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Ideales Gas in einem statischen Magnetfeld
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 03. Jan 2013 22:27    Titel: Ideales Gas in einem statischen Magnetfeld Antworten mit Zitat

Hallo!

Meine Frage:

Betrachtet wird ein ideales Gas aus Atomen in einem statischen Magnetfeld .
Jedes Atom des Gases besitzt ein magnetisches Moment , sodass für dessen Energie



gilt. ist der Impuls, die Masse eines einzelnen Atoms. Die Richtung von kann sich be-
liebig ändern und als gleichverteilt betrachtet werden. Zu bestimmen: die kanonische Zustands-
summe , die freie Energie und das chemische Potential .

Mein Ansatz:

Die kanonische Zustandssumme sollte kein allzu großes Problem darstellen (einsetzen):



Beim chemischen Potential fällt mir im Moment nichts ein; die freie Energie aber sollte lauten:



Danke!
Grüße!

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Jan 2013 09:59    Titel: Antworten mit Zitat

Also setzen wir das alles mal ein und schauen, was dabei herauskommt:




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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 18:32    Titel: Antworten mit Zitat

grübelnd Hilfe
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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 20:40    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo.
Ich verstehe nicht so ganz warum du da eine Summe stehen hast. Ich kenne die kanonische Zustandssumme nur als Integral
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 20:43    Titel: Antworten mit Zitat

Das, was Du geschrieben hast, ist doch das kanonische Zustandsintegral?!

http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandssumme#Kanonische_Zustandssumme

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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

Ja aber dein System kann sich doch kontinuierlich verändern und nicht nur diskrete Zustände einnehmen oder sehe ich das falsch?
Für so ein System berechnet man die Zustandssumme doch über das Zustandsintegral.
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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 21:01    Titel: Antworten mit Zitat

/edit: Bei dem Integral in meinem Beitrag fehlt noch der Vorfaktor c_N=1/(N!h^(3N))
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 21:08    Titel: Antworten mit Zitat

Klingt nicht allzu unlogisch. Liegt das u. a. auch an dem 'beliebigen' magnetischen Moment?
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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 21:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ja m und auch der Impuls p können beliebige Werte annehmen.
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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 21:22    Titel: Antworten mit Zitat

Doof Ausgedrückt smile p beliebige Werte und m beliebige Richtungen!
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 21:22    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt ... bin von einem festen Impuls ausgegangen, wir haben hier aber ein Gas ...
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 21:24    Titel: Antworten mit Zitat

Wie soll ich dieses Integral denn stemmen, ist ja nicht wirklich ohne ...
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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 21:51    Titel: Antworten mit Zitat

Das geht eigentlich immer nach dem selben Prinzip. Wenn du die Summe über die Energien einsetzt und dann die e-Funktionen als Produkt schreibst kannst du zuerst mal die Integrale über p und q einzeln betrachten (die e-Fkten mit dem magnetischen Moment im Exponenten hängen ja nicht von den Impulsen ab.
Du erhälst dann ein Produkt aus 3N Impulsintegralen (N Teilchen und pro Teilchen drei Impulskomponenten p_x,p_y und p_z!)
Und weil die Integrale alle "gleich" zu berechnen sind kannst du diese auch Zusammenfassen zu einem Integral hoch 3N.
Beim Zusammenfassen analoges Vorgehen bei den Integralen mit dem magnetischen Moment. Da kannst du das Skalarprodukt als m*H*sin(theta_i) schreiben.
Wir hatten erst kürlich eine ähnliche Aufgabe und da stand als Tipp dabei, dass man bei der Integration über m*H*sin(theta_i) nicht über die drei Raumrichtungen (dx dy dz) integrieren soll sondern nur über den Raumwinkel, also anstatt integration über integration über (Es ist ja nur die Richtung von m interessant, da der Betrag ja konstant bleibt). Du musst dann nur noch eine geeignete Substiution finden, dann lässt sich auch das Integral ziemlich einfach lösen.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 22:32    Titel: Antworten mit Zitat

Also wir haben das kanonische Zustandsintegral zu:



Hierbei bezeichnet den Hamiltonian des Systems.
Dieser kann - da kanonisch - durch ersetzt werden:



Soweit in etwa korrekt? Dann folgt hiermit, dass


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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 06. Jan 2013 23:01, insgesamt 4-mal bearbeitet
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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 22:43    Titel: Antworten mit Zitat

Sieht gut aus smile Und jetzt musst du halt dieses ganze Gedöns wie ich dir vorhin geschrieben habe auseinander ziehen.
(Zu dem "ersetzen": Der Hamilton in der e-Funktion beschreibt einfach nur die Energie des Systems. Das epsilon was du in der Aufgabe gegeben hast ist ja auch nur die Hamiltonfunktion eines Teilchens deines Systems. Wurde in diesem Fall aber mit epsilon bezeichnet um Verwechslungen mit dem Magnetfeld H zu vermeiden.)
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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 22:44    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meinte natürlich epsilon_i.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 22:46    Titel: Antworten mit Zitat

Danke smile Und einen Moment bitte, bin gerade dabei ^^
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 23:00    Titel: Antworten mit Zitat


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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 23:08    Titel: Antworten mit Zitat

Vom Prinzip her genau so. Nur musst du noch beachten, dass der Impuls von jedem Teilchen ja 3 Komponenten hat. Und der Raumwinkel (in Kugelkoordinaten) läuft nicht von minus bis plus unendlich sondern phi von 0 bis 2pi und theta von 0 bis pi!
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 23:30    Titel: Antworten mit Zitat



Jetzt sollte es stimmen. Das zweite Integral macht mir aber noch Probleme ...
eigentlich sollte ja nur der Anteil mit einen Beitrag liefern, oder? grübelnd Hilfe

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Beitrag 12345 Verfasst am: 06. Jan 2013 23:46    Titel: Antworten mit Zitat

Sieht richtig aus smile Du kannst das große Pi auch weglassen und einfach
schreiben. Dann musst du das Pi nicht dauernd mitschleppen.

Ich weiß nicht so genau was du mit dem "Anteil dtheta" meinst. Aber m ist betragsmäßig Konstant kann sich ja in drei Raumrichtungen ausrichten. Sprich die Spitze des Vektors m bewegt sich auf einer Kugelschale. Wenn du jetzt einen festen Winkel theta nimmst kann sich die Spitze ja immernoch auf einem Kreis auf der Schale bewegen, das wäre dann der dphi Anteil (Ich hoffe das war die Frage!?)
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jan 2013 23:57    Titel: Antworten mit Zitat



Du hast mir erklärt, warum ich falsch lag, vielen Dank Augenzwinkern
Stimmt es so von der Notation her nun? Ich weiß aber
immer noch nicht, wie die Lösung von dem Integral lautet ...

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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 00:11    Titel: Antworten mit Zitat

Ah ich habe grade noch einen Fehler entdeckt!

Ich denke jetzt solltest du leicht die passende Substitution finden smile

Von der Notation her Tip-Top Augenzwinkern

(Und noch eine kleine Anmerkung zum theta: Damit der Winkel zwischen H und m genau der gleiche ist wie der Azimutalwinkel theta über den Integriert wird muss man natürlich vorher die z-Achse des Koordinatensystems in Richtung von H legen. Aber da man sein Koordinatensystem ja frei wählen kann geht das ja. Hab das vorhin vergessen dazu zuschreiben)
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 00:24    Titel: Antworten mit Zitat

Habe auch noch einen Fehler in der Notation entdeckt und nun Deinen Hinweis
von vorhin richtig deuten können Augenzwinkern und nicht einfach
. Mit dem Integral hadere ich aber immer noch ... vll ist es schon zu spät :/

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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 00:32    Titel: Antworten mit Zitat

Ach ja stimmt, du hast recht smile

Kann sein das es an der Uhrzeit liegt oder daran, dass die Substitution so offensichtlich ist, oder an beidem Augenzwinkern
Du musst nur das aus der e-Fkt verschwinden lassen.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 00:37    Titel: Antworten mit Zitat

Dazu müsste es 1 werden
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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 00:41    Titel: Antworten mit Zitat

Nein Big Laugh ich meinte verschwinden lassen im Sinne von so Substituieren, dass du eine Funktion bekommst die du easy lösen kannst.
z.B. sowas wie
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 00:46    Titel: Antworten mit Zitat

Big Laugh Ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht Big Laugh
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 01:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin eingepennt ... und habe heute Morgen trotzdem keine Ahnung Hilfe
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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 11:48    Titel: Antworten mit Zitat

Eigentlich hatte ich es dir ja schon vorgesagt. Das Integral ist von der Form



Probiere doch mal die Substitution
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 12:24    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, weiß auch nicht, was mit mir los war ... also mache ich es mal:



und



Wie substituiere ich die Grenzen nochmal?

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 07. Jan 2013 12:33, insgesamt einmal bearbeitet
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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 12:29    Titel: Antworten mit Zitat

Einfach die Werte von in deine Substitutionsgleichung einsetzen.
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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 12:30    Titel: Antworten mit Zitat

Vorsicht, du hast im letzten Schritt das Minus verschlampt!
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 12:43    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, habe es korrigiert. Ich habe nun also:



Minus vor dem letzten Integral deshalb, weil ich
die Integralsgrenzen vertauscht habe. Nun ist:


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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 07. Jan 2013 12:53, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 12:48    Titel: Antworten mit Zitat

Ja. Jetzt nurnoch ausrechnen. Aber das sollte jetzt ja kein Problem mehr darstellen
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 12:56    Titel: Antworten mit Zitat

Mathematica sagt mir, das Integral löse sich zu
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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 13:10    Titel: Antworten mit Zitat

Ja und mit dem von vorne bekommst du dann

(Aber für das Integral braucht man doch kein Mathematica!?)
Der Faktor im Produkt hängt nicht mehr von j ab. Ist also ein Produkt aus N gleichen Faktoren...Das kann man auch noch umformen und dann ist man das lästige Pi los
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 13:17    Titel: Antworten mit Zitat

Jepp, hatte ich vorher auch da stehen, habe es aber wieder weggemacht gehabt Big Laugh


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jan 2013 13:21    Titel: Antworten mit Zitat

Insgesamt habe ich nun also das hässliche Zustandsintegral bestimmt zu:


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Beitrag 12345 Verfasst am: 07. Jan 2013 13:22    Titel: Antworten mit Zitat

So stimmt das aber nicht. Denk nochmal drüber nach:
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