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Beschleunigung - Wann verliert Rolle den Kontakt?
 
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muckimo



Anmeldungsdatum: 04.02.2016
Beiträge: 17

Beitrag muckimo Verfasst am: 17. Jul 2016 13:38    Titel: Beschleunigung - Wann verliert Rolle den Kontakt? Antworten mit Zitat

Hallo Forum,

Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Ein Balken ist an einem Ende an einem festen Lager (der Balken kann sich um das Lager drehen) fixiert und am freien Ende hat es eine Rolle.
Eine Kontur mit einem parabelförmigen Verlauf (s. Anhang) bewegt sich nun auf die Rolle resp. den Balken zu.
Ich möchte nun wissen, ob die Rolle mitsamt Balken von der Kontur abhebt wenn ich eine bestimmte Beschleunigung auf die Kontur einpräge.

Auf analytischem Wege hätte ich nun folgendes gemacht:

1) Ich hätte die Strecke y, (y ist eine Funktion von x bzw der Zeit, somit habe ich diese Kontur erhalten) zweimal nach der Zeit abgeleitet und einen Beschleunigungsverlauf bekommen.

2) Der neue Verlauf wird über die Kontur gelegt und überall dort, wo die neue Kontur (Beschleunigungskontur) über der alten liegt, hat der Balken/Rolle den Kontakt zur alten Kontur verloren.. stimmt das so?

Mit FE-Berechnung:
1) siehe oben
2) Ein Beschleunigungswert wird entsprechend der Beschleunigungskontur auf die alte Kontur eingeprägt

Das ganze möchte ich mit einem Balken dessen Ende an einem Drehllager, sowie an einem festen Lager verbunden ist analysieren.
Es würde mir auch reichen, wenn mir jemand eine Beispielaufgabe aus der Literatur zu diesem Problem geben könnte?


Vielen Dank!



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Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 18. Jul 2016 14:29    Titel: Antworten mit Zitat

Komponente der Erdbeschleunigung, die normal auf der Tangente an dem Kontaktpunkt Rolle/Parabel wirkt



Mit = Winkel der Tangente





Die an diesem Punkt entgegengesetzte Beschleunigung durch die Bewegung der Parabel



Bedingung Kontaktverlust







muckimo



Anmeldungsdatum: 04.02.2016
Beiträge: 17

Beitrag muckimo Verfasst am: 18. Jul 2016 17:16    Titel: Antworten mit Zitat

Danke Mathefix, ich werde es mir genauer ansehen! Thumbs up!
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 18. Jul 2016 19:21    Titel: Antworten mit Zitat

muckimo hat Folgendes geschrieben:
Danke Mathefix, ich werde es mir genauer ansehen! Thumbs up!


Ein Beispiel, damit es kein Mißverständnis gibt:

Die Kontur der Parabel sei



dann ist



Die Parabel werde in der Zeit t von auf beschleunigt:



Die Rolle hebt an der Stelle x ab, für die gilt

VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 21. Jul 2016 21:50    Titel: Antworten mit Zitat

wie willsd du das ohne entsprechende variabel der Hebellänge und rollrenradius berechnen.

selbst wenn man das weglässt frage ich mich wo der Anteil der Geschwindigkeitsumlenkung bleibt.

wechsle doch einfach in das beschleunigte Bezugssystem der Parabel hier ruht die Parabel und die Rolle bewegt sich auf der Parabel entlang, hier hast du die Gewichtskraft, dann eine weitere Trägheitskraft gegen die Parabelbeschleunigung in x Richtung, also ne Art neue Gewichtskraft.
Die Rolle wird durch diese neue Gewichtskraft beschleunigen und sich auf der Parabel mit Geschwindigkeit bewegen, dennoch wird eine Zentripetalkraft zur umlenkung der vorhanden Geschwindigkeit benötigt.

da muß es doch einen Geschwindigkeitsterm geben
muckimo



Anmeldungsdatum: 04.02.2016
Beiträge: 17

Beitrag muckimo Verfasst am: 23. Jul 2016 16:58    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo, Danke für die rege Beteiligung in meinem Thread.
Theoretisch kann ich es mir einfach machen: Mein Betreuer meint, dass ich die Kontur zweimal nach der Zeit ableiten kann um die Beschleunigung zu erhalten. Somit habe ich ein Beschleunigungsprofil, welches ich zusammen mit einem Beschleunigungsbetrag in ein FE-Programm einpflegen kann und somit feststellen kann ob die Rolle abhebt von der Kontur oder nicht.

Ich soll das allerdings auch auf analytischen Wege machen..
In der Tat ist eigentlich so, dass die Kontur fix ist und die Rolle mitsamt Balken über die Kontur gleiten soll.

Das Problem bei der Ableitung der Kontur ist, dass sich in ihrer Funktion kein "t" für die Zeit wieder findet..somit kann ich die Funktion der Kontur nicht nach der Zeit ableiten. Die Funktion bestimmt mir nur die Breite und Höhe der Kontur. Ich weiß allerdings, dass die Strecke bspw x = 8 mm lang ist und die Höhe der Kontur 4 mm beträgt.
Die Abmessungen sind also alle gegeben (für Balken + Rolle + Kontur) zudem auch noch die Zeit, bis wann die Rolle vom Fuße der Kontur bis zur oberen Position angelangt ist und wie groß diese Strecke ist.

Ich weiß nur nicht, wie ich nun die Funktion nach der Zeit ableiten kann da ja kein "t" vorkommt..oder reicht nicht schon eine Zeitableitung nach dem Ort? Also dass ich die Funktion nach x ableite und somit ja ein bekomme was eine Zeitableitung darstellt..?



Grüße mucki

Edit:
Ok, Mathefix hat auch eine Kontur nach dem Ort abgeleitet und dann den Beschleunigungsterm separat beaufschlagt wie ich richtig sehe..

Edit 2:
@Mathefix: Wie ich sehe, hast Du im Prinzip ja eigentlich nur gesagt, dass die Erdbeschleunigung dividiert durch die zweite (Orts-)Ableitung der Kontur kleiner sein muss als die Beschleunigung, habe ich das richtig verstanden?
Was allerdings leider doch zu Missverständnissen führt ist die Tatsache, dass Du im Eingangspost die Sache mit dem Winkel ins Spiel gebracht hast, im Beispiel aber nichts mehr davon erwähnst, obwohl sich das Beispiel auch auf die Kontur und Rolle beziehen soll ;-)
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 23. Jul 2016 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

!!Ich habe diese Antwort überarbeitet, denn ich hatte deine Parabel falsch gelegt sodass der Scheitel bei der rolle liegt, habe es jetzt geändert!!

Okay wenn du die Verdrehungen weglassen kannsd dann würde ich folgendes für das Verständnis vorschlagen.

Die Rolle sei ein Massepunkt der sich über die Parabel hinwegbewegt.

auf die Rolle wirken drei Kräfte, die Normalkraft von der Unterlage, die Gewichtskraft und eine horizontale Kraft von der Stütze, die die rolle über die Parabel treibt.

x sei die horizontale Achse, y nach oben positiv,

der Koordinatenursprung sei in deiner Zeichnung der y und x schnittpunkt , wo sich der Scheitel darüber befindet

Die Parabelfunktion wäre dann



y0 der vertikale Abstand vom Ursprung zum Scheitel bei x=0

in x Richtung ist die Geschwindigkeit und der Weg ja mit der definierten konstanten beschleunigung der Rolle vorgeschrieben .

Diese nennen wir ax.
den Startpunkt der Rolle in x Richtung nenne ich xstart und der wäre dann negativ nach deiner skizze

das heißt



und y wäre dann



so weit nachvollziehbar?

wie wäre dann die Beschleunigung in y?

irgendwann wird die tangential Geschwindigkeit so groß das die Zentripetalbeschleunigung auf den Krümmungsradius einen Anteil in y bekommt der g übersteigt und das ist der Punkt an dem auch FN null wird , weil Fn ja immer einen y Anteil hat der nach oben wirkt und der dann null sein muß das die Gewichtskraft voll wirken kann.

die Rolle hebt ab wenn



dabei ist g mit Vorzeichen einzusetzen und zwar mit minus Wert weil y nach oben positiv und g wirkt nach unten

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muckimo



Anmeldungsdatum: 04.02.2016
Beiträge: 17

Beitrag muckimo Verfasst am: 24. Jul 2016 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

Hi, soweit komme ich mit, Danke!

Die Beschleunigung wäre bei deiner Funktion demnach:



Meine Parabel ist jetzt keine Funktion, die einer normalen Parabel entspricht.

Meine Funktion lautet:



Der parabolische Verlauf kommt Zustande, da mein x eine Laufvariable darstellt:



ist die Breite der Strecke und x(i) zählt von 0 bis zum Betrag von .

leite ich meine Formeln ab, erhalte ich:





Mit der Beschleunigung
erhalte ich dann für die Beschleunigung in y-Richtung:



Hier sind b und c Konstanten


Jetzt kann ich sagen: Zu dem Zeitpunkt, an dem gilt:

hebt die Rolle ab.

Ich würde auch gerne neben dem Zeitpunkt, den Ort wissen, wann die Rolle aufgrund der Beschleunigung (in x-Richtung und somit auch in y-Richtung) abheben würde..
Würde dann Mathefix´sein Lösungsvorschlag stimmen, indem man die Ortsableitungen macht? grübelnd
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 24. Jul 2016 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

ich erhalte für meine Gleichung









mit











Zitat:

Meine Funktion lautet:




das wäre äquivalent



und das wäre eine Geradengleichung -> Parabel?

ich hoffe doch das du deine Gleichung der Kontur selber aufstellen kannsd und differenzieren kannsd.

Zitat:
Würde dann Mathefix´sein Lösungsvorschlag stimmen, indem man die Ortsableitungen macht?


du siehst doch seine Bedingung für das Loslösen ganz anders ist.

ehrlich gesagt verstehe ich nicht wie er auf das kommt..

zeichne doch einfach die 3 Kräfte auf einen Punkt auf der Parabel kontur und dann betrachte welche Kräfte könne die y Beschleunigung bewerkstelligen.

Auf deiner einen Seite G die Gewichtskraft (wirkt nach unten) auf der anderen Seite die y Komponente der Kraft FN wirkt nach oben.

solange FN einen y Anteil hat ist die Normalkraft aber nicht null und somit drückt die Rolle auf die unterlage.

-G+FNy=m*ay wenn ay=g dann muß klarerweise FNy =0 sein wenn es jetzt noch größer wird als g verlässt die rolle die bahn denn die Gravitationskraft kann die Bahngeschwindigkeit nicht mehr umlenken, das erfordert zuviel Zentripetalbeschleunigung in y Richtung. die stützenkraft leistet den x Anteil die kann theoretisch alles aufbringen was notwendig ist die gewichtskraft ist begrenzt in y Fn müsstze ihr helfen und nach unten wirken, tut aber die Auflage nicht. sie wehrt sich nur gegen eindringen aber nicht gegen abhauen

da wir nach unten negative Zahlenwerte für ay erhalten ist die Bedingung



g wirkt auch nach unten und ist daher mit minus einzusetzen

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muckimo



Anmeldungsdatum: 04.02.2016
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Beitrag muckimo Verfasst am: 25. Jul 2016 00:55    Titel: Antworten mit Zitat

Nabend, na klar! Ich hab die Kettenregel in deiner Funktion total übersehen! Schläfer

Meine Funktion muss Konstruktionsbedingt eine Parabel sein. Das wird dadurch erreicht, dass ich eine Laufvariable innerhalb der Wurzel habe. Wäre mein x außerhalb, bekomme ich durch dir Laufvariable auch eine Gerade.
Du kannst den Unterschied schön in der PDF in der Mitte in den Graphen (Excel geht leider nicht) sehen.
Die Laufvariablen sind bei der Parabel:

Bei der Gerade eben ohne Quadrat.
Durch das Quadrat unter der Wurzel kommt anscheinend diese parabelförmige Kontur zustande..

So oder so ziehe ich beim Differenzieren das "x" aus der Wurzel raus und erhalte dann somit meine Ableitungen, die stimmen müssten.

Das mit der Erläuterung mit den Kräften macht natürlich Sinn!
Vielen Dank für die Mühe!



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Huggy



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Beitrag Huggy Verfasst am: 25. Jul 2016 10:26    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:
x sei die horizontale Achse, y nach oben positiv,

der Koordinatenursprung sei in deiner Zeichnung der y und x schnittpunkt , wo sich der Scheitel darüber befindet

Die Parabelfunktion wäre dann



Wieso denn das? Das ergibt mit und die blaue Kurve. Die von muckimo gezeichnete Kurve gleicht der grünen mit der Funktionsgleichung




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VeryApe



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Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 25. Jul 2016 13:39    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Wieso denn das?


Bezugnehmend auf seine Zeichnung im ersten Post

rot von mir zugefügte Größen

xstart sei negativ
y0 sei positiv

was er mit den Vektor nach links und der Bezeichnung y'' ausdrücken will verstehe ich nicht, ich habe angenommen es handelt sich um einen Fehler und er meint das ist die x Beschleunigung der Parabelkontur.

welche Kontur bei ihm vorliegt, wird er hoffentlich selber wissen, und will ich auch nicht erraten.



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Beschleunigung auf Kontur.gif



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muckimo



Anmeldungsdatum: 04.02.2016
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Beitrag muckimo Verfasst am: 25. Jul 2016 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
was er mit den Vektor nach links und der Bezeichnung y'' ausdrücken will verstehe ich nicht, ich habe angenommen es handelt sich um einen Fehler und er meint das ist die x Beschleunigung der Parabelkontur.


Richtig! Es sollte natürlich x´´ bedeuten und die Beschleunigung in horizontaler Richtung angeben. Die Beschleunigung in vertikaler Richtung ergibt sich dann ja aus der x-Beschleunigung..

Edit1: Ich kann also in mein FE-Programm mit (also zeitabhängig, am Anfang aufgrund der größeren Steigung ist die Beschleunigung am Größten, dann abfallend) an der Stelle an der ich fälschlicherweise y´´ eingezeichnet habe beaufschlagen und erhalte eine Beschleunigung an der Rolle, wie wir sie jetzt aufgestellt haben, stimmts?

Edit1:
Wie würde sich das System ändern, wenn ich statt einem drehbaren Lager nun eine fest eingespanntes Lager habe? Ich hätte dann einen Balken, der schwingen kann der ersatzweise als Feder betrachtet werden kann. Somit habe ich unter Vernachlässigung von "g" statt eine Gewichtskraft eine Federkraft, die die Rolle nach unten drückt.
Diese ist winkelabhängig und die Bilanzgleichung lautet dann:

-Ff_y+N=ma

mit Ff = k*y*cos(alpha)
und da wir ja jetzt Kräfte haben, muss noch eine Beschleunigungskraft statt nur ein Beschleunigungsterm dastehen (ich würde gerne die Massen aus dem Spiel lassen, aber das geht wohl nicht?).

Danke!
Und Grüße
Mucki Rock
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 25. Jul 2016 20:22    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
also zeitabhängig, am Anfang aufgrund der größeren Steigung ist die Beschleunigung am Größten, dann abfallend



die y Beschleunigung hat nicht direkt mit der Steigung der Kurve zu tun.

du kannsd nicht mit ax über die Steigung der Kurve ay ausrechnen.

das funktioniert nur wenn die tangentiale Geschwindigkeit null ist.

ist sie größer null, muß die Geschwindigkeit umgelenkt werden, und die Umlenkung bedarf eine radial Beschleunigung - hängt von Krümmungsradius ab ,also von der Steigung der Steigung und der momentanen Geschwindigkeit.

ganz anders ist es bei der Geschwindigkeit.

hier kannsd du mit vx über die Steigung auf vy schliessen, denn die Geschwindigkeit muß immer tangential liegen.

die Resultierende Beschleunigung muß nicht tangential liegen, wie gesagt ein Teil davon wird zur Umlenkung radial gebraucht.

Zitat:
Wie würde sich das System ändern, wenn ich statt einem drehbaren Lager nun eine fest eingespanntes Lager habe?


Ich hoffe doch, daß dir bewusst ist das du mit meinen Gleichungen kein drehbares Lager berechnet hast.

sondern es wäre ein Lager bei dem sich die Rolle in y frei verschieben kann und in x blockiert ist, also die rolle mit der Beschleunigung des Lagers beschleunigt. oder eben die Parabel beschleunigt und das Lager und somit die Rolle ist fix in x, ist egal, aufjedenfall ist die Rolle gegenüber den lager in x fixiert. in y frei beweglich.

Willsd du ein drehbares Lager mußt du verdrehungen berücksichtigen. wenn es sich nach oben verdreht kann in x zuzätzlich beschleunigt werden. also die Beschleunigung der Rolle wird hier nicht ax sein sondern um die Verdrehung plus minus variieren abhängig auf welche Höhe y es sich verdreht.


Deine Frage kann ich nicht beantworten, weil ich keine Skizze habe und ich nicht raten will, wie der Aufbau wäre

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muckimo



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Beitrag muckimo Verfasst am: 25. Jul 2016 22:56    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
die y Beschleunigung hat nicht direkt mit der Steigung der Kurve zu tun.

du kannsd nicht mit ax über die Steigung der Kurve ay ausrechnen.


Sry das meinte ich in erster Linie gar nicht..Ich hatte da eher die Geschwindigkeits-/Beschleunigungs- und Weg-Kurven im Sinn. Sprich in welche Richtung sie gekrümmt sind etc.

Zitat:
die Resultierende Beschleunigung muß nicht tangential liegen, wie gesagt ein Teil davon wird zur Umlenkung radial gebraucht.


Stimmt, man könnte sich ein Jo-Jo an einer Schnur vorstellen oder? Wenn das Jojo auf dem Boden rollt und man an der Schnur zieht, gibt es eine tangentiale Geschwindigkeit, aber eine Beschleunigung, die der Schnur folgt (und im Schnittbild vom Jojo z.B. auch durch die Rolle wirken kann wenn man plötzlich die Richtung wechselt). Vielleicht hinkt der Vergleich ja ein bisschen..

Zitat:
sondern es wäre ein Lager bei dem sich die Rolle in y frei verschieben kann und in x blockiert ist, also die rolle mit der Beschleunigung des Lagers beschleunigt. oder eben die Parabel beschleunigt und das Lager und somit die Rolle ist fix in x, ist egal, aufjedenfall ist die Rolle gegenüber den lager in x fixiert. in y frei beweglich.


Das ist genau das was ich meinte. Die Rolle mitsamt dein freien Ende des Balkens können in y verschoben werden. Der Balken würde sich halt nur um die freie Lagerstelle drehen aber keine Kräfte verursachen.

Habe ich hingegen das eine Ende am freien Lager fest verspannt, drückt der Balken die Rolle immer auf die Kontur.
Siehe Anhang:

Der Balken ist an einem Ende in alle Raumrichtungen gesperrt und die Kontur wird mit x** in Richtung der Rolle beschleunigt.



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