Umrechnung von Polarkoordianten für Linienintegral

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Meine Frage:
Hallo ich habe die Aufgabe die ich im Bild angehängt habe :

Meine Ideen:
Ich habe bereits mit

nachgerechnet das sich dieses Integral so schreiben lässt .
bleibt noch dieses Integral zu lösen .

Ich weiß dass ich hier Umparametrisieren muss , sodass f(x,y) steht als f(phi) . jedoch wie macht man dass kann man einfach für x= r(phi)*cos(phi) und y= r(phi)*sin(phi) einsetzen ?

Bzw . wie schaut dann das Integral aus ?
Danke !

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Ein bild der Aufgabe .

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18058

Nun, wie angegeben lautet die Parametrisierung der Kurve C

Für das Linienintegral gilt dann

Die Ableitung des Ortsvektors nach phi hatten wir schon mal im anderen Thread. Beachte, dass sowohl r als auch der radiale Einheitsvektor phi-abhängig sind.

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Hallo , so sieht mein Rechenweg aus für diese allgemeine Überprüfung :

Ich habe ort nur ein wneig gekürzt ausgeklammert und benutzt dass cos^2 + sin^2 =1 ist .

Wenn ma ds(phi) nun einsetzt und die parametrisierte Funktion f(phi) dann ergibt sich doch das geforderte Integral .

Für dieses Anwendungsbeispiel
r(phi) = 1+cos(phi) , wie geht man denn hier vor das ist nun ja nur eine Komponente . da bin ich etwas verwirrt .

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Sry meine Rechtschreibung in de Beitrag war nicht so toll . Big Laugh

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18058

Mir ist nicht klar, weshalb du f nach phi ableitest. Berechne doch mal das Integral für f = 1; dann gilt

wobei L[C] gerade für die Länge der Kurve C steht.

Nach meiner Idee (und ich denke, es ist auch deine, außer dass du eben f schreibst, jedoch r meinst) folgt

Für den Betrag folgt dann

wobei ich verwendet habe, dass

Für das Integral folgt dann zuletzt

Bist du soweit einverstanden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18058

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Ja ich meine r , hab mich dort verschrieben .
Für f(x,y)=1 dann hat man doch kein x oder y was man auf phi umschreiben muss .

dann habe ich :

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18058

Nicht

sondern

Für

gilt

und

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Ok kann ich nachvollziehen .
Ah ich verstehe ich habe das hier nicht als Vektor betrachtet sondern als eindimensionale Komponente , deswegen war ich etwas verwirrt .

ok das Integral lautet dann :

gerade gesehen dass ich die wurzel vergessen habe , mein fehler .

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Das mit der Ableitung hab ich verstanden jetzt
wollte ich noch fragen ; Wie Kommt man in dem Beispiel bzw für

auf

.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18058

Du setzt x und y als Funktion von phi ein. Die Darstellung hatten wir oben.

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Du meinst ich soll für