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h4tch
Anmeldungsdatum: 22.01.2011
Beiträge: 5
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 h4tch Verfasst am: 22. Jan 2011 18:43 Titel: Coulombkraft zweier hängender Kugeln |
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Hallo zusammen,
habe mich nun extra angemeldet da ich nirgendwo im Internet diese Frage schon einmal gefunden habe, und mich mein Physiklehrer mit seinen Erklärungsversuchen wahnsinnig gemacht hat 
Achtung, viel zu lesen =(
Also ihr kennt ja sicher alle die typische Aufgabe:
2 Kugeln der Masse m hängen an zwei isolierenden Fäden der Länge L, welche am selben Punkt aufgehängt sind. Zwischen ihnen besteht der Abstand r. Wie groß sind die Ladungen der Kugeln. (Die Aufgabe gibt es ja in unzähligen Variationen und mal vorwärts und mal rückwärts)
Alle folgenden Überlegungen bitte nicht Näherungsweiße (sin=tan) sondern wirklich exakt.
Der Lösungsansatz in der eben genannten Version wäre ja, sich die vektoriell waagerechte Kraft durch die Winkelfunktionen und die Gewichtskraft zu errechnen.
Jetzt zu meiner Frage:
Wäre die so errechnete Kraft dann wirklich betragsmäßig die gleiche, mit der sich die Kugeln auch abstoßen würden, wenn sie im Vakuum und schwerelos wären (also wenn alle anderen Umstände, welche die Abstoßung beeinflussen vernachlässigt werden könnten)?
Ja, oder? Der Unterschied wäre im freien Fall ( "schwerelos") nur, dass die Auslenkung größer wäre, da keine Gewichtskraft wirkt oder? Klar ist, dass es die momentan zwischen den beiden Kugeln herrschende Kraft ist und klar ist auch, dass diese Kraft nur durch die Ladungen entsteht.
Diese Frage kam auf, als mein Physiklehrer meinte, wenn man das gesamte System drehen würde, würde man ganz genauso rechnen und bekäme exakt dasselbe raus.
Ich kann das jedoch nicht nachvollziehen bzw. ich denke diese Aussage ist falsch. Im folgenden mehr zu dem "drehen":
Wenn wir eine Kugel an ihrem momentan befindlichen (im ausgelenkten Zustand) Punkt fixieren und dann das gesamte System solange drehen, bis diese fixierte Kugel mit dem Aufhängepunkt auf einer senkrechten Linie ist, würde sich doch die gesamte Auslenkung verringern, weil die zweite Kugel ja dann mehr Energie bräuchte um "höher" zu steigen oder? (ich hoffe das ist verständlich  ) Oder anders gesagt, weil einfach die Gewichtskraft einen andere Winkel zu der Kraft zwischen den Kugeln hat.
Genauso wäre die bewegliche Kugel ja dann bezogen auf die feste Kugel höher, als im ersten Teil beide Kugeln bezogen zu ihren Ausgangspunkten, stimmts?
Angenommen man bekäme diese Aufgabenstellung, und hat dieselben Werte (Länge der Fäden, Abstand zwischen den Kugeln, Masse der Kugeln) gegeben und würde dann auch wieder mit Gewichtskraft und Winkelfunktionen rechnen (nicht näherungsweise), entspräche die errechnete Kraft (ich meine im Kräftedreieck die waagerechte) doch nicht der "wirklichen" Richtung oder? Denn die ausgelenkte Kugel wird ja von der starren Kugel "weggedrückt" und nicht durch eine waagerechte Kraft.
Ich denke bei dieser Überlegung dürfte man nicht mit waagerechter Kraft rechnen, richtig?
Die Frage ist im Endeffekt ob man bei zwei ausgelenkten Kugeln genauso rechnen kann wie bei einer festen (senkrecht mit dem Aufhängepunkt) und einer beweglichen.
Um bei der ursprünglichen Aufgabenstellung (beide Kugeln beweglich) nach der Kraft die Ladung auszurechnen, setzt man ja den gesamten Abstand zwischen den Kugeln ein, und nicht nur den halben (wie man es bei den Winkelfunktionen macht um ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden). Wieso? Weil man bei der Berechnung der Kraft davon ausgeht, dass eine Kugel nur soweit abgestoßen wird, weil die andere mit derselben Ladung geladen ist? Also man die Kraft zwischen beiden Kugeln rausbekommt, weil sich beide auch gleich weit von der Senkrechten auslenken? Berechnet man anschließend die Ladung, zählt jedoch wieder der gesamte Abstand weil man ja auch die gesamte Kraft zwischen den Kugeln hat? Gibt es Aufgabenstellungen/Probleme, bei denen man mit dem halben Abstand rechnen müsste (im Bezug auf die Ladung)?
Ist die errechnete Ladung dann die Ladung einer Kugel oder beider Kugeln zusammen? Ich denke es ist die Ladung einer Kugel aber ich verstehe nicht warum. (in die Formel wird der komplette Abstand und die durch Winkelfunktionen und Gewichtskraft errechnete "Coulombkraft" eingesetzt)
Ich weiß, dass das jetzt sehr viel zu lesen war, aber ich würde mich wirklich sehr freuen wenn sich ein paar Experten damit befassen würden um mir zu helfen 
Vielen Dank schonmal im Voraus und liebe grüße,
h4tch |
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eva1
Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532
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| eva1 Verfasst am: 22. Jan 2011 20:18 Titel: |
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Das Problem an deinem Beitrag ist die fehlende Struktur. Kannst du bitte deine vielen Fragen mal struktuieren(mit Aufzählungen, Abstätzen...).
Zu dem Fall ohne Gravitationskraft:
Es wirkt nur die elektrische Abstoßung, deshalb stoßen sich die Kugeln so weit wie möglich ab. Da die Kugeln ja mit einem Faden der Länge l am Aufhängepunkt zusammengehalten werden ist ihr maximaler Abstand 2l.
Kannst du wie schon erwähnt deine Fragen/Probleme etwas stukturieren. Außerdem könntest du Skizzen hochladen. Achte bitte auch auf richtige Rechtschreibung. Das erleichtert das Verstehen und das Lesen enorm.
Freundliche Grüße,
eva1 |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 22. Jan 2011 22:08 Titel: Re: Theoretische Frage(n) | Coulombkraft zweier hängender Ku |
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| h4tch hat Folgendes geschrieben: | [...]Alle folgenden Überlegungen bitte nicht Näherungsweiße (sin=tan) sondern wirklich exakt.
[...] Wäre die so errechnete Kraft dann wirklich betragsmäßig die gleiche, mit der sich die Kugeln auch abstoßen würden, wenn sie im Vakuum und schwerelos wären (also wenn alle anderen Umstände, welche die Abstoßung beeinflussen vernachlässigt werden könnten)?
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In der Schwerelosigkeit ist die Situation ganz anders. Die Coulombkraft hängt vom Abstand ab und der ändert sich ja, wenn die Gegenkraft nur durch die Seile aufgebracht werden muss, wie oben schon beschrieben.
| Zitat: | | [...]Wenn wir eine Kugel an ihrem momentan befindlichen (im ausgelenkten Zustand) Punkt fixieren und dann das gesamte System solange drehen, bis diese fixierte Kugel mit dem Aufhängepunkt auf einer senkrechten Linie ist, würde sich doch die gesamte Auslenkung verringern, weil die zweite Kugel ja dann mehr Energie bräuchte um "höher" zu steigen oder? |
Nein, würde sie nicht. Die Lageenergie, die sonst in beiden Kugeln stecken täte, ist dann in einer Kugel.
| Zitat: | | [...] setzt man ja den gesamten Abstand zwischen den Kugeln ein[...] Wieso? |
Weil so die Coulombkraft definiert ist, ansonsten müsste die Formel anders lauten. |
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h4tch
Anmeldungsdatum: 22.01.2011
Beiträge: 5
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| h4tch Verfasst am: 22. Jan 2011 22:52 Titel: |
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Hallo,
danke für die Antwort. Ich hatte eigentlich auf korrekte Rechtschreibung geachtet 
Hier mal eine Skizze:
 http://www.bilder-space.de/bilder/7a8056-1295728980.jpg
Zur Skizze:
Bei Z2 bedeutet r2 < r1 dass ich dachte die Auslenkung verringert sich. Tut sie aber anscheinend nicht.
Ich will eigentlich nur wissen wie man im Zustand 2 (Z2 auf der Skizze) die Kraft zwischen den beiden Kugeln berechnet.
Geht das genauso wie im Zustand 1? (Z1 auf der Skizze)
Wenn ich mir einfach das Dreieck wieder so wie im Z1 vorstelle, entspricht das ja nicht der Realität, da sich der Winkel zwischen Fg und den Fäden ändert (in Skizze phi)
| Zitat: | Nein, würde sie nicht. Die Lageenergie, die sonst in beiden Kugeln stecken täte, ist dann in einer Kugel.
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Das klingt irgendwie logisch. Daraus lässt sich auch folgern, dass man genauso rechnen kann wie im Z1. Aber das Problem mit Fg besteht doch trotzdem, oder?
Danke für eure Beteiligung. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 22. Jan 2011 23:41 Titel: |
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| h4tch hat Folgendes geschrieben: | | [...] Aber das Problem mit Fg besteht doch trotzdem, oder? [...] |
Halten wir fest, für kleine Winkel ist alles noch in Ordnung, da wir dann den Sinus als Öffnungswinkel nähern können.
Komisch wird es dann mit größeren Winkeln, z.B. wenn die Schnüre Pi/2 einschließen. Nun kommen wir zum Problem: Im freihängenden Fall steigen die Kugeln um jeweils cos(a/2)*l (a Öffnungswinkel, l Schnurlänge) an. Im festgehaltenen Fall steigt die Kugel um cos(a)*l. Da cos(a) im allgemeinen ungleich 2*cos(a/2) ist, kann der Öffnungswinkel in beiden Fällen nicht exakt gleich sein. Der Öffnungswinkel muss sich leicht ändern. Dies scheint auch plausibel. Wenn du z.B. deinen Aufbau so änderst, dass beide Kugeln senkrecht übereinander liegen (wobei die untere fixiert ist) muss die Coulombkraft die gesamte Gewichtskraft aufbringen, da die Schnüre nichts mehr tragen. Der Abstand zwischen den Kugeln muss also etwas kürzer werden. Bei der Betrachtung der Energie ist dann auch zu beachten, dass das elektrische Potential mit sinkendem Abstand zunimmt (da sich die Kugeln abstoßen).
| Zitat: | | [...]mein Physiklehrer meinte, wenn man das gesamte System drehen würde, würde man ganz genauso rechnen und bekäme exakt dasselbe raus.[...] |
Es kommt dabei natürlich darauf an, um welche Achse man dreht oder ob man die Erde als Erzeuger der Schwerkraft als Bestandteil des Systems ansieht. |
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h4tch
Anmeldungsdatum: 22.01.2011
Beiträge: 5
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| h4tch Verfasst am: 23. Jan 2011 14:07 Titel: |
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Hallo Chillosaurus,
also definitv festhalten lässt sich, dass die Kraft zwischen beiden Kugeln immer gleich ist, egal wie man das System dreht und wendet (vorrausgesetzt natürlich, dass die Ladung sich nicht ändert).
Das einzige was sich ändern wird, ist der resultierende Abstand zwischen den beiden Kugeln (in der Skizze r).
Deine beschriebenen Rechnungen verstehe ich leider nicht ganz, bzw kann sich nicht ganz nachvollziehen.
| Zitat: | | Im freihängenden Fall steigen die Kugeln um jeweils cos(a/2)*l (a Öffnungswinkel, l Schnurlänge) an. |
Welche Strecke berechnest du damit? Wenn ich mir a als Öffnungswinkel am Aufhängepunkt vorstelle und l als Schnur, dann müsste das die Senkrechte sein (oder Symmetrieachse).
Achso.. du siehst den rechten Winkel an der Symmetrieachse, oder? Ok dann ist das im Endeffekt die Höhe h1 die ich in der Skizze eingezeichnet habe. Richtig? Damit wir auch vom selben sprechen.
| Zitat: | | Im festgehaltenen Fall steigt die Kugel um cos(a)*l. |
Wie muss ich mir das vorstellen? Wenn du a als kompletten Auslenkungswinkel am Aufhängepunkt siehst und l wieder als Schnur, würdest du die Senkrechte ausrechnen wollen. Allerdings ist das ja kein rechtwinkliges Dreieck. Kannst du mir das bitte erklären.
Auf jeden Fall wird die Auslenkung kleiner werden.
Angenommen man hätte den Zustand 2 als Aufgabe (also eine Kugel senkrecht). Man würde den Abstand wahrscheinlich mit deiner oben genannten Formel (die ich noch nicht ganz verstehe) berechnen können.
Wie könnte man aber die Kraft zwischen den Kugeln berechnen, um hinterher die Ladung bestimmen zu können? Kraft und Ladung müssten ja genau gleich sein im Vergleich zu Zustand 1 (vorrausgesetzt es handelt sich um dieselben Kugeln). |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 23. Jan 2011 15:44 Titel: |
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| h4tch hat Folgendes geschrieben: | [...]also definitv festhalten lässt sich, dass die Kraft zwischen beiden Kugeln immer gleich ist, egal wie man das System dreht und wendet (vorrausgesetzt natürlich, dass die Ladung sich nicht ändert).
Das einzige was sich ändern wird, ist der resultierende Abstand zwischen den beiden Kugeln (in der Skizze r). |
Nein, wenn sich der Abstand ändert ändert sich auch die Coulombkraft, die zwischen beiden Kugeln wirkt.
[quote]
Deine beschriebenen Rechnungen verstehe ich leider nicht ganz, bzw kann sich nicht ganz nachvollziehen.
| Zitat: | [...]dann ist das im Endeffekt die Höhe h1 die ich in der Skizze eingezeichnet habe. Richtig? Damit wir auch vom selben sprechen.
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ja. | Zitat: |
| Zitat: | | Im festgehaltenen Fall steigt die Kugel um cos(a)*l. |
Wie muss ich mir das vorstellen? |
Sorry, ist natürlich nicht richtig. Muss: um l-cos(a) heißen. Im anderen Fall analog.
| Zitat: | | [...]Wie könnte man aber die Kraft zwischen den Kugeln berechnen, um hinterher die Ladung bestimmen zu können? Kraft und Ladung müssten ja genau gleich sein im Vergleich zu Zustand 1 [...]. |
Nein. Die festgenagelte Kugel spürt keine Gewichtskraft mehr, die Seilkraft wird geringer, die Coulombkraft größer.
Ich nehme mal den festgehaltenen Fall:
Es sei wieder a der Öffnungswinkel.
Dann kann man die Gewichtskraft FG der freien Kugel in einen Teil parallel zur Schnur und einen Teil parallel zur Coulombkraft zerlegen. Ich interessiere mich nur für den Coulombkraftanteil (da ich ja weiß, dass die Schnur hält). Dieser ist die Projektion:
sin (a)*FG und muss gleich der Coulombkraft sein. Daraus kann man dann den Abstand der Kugeln bestimmen. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
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| planck1858 Verfasst am: 23. Jan 2011 15:52 Titel: |
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Hast du dir denn schonmal die Gleichung für die Coulombsche Kraft angeschaut?
Aus der Gleichung kann man doch schon raus sehen, dass wenn sich der Radius vergrößert die Kraft F kleiner wird!
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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h4tch
Anmeldungsdatum: 22.01.2011
Beiträge: 5
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| h4tch Verfasst am: 23. Jan 2011 18:38 Titel: |
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| Zitat: | | Nein, wenn sich der Abstand ändert ändert sich auch die Coulombkraft, die zwischen beiden Kugeln wirkt. |
Ich meinte das so, dass man davon ausgeht die Kugeln hätten immer dieselbe Ladung. Wenn man sie dann in beiden Systemen (einmal eine Kugel fest, einmal beide lose) aneinander drückt, und anschließend loslässt, werden sie sich doch mit genau derselben Kraft abstoßen oder nicht? Denn die Ladung zwischen beiden ist ja gleich. Das war doch genau das Problem das wir weiter oben schon besprochen hatten. Im System 2 (eine Kugel fest) wird die lose Kugel nicht so weit ausgelenkt werden, wie im System 1 beide zusammen. Aber trotzdem herrscht doch zwischen beiden Kugeln immer dieselbe Kraft. Im System zwei würde nur etwas mehr Kraft benötigt werden, um denselben Abstand herzustellen.
Die Formel kenne ich und mir ist auch bewusst dass man die Ladung durch den Abstandt teilt. Aber wie gerade schon gesagt wenn es immer genau dieselben Kugeln sind, entsteht doch auch dieselbe Kraft zwischen ihnen (wenn man sie Anfangs zusammenhält). Der resultierende Abstand daraus ist jedoch unterschiedlich bei den verschiedenen Systemen.
Die Höhe h1 im System 1:
h1 = l - cos(a/2) * l
Höhe h2 im System 2 (eine Kugel fest):
h2= l - cos(a) * l
| Zitat: | Dann kann man die Gewichtskraft FG der freien Kugel in einen Teil parallel zur Schnur und einen Teil parallel zur Coulombkraft zerlegen. Ich interessiere mich nur für den Coulombkraftanteil (da ich ja weiß, dass die Schnur hält). Dieser ist die Projektion:
sin (a)*FG und muss gleich der Coulombkraft sein. Daraus kann man dann den Abstand der Kugeln bestimmen. |
Das ist im Endeffekt genau das, was ich auf der Skizze in Z2 eingezeichnet habe. Fg senkrecht nach unten, eine weitere Kraft parallel zum Faden und eine dritte Kraft (die Coulombkraft). Denn ich gehe davon aus, wenn du mit sin (a) * Fg rechnest, stellst du dir die Coulombkraft waagerecht vor.
Der einzige Unterschied zu deiner Beschreibung ist, dass ich die Coulombkraft nicht waagerecht gezeichnet habe. Das ist wohl falsch, denn die Kraft hätte natürlich waagerecht gezeichnet sein müssen.
Jedoch verstehe ich leider das sin(a) * Fg wieder nicht. Meinst du vielleicht tan(a) * Fg ? Wenn nein, erkläre mir das bitte.
Ich finde das ganze wirklich ziemlich kompliziert. Um das Problem das ich habe, nocheinmal ganz kurz zusammen zu fassen:
Ich möchte wissen wie sich Kraft und Abstand der Kugeln verhalten, wenn man die mit derselben Ladung wie in System 1 geladenen Kugeln so anordnet, dass eine Kugel senkrecht ist. Das ganze im Vergleich zu System 1.
Also Fc1 (=) (>) (<) Fc2 usw. und am besten mit Erklärung. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 23. Jan 2011 19:47 Titel: |
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| h4tch hat Folgendes geschrieben: | | [...]Wenn man sie dann in beiden Systemen (einmal eine Kugel fest, einmal beide lose) aneinander drückt, und anschließend loslässt, werden sie sich doch mit genau derselben Kraft abstoßen oder nicht? |
Wenn man sie exakt identisch weit zusammendrückt.
| Zitat: | | [...] Aber trotzdem herrscht doch zwischen beiden Kugeln immer dieselbe Kraft. Im System zwei würde nur etwas mehr Kraft benötigt werden, um denselben Abstand herzustellen. |
Wenn du verstanden hast, dass die Kraft vom Abstand abhängt, sollte dir doch klar sein, dass die Kraft nicht identisch ist, und auch nicht identisch sein kann, da z.B. im Waagerechten Fall, den ich als Beispiel angeführt habe. Die Coulombkraft die gesamte Gewichtskraft aufbringen muss.
War beim Coulombgesetz nicht der Abstand quadratisch?
| Zitat: | | [...] ich die Coulombkraft nicht waagerecht gezeichnet habe. Das ist wohl falsch, denn die Kraft hätte natürlich waagerecht gezeichnet sein müssen. |
doch hast du korrekt gemacht. | Zitat: |
Jedoch verstehe ich leider das sin(a) * Fg wieder nicht. Meinst du vielleicht tan(a) * Fg ? [...]
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Nein, ich meine den Sinus. Das folgt direkt aus der Geometrie. Du verlängerst die Schnur und fällst von der Spitze deiner Gewichtskraft ein Lot auf die Verlängerung.
Schau dir nochmal die schiefe Ebene an, wenn dir das noch nicht klar ist. |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 23. Jan 2011 19:56 Titel: |
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Ohne Schwerkraft ordnen sich die Ladungen automatisch so an, dass sie auf einer horizontalen Geraden durch den Aufhängepunkt gehen, da die Seilkraft sonst eine Komponente "nach oben" hat und somit die Massen nach oben Beschleunigen würde.
Streng genommen würden sie um diesen Punkt schwingen, sofern sie nicht angehalten werden.
edit:
wegen des anderen Abstandes in der Horizontalen(wie oben beschrieben) wäre dann auch die Kraf tanders. |
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h4tch
Anmeldungsdatum: 22.01.2011
Beiträge: 5
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| h4tch Verfasst am: 23. Jan 2011 22:09 Titel: |
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Sorry dass sich das hier alles solange hinzieht. Ich bin langsam am verzweifeln.
Ich weiß schon dass zwei Kugeln die 10cm auseinander sind eine geringere Kraft aufeinander auswirken als zwei Kugeln die 1cm auseinander sind (Ladungen gleich). Das ist ja total logisch. Denn die Kraft resultiert ja einfach aus den gleichnamigen Ladungen die sich abstoßen und die "Reichweite" nimmt natürlich ab. Und ja der Abstand ist quadratisch einzusetzen. Das heißt Kraft und Abstand sind indirekt proportional.
Aber andererseits glaube ich dass wir entweder zum Teil aneinander vorbeireden oder das Problem anders betrachten müssen.
Wenn wir doch zwei Kugeln aufeinander legen, wird der Abstand nicht so groß werden wie zwei nebeneinander hängende Kugeln. Aber das liegt doch einfach nur daran, dass die Kraft die nötig ist, um die aufeinanderliegenden Kugeln um denselben Abstand auseinanderzudrücken höher ist als bei den beiden hängenden. Weil sich die Gewichtskraft einfach anders auswirkt.
Die grundsätzlich durch die beiden Kugeln und deren Ladungen "erzeugte" Kraft ist doch dieselbe. Denn die Kugeln sind ja exakt dieselben und beide starten ja auch aus demselben Abstand, nämlich 0.
| Zitat: | Nein, ich meine den Sinus. Das folgt direkt aus der Geometrie. Du verlängerst die Schnur und fällst von der Spitze deiner Gewichtskraft ein Lot auf die Verlängerung.
Schau dir nochmal die schiefe Ebene an, wenn dir das noch nicht klar ist. |
Sorry, ich habe die schiefe Ebene eigentlich schon verstanden. Auch wenn ich mir das ganze nochmals und nochmals angucke komme ich nicht drauf wie du das meinst. Könntest du das bitte etwas genauer beschreiben? Mit "Schnur verlängern" meinst du denke ich mal den rechten Schenkel des gesamten Dreiecks. von der Spitze der Gewichtskraft ein Lot auf die Verlängerung fällen, meinst du damit eine Waagerechte? Ein Lot ist doch immer senkrecht?? Auch wenn du es so meinen solltest, verstehe ich trotzdem nicht wie du dann mit dem Sinus dieses "Lot" berechnen willst.
Könntest du vielleicht die Skizze entsprechend erweitern?
Danke an alle die sich hier beteiligen. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 23. Jan 2011 22:21 Titel: |
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| h4tch hat Folgendes geschrieben: | | [...] Mit "Schnur verlängern" meinst du denke ich mal den rechten Schenkel des gesamten Dreiecks. von der Spitze der Gewichtskraft ein Lot auf die Verlängerung fällen, meinst du damit eine Waagerechte? Ein Lot ist doch immer senkrecht??[...] |
Das Lot ist senkrecht auf der Seite, auf das man es fällt. |
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