Ich bin jetzt auch auf das richtige Ergebnis gekommen.

Ich kenne die Spiralbewegung eines Elektrons in einem homogenen E-Feld, aber keine spezielle Formel dazu, wir haben in so einem Zusammenhang nur die Geschwindigkeit in ihre parallele und senkrechte Komponente unterteilt, mehr weiß ich darüber also nicht grübelnd

Zu der ersten DGL:
Ich habe sie versucht auf eine mir bekannte Form zu bringen, aber bin etwas verunsichert, ob man

so schreiben kann?
Ich kenne DGL's z.B. so

Und forme sie dann um zu folgendem, um sie anschließend zu integrieren

Das habe ich nun hier versucht:

ist das nun überhaupt der richtige Ausgangspunkt?
Aber keiner der Variablen auf der rechten Seite ist doch von x oder t abhängig? Sollte ich statt x besser r schreiben? Ich weiß schon wieder nicht weiter...sehr frustrierende Aufgabe unglücklich

Bei den anderen beiden bin ich weiterhin etwas überfragt..

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ja, tut mir Leid, dass es sich grade so in die Länge zieht. Wieder ist dein Ansatz komplett richtig, schau mal:

Integrieren liefert (du hast nur Konstanten auf der rechten Seite)

und nochmal Integrieren

Außerdem siehst du, dass deine Beschleunigung konstant in x-Richtung gehen soll, also ist

und daher weißt du Ex aus deiner Startangabe für die Beschleunigung. Außerdem ist die Beschleunigung konstant, was konsistent mit deiner Startangabe ist.

Bei den zwei anderen Gleichungen leitest du die Zeilen mit

und

nochmal ab und setzt das in die jeweils andere Zeile ein und du erhältst

Am besten löst man jetzt die Gleichungen für vy und vz, dann verschwindet eine zeitliche Ableitung und ich erhalte erstmal

Durch Ableiten erhältst du dann die Beschleunigungen. Die Werte für jeweils c1 und c2 erhältst du aus den Anfangsbedingungen.

Batmangirl · Anmeldungsdatum: 25.03.2016 Beiträge: 22

Oh man, ich hätte wirklich nicht gedacht, was die Aufgabe so alles hinter sich herzieht, da wäre ich im Leben nicht selbst drauf gekommen.
Also vielen Dank für die sehr ausführliche und geduldige Erklärung. Ich werde mir das ganze nochmal sehr ausgiebig durch den Kopf gehen lassen.
Ich glaube zwar nicht, dass ich das auf dem simplen Physiklevel, auf dem ich agiere, jemals brauchen werde, aber man lernt ja auch für sich selbst. Thumbs up!

Damit ein herzliches Dankeschön Prost