Dichtematrix und Positivität bestimmen

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Huhu, folgende Aufgaben habe ich zu bearbeiten:

http://up.picr.de/25378092ji.jpg

Unsicher bin ich mir bei der Bestimmung ob die Operatoren Positiv bzw. Dichtematrizen sind.

Zunächst muss ein Operator um positiv zu sein selbstadjungiert sein, richtig?
Gibt es dann einen Standardweg <Px, x> >= 0 nachzuweisen?

Dann zu Dichtematrix:
Gemäß Wikipedia muss für einen Operator folgendes gelten um eine Dichtematrix zu sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Für die Spur sehe ich zwei Ansätze

1) Hermitizät bedeutet, dass ausschließlich reelle Eigenwerte vorliegen; also Eigenwerte berechnen und daraus die Spur berechnen; Hermitizität kann man jedoch an einer Mazrix ablesen, ohne die Eigenwerte zu berechnen

2) Die Spur explizit in der Basis {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} berechnen

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hy, danke!

Zu 2):

Wieso diese Basis? Ich dachte der zugrundeliegende Raum ist der Hilbertraum der Quantenmechanik, d.h. der Raum der quadratintegrabeln Wellenfunktionen? Bei b) wüsste ich auch nicht, wieso ich 3 Dimensionen annehmen sollte?!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Der Hilbertraum kann doch auch 3-dim. sein.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Ja, aber ich würde einen Funktionenraum erwarten und {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ist dann keine Basis?!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Aber in deinem Fall liegt eben kein Funktionenraum vor.

Ein Beispiel für einen 3-dim. Zustandsraum in der QM wäre ein Spin- Teilchen. Relevante Operatoren wären 3 * 3 Spinmatrizen; Eigezustände wären 3-dim. Spinoren; Eigenwerte wären +1, 0, -1 für die z-Komponente.

Generell muss in der QM der (separable!) Hilbertraum kein Funktionenraum sein. Ein wesentliches Beispiel für einen Hilbertraum ist der L²[a,b] der quadratintegrablen Funktionen. Nun sind jedoch alle separablen Hilberträume isometrisch isomorph; auf dem L² sind abzählbare Basissysteme quadratintegrabler Funktionen möglich; damit können deren Koeffizienten wiederum als Elemente in einem l²-Hilbertraum quadratsummierbarer Folgen aufgefasst werden; dieser Raum ist eine unendlich-dimensionale Verallgemeinerung endlich-dimensionaler, euklidischer Vektorräume

Damit können Operatoren A im L² auf unendlich.dimensionale Matrizen im l² abgebildet werden:

Ein bekanntes Beispiel dürfte der harmonische Oszillator darstellen.