Konforme Raumzeitgeometrie

Eth · Anmeldungsdatum: 01.05.2012 Beiträge: 2

Meine Frage:
Hallo,
in dem Buch das ich lese, muss man wissen was ein konforme (Raumzeit-)
Geometrie ist, um den weiteren Inhalt des Buches zu verstehen.
Dort wird es so erklärt:"Die für uns wichtigste From einer Geometrie ist die sogenannte konforme Geometrie.Diese Struktur definiert zwar ein Maß für den Winkel an einem Schnittpunkt zwischen 2 glatten Kurven, aber es gibt noch kein Konzept für einen Abstand oder eine Länge.Wie schon erwähnt erlaubt eine Metrik g zwar die Messung von Winkeln, doch umgekert ist g noch nicht festgelegt, wenn man alle Winkel kennt." Was wird mit "diese Struktur definiert [...] ein Maß für den Winkel an einem Schnittpunkt zwischen 2 glatten Kurven" gemeint, bitte genau erklären.Danke!

Meine Ideen:
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Eth · Anmeldungsdatum: 01.05.2012 Beiträge: 2

Eine Antwort wäre sehr nett.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18029

Eine konforme Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, der man "das "Längenmaß weggenommen hat". D.h. die Metrik g kann beliebig reskaliert werden, d.h. eine konforme Abbildung bzw. sog. Weyl -Transformation

wird durch eine positive, glatte skalare Funktion Omega definiert, mit der auch Längen, Flächen, Geschwindigkeiten, Impulse, Energien, ... geeignet skaliert werden.

Auf einer konformen Mannigfaltigkeit sind damit nur noch Winkel sinnvoll definierbar.

Alle physikalischen Theorien ohne explizite Längen- oder Massenskala sind konform invariant. Z.B. kann jede Lösung der Maxwellgleichungen im Vakuum konform transformiert werden und man erhält wiederum eine gültige Lösung.

Interessant wird es, wenn sogar die unterlagerte Mannigfaltigkeit konform invariant ist. Dies ist der Fall für spezielle Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, die eine konform-flache Geometrie definieren.

In der ART ist die sogenannte Weyl-Krümmung der einzige Teil der Krümmung, der auch im Vakuum ungleich Null sein kann (die Weyl-Krümmung ist der einzige nicht-verschwindende Krümmungsanteil für Ricci-flache Mannigfaltigkeiten). Er alleine (d.h. sozusagen ein bestimmter Teil des Krümmunsgtensors) bestimmt die Ausbreitung von Gravitationswellen in sowie elektromagnetischer (allgemein masseloser) Felder auf der Vakuum-Raumzeit mittels der sog. Charakteristiken der entsprechenden DGLs

Diese Charakteristiken entsprechen lokal dem sog. Lichtkegel. Man kann also sagen, dass masselose Teilchen nicht die Gesamtkrümmung des Raumes "sehen", sondern ausschließlich die Weyl-Krümmung. Photonen bewegen sich auf Geraden, die lokal durch (ct)² - x² = 0 definiert sind. Entlang dieser lichtartigen Kurven ist das vierdimensionale Längenmaß gleich Null, d.h. alle Raumzeitpunkte auf einem Lichtstrahl haben den vierdimensionalen Abstand Null (und die Photonen haben immer Eigenzeit Null).

Damit ist hoffentlich einigermaßen klar, was es mit konformer Geometrie auf sich hat ... und ich wünsche dir weiter viel Spaß mit Penrose ;-)