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Parametrisierter Halbkreis Masse und Lage des Schwerpunktes
 
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Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 13:07    Titel: Parametrisierter Halbkreis Masse und Lage des Schwerpunktes Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo ich habe die Aufgabe :
Aus einem Draht mit Konstanter Massendichte p0 sei ein Halbkreis gebogen , welcher sich durch mit
parametrisieren lässt . Wie groß ist die Gesamtmasse M des Drahtes und wo befindet sich der Schwerpunkt dieses Gebildes ?

Meine Ideen:
Für die Masse M habe ich .
Für den Schwerpunkt brauche ich doch


wobei man hier die Konstante Massendichte p0 nutzen kann.

Macht man das so dass man für jede Komponente x,y,z ein eigenes Integral Braucht sodass sich jeweils Eine Schwerpuktskoordinate ergibt ?
Ist das für x dann einfach 0 weil das Integral von 0 bis 0 läuft?

Ich habe für x und z 0 rausbekommen und y=4/pi, also S=(0,4/pi,0)
Kann das stimmen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 13:59    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, bereits bei der Massendichte geht einiges durcheinander.

Wenn eine Massendichte als "Masse pro Länge" gemeint ist, dann gilt





wobei L die Länge des Halbkreises bezeichnet.

Wenn eine Flächenmassendichte als "Masse pro Fläche" gemeint ist, dann ist der Ansatz



sinnvoll.

Dabei legt die Deltafunktion fest, dass die Massendichte nur auf dem Radius r = a von Null verschieden ist; die charakteristische Funktion schränkt die Massendichte zusätzlich auf den Halbkreis ein.

Die Masse errechnet sich dann zu



Mit dieser Flächenmassendichte kannst du nun den Schwerpunkt berechnen:



Dazu musst du für jede Komponente des Ortsvektors ein Integral lösen. Den Ortsvektor stellst du sinnvollerweise in Polarkoordinaten dar.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 15. Mai 2016 14:46, insgesamt einmal bearbeitet
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5783
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 15. Mai 2016 14:03    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich verstehe die Aufgabe so, dass der Draht nur auf dem Halbkreisbogen sein soll, also nur die Länge des Halbkreisbogens eine Rolle spielen sollte und nicht, wie von Dir verwendet, die Fläche des Halbkreises, die ja gar nicht ausgefüllt ist.

Für das Integral: Du brauchst nur eine Raumdimension berechnen. Die anderen sind klar: Der Schwerpunkt muss auf der selben Ebene liegen, wie der Halbkreis selbst. Außerdem muss er natürlich auf der Mittelsenkrechten zu den beiden Halbkreis.Endpunkten liegen. Also ist nur noch die Frage, wie weit der Schwerpunkt vom Kreismittelpunkt weg liegt.

Außerdem integrierst Du nur über den Kreisbogen, wahrscheinlich über Phi von 0 bis Pi, denke ich.

Gruß
Marco

PS: OK, das war TomS schneller... Prost
Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 14:36    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo danke für den Hinweis mit der Fläche und der Linie das habe ich falsch interpretiert .
Die Masse kann ich nachvollziehen .
Bei den Schwerpunktsvektor muss ich da wirklich ein DoppelIntegral auflösen?
Ich habe in meinem Skriptum gefunden dass
sich dieser folgend darstellen lässt :
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 14:41    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt bringst du deine zwei Threads durcheinander. Was hat denn die Aufgabe mit dem Wegintegral mit dem Schwerpunkt zu tun??
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 14:45    Titel: Antworten mit Zitat

Physiker1910 hat Folgendes geschrieben:
Bei den Schwerpunktsvektor muss ich da wirklich ein DoppelIntegral auflösen?

Ja.

Physiker1910 hat Folgendes geschrieben:
Ich habe in meinem Skriptum gefunden dass
sich dieser folgend darstellen lässt :

Das kann nicht sein.

Zunächst mal ist die Massendichte als Vektor nicht sinnvoll; sie ist sicher keine gerichtete Größe. Sodann kann nicht links ein Vektor, rechts jedoch das Skalarprodukt zweier Vektoren stehen.
Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 15:06    Titel: Antworten mit Zitat

Oh ok da hab ich wohl etwas durcheinandergebracht sry, mein fehler .
Ok da hab ich dann wohl was falsch aufgeschrieben müsste dass dann so sein das rho von r als vektor abhängt , also rho(r) , beides vektoren .

Ich probiere mal das Doppelintegral aufzulösen smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 15:10    Titel: Antworten mit Zitat

Physiker1910 hat Folgendes geschrieben:
müsste dass dann so sein das rho von r als vektor abhängt , also rho(r) , beides vektoren

Wieso soll rho ein Vektor sein?

Also jetzt mach mal Pause. Löse eine Aufgabe nach der anderen, nicht zwei parallel. Überleg dir, was in einer Aufgabe gefragt ist und was das bedeutet. Und schreib deine Lösungsansätze vollständig auf, nicht immer nur bruchstückhaft.
Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 16:11    Titel: Antworten mit Zitat

Unser Professor hat uns zu diesem Beispiel eine mail geschickt dass die Schwerpunktskoordinate durch das Integral im Bild gegeben ist .


1.PNG
 Beschreibung:
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 Angeschaut:  2442 mal

1.PNG


Auwi



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Beiträge: 602

Beitrag Auwi Verfasst am: 15. Mai 2016 16:12    Titel: Antworten mit Zitat

Es gibt
Massenschwerpunkte
Flächenschwerpunkte
und auch
Linienschwerpunkte...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 16:16    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe mir noch nie überlegt, dass man das Integral auch so darstellen könnte. Jedenfalls ist rho auch dann kein Vektor.
Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 16:38    Titel: Antworten mit Zitat

Rho wurde als eine Konstante angeben = p0 .
Ich war deswegen etwas verwirrt weil ich eigentlich im 2ten semester bin und das eine Mathe Lv von Physik ist wobei Mechanik erst im 3ten Sem kommt ^^

Kann ich das mit dem angegeben Integral rechnen oder hat uns der Prof da was falsches geschickt?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 17:09    Titel: Antworten mit Zitat

Im vorliegenden Fall für einen Kreisbogen mit konstantem Radius sollte das funktionieren. Für einen deformierten Kreisbogen halte ich das für falsch; aber das sollten wir uns später abschauen, evtl. begehe ich selbst einen Denkfehler.

Mein Ansatz von oben funktioniert jedoch genauso.
Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 17:18    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ich merke mir das dann so für eine Schöne glatte undeformierte Kreislinie kann ich den " einfacheren " Ansatz wählen und andernfalls deinen .

Zum ergebniss noch kurz :
für xs und zs hab ich 0 was ja nicht anders sein sollte .
und
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 17:42    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich verstehe nicht, wieso dein rho wieder einen Vektorpfeil hat.

Meine Rechnung:

Für das Kurvenintegal gilt





Für die Ableitung gilt



Die beiden Vektoren stehen senkrecht, jeder einzelne Vektor hat den Betrag Eins, d.h.



Der erste Term ist übrigens der, den mein Ansatz so nicht reproduziert.

In deinem Fall ist der Radius a jedoch konstant, d.h. a' = 0, und es folgt



Stimmen wir da überein?
Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 19:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ja stimmen wir ich habs bis zum Schluss gleich aber , soweit ich die Formel im Bild interpretiere fehlt da noch der Faktor .
Oder irre ich mich da ?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 21:14    Titel: Antworten mit Zitat

Das 1/M hab' ich weggelassen; kann man ja zum Schluss ergänzen.

Das Linienintegral schau' ich mir später an.

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Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 15. Mai 2016 21:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ja wenn man das noch ergänzt kommen wir aufs gleiche smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2016 22:00    Titel: Antworten mit Zitat

sorry, meine Formel ist fehlerhaft; sie gilt nur für den Spezialfall eines Kreisbogens; i.A. ist die Massendichte, die ich als Deltafunktion angesetzt hatte, komplizierter; das Integral deines Profs ist natürlich korrekt:



as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5783
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 16. Mai 2016 14:37    Titel: Antworten mit Zitat

Irgendwie verstehe ich diese ganze Rechnerei nicht so ganz. ME geht es hier einfach um die Lage des Schwerpunktes bei einem Halbkreis mit homogener Maße. Dabei ist, wie ich schon mal geschrieben hatte, nur der Abstand vom Kreismittelpunkt fraglich. Wenn man schlicht über den Winkel integriert, kommt man da recht schnell und einfach auf

Oder verstehe ich da was falsch? Das ist übrigens eine Standardaufgabe, ähnlich wie der Schwerpunkt einer Halbkreis-Scheibe. Auch Google hat dafür Antworten.

Gruß
Marco
Physiker1910



Anmeldungsdatum: 20.01.2016
Beiträge: 141

Beitrag Physiker1910 Verfasst am: 16. Mai 2016 14:46    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Marco :
Ja das ist mein Ergebniss .
Ich habe dafür schlicht die Formel die Mein proffesor mir angegeben hatt , verwendet . Für x und z ist es klar dass die Koordinate 0 ist und y ist verbleibend .
Die habe ich mit der angebenen Formel berechnet und komme da auch auf 2a/pi .
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Mai 2016 15:40    Titel: Antworten mit Zitat

as_string hat Folgendes geschrieben:
Irgendwie verstehe ich diese ganze Rechnerei nicht so ganz. ME geht es hier einfach um die Lage des Schwerpunktes bei einem Halbkreis ... Oder verstehe ich da was falsch?

Zunächst mal verstehst du nichts falsch.

Die Frage ist, wie man meinen zunächst falschen Ansatz reparieren kann. Immerhin muss man das ja auch mittels eines Flächenintegrals über eine im Grenzfall eindimensional konzentrierte Massendichte mittels Delta-Funktion lösen können (ich weiß inzwischen, wie's geht).
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