DGL gedämpfte Schwingungen

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schnudl
Moderator

Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

schnudl Verfasst am: 07. März 2010 20:13 Titel:

Dragonfighter hat Folgendes geschrieben:

Nächstes mal frage ich konkret wie leite ich das ganze mathematisch her

In
http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/lehre/analysisII03/kap17.pdf
Satz 17.1 findest du den Beweis. Aber es geht auch viel viel einfacher, indem du dich vom Kriechfall oder von der gedämpften Schwingung her annäherst: Da die Natur (hier) keine Sprünge macht muss die allgemeine Gleichung für den Fall der gedämpften Schwingung in jene für den aperiodischen Grenzfall fliessend übergehen. Erstere ist ja

Verstehst du das noch? Falls ja, was passiert, wenn

gegen Null geht? Wir haben ja

und der aperiodische Grenzfall tritt ein, wenn die Wurzel verschwindet.

Wie verhalten sich sin und cos für kleine Winkel, d.h. wenn

?

Tip:

ist eine Lösung für den gedämpften Fall. Was passiert, wenn

sehr klein wird?

Ebenso:

ist eine Lösung für den gedämpften Fall. Was passiert, wenn

sehr klein wird?
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)

Dragonfighter

Anmeldungsdatum: 07.03.2010
Beiträge: 5

Dragonfighter Verfasst am: 07. März 2010 23:06 Titel:

schnudl hat Folgendes geschrieben:

Verstehst du das noch? Falls ja, was passiert, wenn

gegen Null geht?

Dann müsste cos gegen 1 gehen und sin gegen 0.

Zitat:

Wir haben ja

und der aperiodische Grenzfall tritt ein, wenn die Wurzel verschwindet.

Wie verhalten sich sin und cos für kleine Winkel, d.h. wenn

?

Tip:

ist eine Lösung für den gedämpften Fall. Was passiert, wenn

sehr klein wird?

Ebenso:

ist eine Lösung für den gedämpften Fall. Was passiert, wenn

sehr klein wird?

Ich glaube ich weiß, worauf du hinauswillst.
Wenn cos gegen 1 geht und das ist ja der maximale Wert den cos annehmen kann wird das

immer kleiner das heißt die Funktion nähert sich insgesamt an 0 an.
Die Sinusfunktion nähert sich ebenfalls an 0 an. Auch aufgrund der fortschreitenden Zeit aber auch, weil der Winkel immer kleiner wird oder?

schnudl
Moderator

Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

schnudl Verfasst am: 08. März 2010 08:15 Titel:

Dragonfighter hat Folgendes geschrieben:

Ich glaube ich weiß, worauf du hinauswillst.
Wenn cos gegen 1 geht und das ist ja der maximale Wert den cos annehmen kann wird das

Nein, ich meinte etwas anderes:

ist ja eine Lösungklasse für den gedämpften Fall. Was passiert, wenn

sehr klein wird? Physikalisch bedeutet das, dass wir den apriodischen Grenzfall erreichen. Dazu entwickeln wir den sinus in eine Taylorreihe und erhalten in niedrigster Ordnung:

Da wir für den Koeffizienten C keine Einschränkungen haben, kann man definieren

und bekommen eine Näherung für die obige Lösungsklasse

Wenn nun

immer kleiner wird, wird diese Näherung immer besser; bei

= 0 wird sie exakt. Daher ist die Funktion

neben

eine Lösung der Differenzialgleichung für den aperiodischen Fall. Dass es wirklich so ist, überzeugt man sich durch Einsetzen.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)

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