 Verfasst am: 18. Mai 2024 19:37 Titel: |
|||
SO(4) = SO(3) x SO(3) ist reduzibel (aber halbeinfach), und dasselbe gilt für deren Komplexifizierung. SO(4) und SO(1,3) haben dieselbe Komplexifizierung, da im Komplexen die Signatur nicht mehr relevant ist. Aber SO(1,3) ist trotzdem einfach. Ihre Rchnung ist in vielen Büchern zu lesen, weil sie es ermöglicht, auf der Lie Algebra Ebene wie mit zwei chiralen so(3)'s zu rechnen. Man muss halt bei der Interpretation aufpassen, wenn man zur Gruppe übergeht.... |
|||
| Verfasst am: 18. Mai 2024 19:30 Titel: |
|
| Sie haben recht. Gibt es denn zwischen der Komplexifizierung der so(1,3) und deren Isomorphie zur direkten Summe zweier komplexifizierter su(2) – sie die Rechnung oben – und der nicht-Halbeinfachkeit einen Zusammenhang? Oder habe ich das falsch in Erinnerung? |
|
| Verfasst am: 18. Mai 2024 17:01 Titel: |
|||
In Wirklichkeit ist SO(1,3) aber sogar einfach! |
|||
| Verfasst am: 17. Apr 2024 16:39 Titel: |
|
| 1. Ok, evtl. muss man das nicht machen. Man betrachtet sowie wobei Damit sollte deine Aussage folgen. Man zeigt, dass S in SL(2,C) liegt, und insbs. dass die gewünschte Invariante liefert. 2. Warum mache ich das? Man betrachtet die zugehörige Lie-Algebra sowie deren Komplexifizierung Damit findet man Und das sehe ich nicht ohne die Komplexifizierung. |
|
| Verfasst am: 17. Apr 2024 15:51 Titel: |
|
| ich weiß nicht warum du eine komplexifizierte Version der Lorentzgruppe betrachten willst. Mein Post passt schon, ich habe nur vergessen die KOMPLEXE spezielle lineare Gruppe hinzuschreiben. |
|
| Verfasst am: 15. Apr 2024 18:05 Titel: |
|
| https://en.wikipedia.org/wiki/Complexification_(Lie_group)#Basic_examples Die Wahrheit liegt in der Mitte 😉 |
|
| Verfasst am: 15. Apr 2024 17:43 Titel: |
|||
das ist nicht korrekt, sondern |
|||
| Verfasst am: 12. Apr 2024 13:22 Titel: |
|
| Ich kriege das aus dem Gedächtnis sicher nicht mehr alles mathematisch präzise zusammen. Evtl. hilft das hier als Einstieg, wie die Physiker denken: https://www.uni-muenster.de/Physik.TP/archive/fileadmin/lehre/teilchen/ss07/Lorentz.pdf |
|
| Verfasst am: 12. Apr 2024 12:58 Titel: |
|||||
Mathematisch ist es natürlich nahe liegend, möglichst alle verwendeten Objekte in irgendeine Darstellung einsortieren; rein logisch, zwingt einen niemand dazu. Tatsache ist, dass sich dieses Zusammenspiel empirisch bestätigt wurde.
Ich denke, die Begründung ist, dass man bei der Betrachtung der Symmetrie alles als Vektor bezeichnet, was sich analog zum Ortsvektor transformiert, also als 1-Tensor; dass es sich dabei außerdem um Elemente eines linearen Vektorraumes handelt, und dass dies auch für allgemeine Tensoren n-ter Stufe handelt, beachtet man dabei nicht. Das + bei der Lorentzgruppe steht für die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe, d.h. in der üblichen Darstellung einer Transformation Damit ist eine derartige Transformation ein Element der Zusammenhangskomponente der Eins; insgs. hat die SO(1,3) vier Zusammenhangskomponenten, die dann relevant werden, wenn man außerdem Raum- und Zeitspiegelungen betrachtet. Die Komplexifizierung betrachtet man zunächst nur, um zu zeigen, dass die SO(1,3) nicht halb-einfach ist; da steckt m.W.n keine unmittelbare physikalische Idee dahinter. |
|||||
| Verfasst am: 12. Apr 2024 12:38 Titel: |
|||||||||
Danke für deine Antwort.
Sind auch interessante Themen, aber vorerst ja.
Gibt es eine rein logische Begründung warum man möchte, dass die Raumzeitsymmetrie sich auf die Objekte der Feldtheorien überträgt oder muss man auf Empirie zurückgreifen?
Hierzu habe ich eine Frage, die nicht direkt mit dem Thema, sondern mit der Terminologie zu tun hat. Mich hat es lange Zeit verwirrt, dass man von Tensoren erster Stufe als Vektoren spricht und diese bspw von Tensoren zweiter Stufe abgrenzt. Das hat bei mir zu der Vorstellung geführt, dass Tensoren keine Vektoren seien, aber im mathematischen Vektorraumsinne handelt es sich auch um Vektoren. Genauso sind Spinoren auch Vektoren. Es hat mich eine gewisse Zeit daran gehindert zu verstehen was Tensoren und Spinoren sind. Warum verwendet man diese verwirrende Terminologie?
Hier habe ich noch eine Wissenslücke in der Lietheorie. Was bedeutet das + bei SO(3, 1). Ich dachte man sei an wenn man die Lorentzgruppe betrachtet.  und wie sieht es aus, wenn man die Poincare-Gruppe betrachtet? |
|||||||||
| Verfasst am: 12. Apr 2024 10:48 Titel: |
|
| Vorab: dich interessiert hauptsächlich die Symmetrie der Raumzeit, also nicht Isospin / Flavor etc. und auch keine Eichtheorien, richtig? Wenn man die relativistische Feldtheorie (Maxwellsche Elektrodynamik) oder Quantenmechanik (Klein-Gordon, Dirac …) konstruiert, dann soll diese für bestimmte Objekte die Lorentz- bzw. korrekterweise Poincare-Symmetrie aufweisen, damit sich die Symmetrie der Raumzeit auf die Beschreibung des Systems (Lagrange-Dichte, Hamilton-Funktion bzw. Operator …) sowie auf die entsprechenden Lösungen überträgt. Dabei kommen nun unterschiedliche Objekte vor, die sich unterschiedlich transformieren: die Lagrange-Dichte ist ein Skalar bzgl. der Poincare-Symmetrie, Hamiltonian H und Impulse P definieren *) eine Vektor-Darstellung, das elektromagnetische Viererpotential bzw. der Feldstärketensor leben in einer Vektor- bzw. Tensor-Darstellung zweiter Stufe. *) bedeutet, dass es sich bei H und P um die Generatoren handelt; zusammen mit Rotationen und Boosts definieren sie eine Darstellung der Poincare-Algebra; aus der entsprechenden Symmetrie des Systems folgen gemäß Noether-Theorem die entsprechenden Erhaltungsgröße; H, P etc. spielen sozusagen eine Doppelrolle D.h., gegeben ist eine Gruppe G, sowie Objekte wie Felder und Operatoren, die sich bzgl. gewisser Darstellungen rep(G) transformieren. Man kann das ganze bottom-up betrachten, also diese Objekte und ihre Transformation identifizieren und daraus auf die Gruppe schließen, oder top-down von einer Gruppe G ausgehen und ihre Darstellungen zur Konstruktion der Theorie (Lagrange-Dichte …) nutzen. Macht man ersteres, so ist klar, dass die Kenntnis einiger Objekte bzw. einiger Darstellungen nicht unbedingt ausreichend ist, um die Gruppe G zu identifizieren. Nun ist Physik eine empirische Wissenschaft, d.h. wir erhalten aus den Experimenten Hinweise zu den Symmetrien. Das war z.B. der Fall bei der Lorentz-Invarianz, in den 60ern für das Quarkmodell und die QCD, und ca. um die 1920er Jahre in der Quantenmechanik für den Spin – damals noch nicht-relativistisch betrachtet. Der Spin ist tatsächlich maßgeblich, denn er hat nicht mittels Vektoren oder Tensoren darstellbar. D.h. man ist zu einer Verallgemeinerung bzw. gezwungen. Die ursprünglich identifizierte Symmetrie der Raumzeit und damit der Vektoren und Tensoren ist nicht ausreichend. |
|
| Verfasst am: 12. Apr 2024 09:39 Titel: Darstellungen von Liegruppen in der Physik |
|
| Ich versteh nicht was die Motivation ist Teilchen als (projektive) Darstellungen von Liegruppen wie der SL(2, C) zu beschreiben. Wie kam man darauf und warum führt das zum Erfolg? Warum können Teilchen nur durch mathematische Objekte beschrieben werden, die (projektive) Darstellungen einer Liegruppe sind? Meine Idee dazu. Im Rahmen der SRT beschreibt die Liegruppe SO(1, 3) Transformationen im Ortsraum zwischen gleichberechtigten Koordinatensystemen in denen die physikalischen Gesetze dieselbe Form haben. Nun ist die Frage wie die Felder von Feldgleichungen zu transformieren sind, wenn man den Ortsraum so transformiert. Bspw verwendet man zur Beschreibung der elektromagnetischen Wechselwirkung das Vierer-Vektorfeld A. Dieses kann man als Element eines Darstellungsraums einer Darstellung der SO(1, 3) deuten. Damit ist gemäß der Darstellungsabbildung rho (was ein Gruppenhomomorphismus ist) klar wie ein Element von SO(1, 3) sich auf ein Element für die Transformation von A überträgt. Weiterhin soll es keine Rolle spielen, ob man erst zwei Elemente von SO(1, 3) miteinander verknüpft und diese dann gemäß der Darstellung rho abbildet oder erst die beiden Elemente SO(1, 3) mit rho abbildet und dann die Verknüpfung ausführt. In der Quantenmechanik kann man dies etwas aufweichen. Denn dort muss es nur bis auf einen Phasenfaktor übereinstimmen, was zusätzlich zu dem Auftreten projektiver Darstellungen führt. Diese Projektiven Darstellungen führen zu Spinoren und zu das was man als halbzahlige Spins kennt. Nun gibt es in der Lietheorie die Aussage, dass die Darstellungen der Gruppe SL(2, C) den Darstellungen und den projektiven Darstellungen der SO(1, 3) entspricht, weshalb man insbesondere an der Analyse der SL(2, C) interessiert ist. Kann man das so sagen? Korrektur aus zweiten Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon geantwortet wird. Steffen |
|