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User22
Anmeldungsdatum: 21.11.2013
Beiträge: 5
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 User22 Verfasst am: 21. Nov 2013 15:59 Titel: Freier Fall Differentialgleichung |
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Meine Frage:
Ich muss die Differentialgleichung
lösen, habe aber keine Idee wie ich das machen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Meine Ideen:
Lösungsansätze habe ich leider keine |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 21. Nov 2013 17:56 Titel: |
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Hallo,
die rechte Seite setzen wir gleich ) , das heißt
 = a_0 - \gamma \cdot \frac{M}{r^2})
Anschließend wird die DGL mit  multipliziert:
 2 \dot{r})
Die linke und rechte Seite können umgeschrieben werden, zunächst die linke Seite:
^2 )
Für die Rechte folgt analog:
 2 \dot{r} = 2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} F(r))
Dabei ist F(r) die Stammfunktion von f(r). Durch Einsetzen in die DGL folgt:
^2 = 2 F(r) + c_1)
Versuch den Weg und die Umformungen zu verstehen und berechne im Anschluss die Funktion F(r) und anschließend die Geschwindigkeit. Dann bist du noch eine Integration von der Lösung entfernt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18021
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2013 19:26 Titel: Re: Freier Fall Differentialgleichung |
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| User22 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich muss die Differentialgleichung
lösen, ... |
Sieht nach der Bewegungsgleichung für den freien Fall im Gravitationsfeld aus. Das kannst du über den Energiesatz eleganter, nämlich mit einer DGL erster Ordnung, lösen.
Der Ansatz von stereo ist aber trotzdem korrekt ;-)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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User22
Anmeldungsdatum: 21.11.2013
Beiträge: 5
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| User22 Verfasst am: 21. Nov 2013 20:53 Titel: Danke! |
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| stereo hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
die rechte Seite setzen wir gleich , das heißt
Anschließend wird die DGL mit multipliziert:
Die linke und rechte Seite können umgeschrieben werden, zunächst die linke Seite:
Für die Rechte folgt analog:
Dabei ist F(r) die Stammfunktion von f(r). Durch Einsetzen in die DGL folgt:
Versuch den Weg und die Umformungen zu verstehen und berechne im Anschluss die Funktion F(r) und anschließend die Geschwindigkeit. Dann bist du noch eine Integration von der Lösung entfernt. |
Vielen Dank für die Mühe!
Ich kann in etwa nachvollziehen was du meinst aber mir fehlen leider die Grundkenntnisse für das Lösen von einer DGL.
Deshalb kann ich mit dem Zwischenergebnis nicht allzu viel anfangen.
Ich habe schon wirklich lang im Internet recherchiert wie ich eine nicht lineare DGL 2. Ordnung lösen kann, fand aber nichts.
Das ganze ist übrigens für eine Facharbeit gedacht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18021
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2013 21:05 Titel: |
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Die Berechnung hängt aber gerade nicht davon ab, dass es sich um eine lineare oder nichtlineare DGL handelt. Mit Trennung der Variablen lassen sich auch nichtlineare DGLs erster Ordnung lösen
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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User22
Anmeldungsdatum: 21.11.2013
Beiträge: 5
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| User22 Verfasst am: 21. Nov 2013 21:12 Titel: Re: Freier Fall Differentialgleichung |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | User22 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich muss die Differentialgleichung
lösen, ... |
Sieht nach der Bewegungsgleichung für den freien Fall im Gravitationsfeld aus. Das kannst du über den Energiesatz eleganter, nämlich mit einer DGL erster Ordnung, lösen.
Der Ansatz von stereo ist aber trotzdem korrekt ;-) |
Wenn ich als Ansatz den Energiesatz benutze, lautet meine Formel
}
<br />
)
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich daraus eine DGL basteln kann |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 21. Nov 2013 21:18 Titel: Re: Danke! |
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| User22 hat Folgendes geschrieben: | Deshalb kann ich mit dem Zwischenergebnis nicht allzu viel anfangen.
Ich habe schon wirklich lang im Internet recherchiert wie ich eine nicht lineare DGL 2. Ordnung lösen kann, fand aber nichts.
Das ganze ist übrigens für eine Facharbeit gedacht. |
Die DGL ist doch erster Ordnung...
| Zitat: |
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich daraus eine DGL basteln kann |
 . Du hast schon eine DGL vor dir  |
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User22
Anmeldungsdatum: 21.11.2013
Beiträge: 5
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| User22 Verfasst am: 21. Nov 2013 21:20 Titel: Re: Danke! |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | User22 hat Folgendes geschrieben: | Deshalb kann ich mit dem Zwischenergebnis nicht allzu viel anfangen.
Ich habe schon wirklich lang im Internet recherchiert wie ich eine nicht lineare DGL 2. Ordnung lösen kann, fand aber nichts.
Das ganze ist übrigens für eine Facharbeit gedacht. |
Die DGL ist doch erster Ordnung...
| Zitat: |
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich daraus eine DGL basteln kann |
. Du hast schon eine DGL vor dir |
Wie bekomme ich dann mein r(t)??
Das macht für mich keinen Sinn (ich hab auch leider null Ahnung von DGLs) weil ich hab ja noch r1 und r2 in meiner Formel
Ich bin bis jetzt nur durch das Federpendel über DGLs gestolpert..  |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 21. Nov 2013 22:00 Titel: |
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| Zitat: | Wie bekomme ich dann mein r(t)??
Das macht für mich keinen Sinn (ich hab auch leider null Ahnung von DGLs) weil ich hab ja noch r1 und r2 in meiner Formel |
Das eine r ist eine konstante, nämlich gerade der Radius, bei dem die kinetische Energie null wäre, das andere ist variabel und ergibt, abgeleitet, die Geschwindigkeit. Damit hast du eine DGL erster Ordnung in expliziter Form, das heißt, links steht die höchste Ableitung und rechts steht eine Funktion der Funktionswerte aller niedrigeren Ableitungen (gibt hier keine) bzw. der Funktion selbst (in diesem Fall) und evtl. noch der Zeit. Letzteres ist hier nicht der Fall, die DGL wird dann "autonom" genannt.
Ich würde sagen, beschäftige dich mit DGLs oder lass es. Falls du eine gute Einführung suchst – ich mag die hier: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 . Hier musst du aber eigentlich nur Variablentrennung beherrschen.
Ich habe, ehrlich gesagt, das Gefühl, Facharbeiten werden oft nach dem Gesichtspunkt "Was könnte ich alles hereinnehmen?", statt "Was wäre sinnvoll?" erstellt. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 22. Nov 2013 10:25 Titel: Re: Freier Fall Differentialgleichung |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | User22 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich muss die Differentialgleichung
lösen, ... |
Sieht nach der Bewegungsgleichung für den freien Fall im Gravitationsfeld aus. |
Das ist nur für  so. Für  ist der Gravitationskraft noch eine feste, vom Ort unabhängige Kraft überlagert. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 22. Nov 2013 11:22 Titel: |
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| stereo hat Folgendes geschrieben: | | Dann bist du noch eine Integration von der Lösung entfernt. |
Und genau hier liegt die Schwierigkeit bei diesem Problem. Ich bezweifel, dass dieses Problem geschlossen lösbar ist. |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 22. Nov 2013 13:23 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | stereo hat Folgendes geschrieben: | | Dann bist du noch eine Integration von der Lösung entfernt. |
Und genau hier liegt die Schwierigkeit bei diesem Problem. Ich bezweifel, dass dieses Problem geschlossen lösbar ist. |
Oh, das stimmt wohl. Da war ich etwas vorschnell mit dem Satz. |
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User22
Anmeldungsdatum: 21.11.2013
Beiträge: 5
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| User22 Verfasst am: 24. Nov 2013 12:27 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Wie bekomme ich dann mein r(t)??
Das macht für mich keinen Sinn (ich hab auch leider null Ahnung von DGLs) weil ich hab ja noch r1 und r2 in meiner Formel |
Das eine r ist eine konstante, nämlich gerade der Radius, bei dem die kinetische Energie null wäre, das andere ist variabel und ergibt, abgeleitet, die Geschwindigkeit. Damit hast du eine DGL erster Ordnung in expliziter Form, das heißt, links steht die höchste Ableitung und rechts steht eine Funktion der Funktionswerte aller niedrigeren Ableitungen (gibt hier keine) bzw. der Funktion selbst (in diesem Fall) und evtl. noch der Zeit. Letzteres ist hier nicht der Fall, die DGL wird dann "autonom" genannt.
Ich würde sagen, beschäftige dich mit DGLs oder lass es. Falls du eine gute Einführung suchst – ich mag die hier: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 . Hier musst du aber eigentlich nur Variablentrennung beherrschen.
Ich habe, ehrlich gesagt, das Gefühl, Facharbeiten werden oft nach dem Gesichtspunkt "Was könnte ich alles hereinnehmen?", statt "Was wäre sinnvoll?" erstellt. |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort
Ich denke ich werde mich mal einlesen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18021
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2013 15:05 Titel: Re: Danke! |
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| User22 hat Folgendes geschrieben: | | Das ganze ist übrigens für eine Facharbeit gedacht. |
Und wie lautet das Thema für die Facharbeit?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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