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Celestina_Shepherd	Verfasst am: 14. Apr 2024 20:31    Titel: Hallo, um zumindest hinsichtlich meiner anfänglichen Eingangsfrage einen Deckel auf das Thema zu setzen, habe ich mir noch das Fallbeschleunigungsprofil vom geophysikalischen Referenzmodell PREM angeschaut. Hier kann man angenähert sagen, dass in etwa folgende Beschleunigungswerte in Abhängigkeit vom Radius vorliegen: Linearer Anstieg von 0 bis 10,75 m/s² Linearer Abfall von 10,75 m/s² bis 10,0 m/s² Linearer Abfall von 10,0 m/s² bis 9,8 m/s² Setze ich dieses Profil in meine schlichte Simulation ein, dann erhalte ich einen Mindestradius von bei einer gesamten Fallzeit (einmal Hin-und Herpendeln) von ca. 4594 Sekunden, wobei die Winkeldifferenz zwischen Startort und Zielort bei ca. 14,7° liegt. Die errechnete Fallzeit ist somit schon ganz in der Nähe vom numerisch ermittelten Wert von 4582 Sekunden, wie sie für PREM prognostiziert wurde. Siehe dazu die Arbeit von: #1 „The Gravity Tunnel in a Non-Uniform Earth“ Alexander R. Klotz∗ Department of Physics, McGill Universit und #2 „Falling down a Hole through the Earth“ ANDREW J. SIMOSON King College Bristol, Tennessee 37620 Berechnet man den Mindestradius direkt über die Energie-Gleichung, dann liefert die Biquadratische Gleichung sogar einen Wert von r_min = 297875 Meter. Großartig näher würde ein frei fallender Körper am Erdmittelpunkt kaum noch vorbeisausen. Insofern ist für mich bzw. für meine Simulation auch das absolute Ende der Fahnenstange erreicht. Hinsichtlich des freien Falles durch eine Erde mit homogener Massenverteilung kann ich noch auf folgende Arbeit #3 verweisen, deren Hypozykloiden über die Parameter r(t) und beschrieben werden. (siehe aber auch #5 – Gleichung (8.15 / 8.16) #3 „Terrestrial Brachistochrone“ Giulio Venezian Citation: American Journal of Physics 34, 701 (1966); doi: 10.1119/1.1973207 Was das Bewegungsproblem in einem rotierenden System (bei sich drehender Erde!) anbelangt, so bin ich zumindest bei einem artverwandten Problem fündig geworden, das Aleksander Simonic in seiner Arbeit beschreibt. Hier handelt es sich nicht um Hypozykloide, die betrachtet werden, sondern um gerade Pfade durch die Erde (Sehnen). #4 „A note on a straight gravity tunnel through a rotating body“ Aleksander Simonic School of Science, The University of New South Wales (Canberra), ACT, Australia Interessanterweise bin ich hier im Kapitel IV-A auf eine Zeitgleichung gestoßen, die so aussieht: Um die Reisezeit-Situation für den Äquator zu betrachten, ist a=1 zu setzen. Ansonsten ist und führt zu: Und das wäre genau die von mir (nur als Idee) aufgezeigte Zeitverlängerung, die ich bei dem Brachistochronen-Problem ins Spiel gebracht habe. Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: ... Allein die Zeitgleichung (19) bzw. (32) im Paper muss angepasst werden, da dort die Fallbeschleunigung g durch g* zu ersetzen ist! somit Das bedeutet, die Reisezeit t wird dadurch auf t* gestreckt. Die Brachistochronen (Hypozykloiden) würden somit auch in einem drehenden Koordinatensystem dieselben bleiben wie im Fall , aber mit geändertem Weg-Zeit-Gesetz. Im Beispiel der sich drehenden Erde läge der (geringe) zeitliche Unterschied dann bei: also bei einer relativen Abweichung von + 1,72 Promille. ... Hierin sehe ich zumindest eine ganz kleine Bestätigung bzw. eine wichtige Parallele für die beiden unterschiedlichen Probleme. Auch die folgenden Aussagen von A.Simonic: „For the Earth, this value is […], slightly more than for a non-rotating Earth.“ sowie „Therefore, the only fictitious acceleration which plays a role here is the centrifugal acceleration.“ deckt sich somit mit meiner Vermutung, dass dies auch im rotierenden GTB-Problem gelten könnte, sofern ist. (nichtsdestotrotz kann ich mich trotzdem irren!) – Damit soll es von meiner Seite dann auch getan sein. Ich werde das Problem nicht lösen können!!! Abschließend kann ich noch auf eine weitere kosmologische Analogie verweisen, auf die ich jetzt gestoßen bin. Sie könnte eventuell bei den Astrophysikern durchaus ein gesteigertes Interesse wecken. Zu finden ist sie unter: #5 „Cosmic analogues of classic variational problems“ Valerio Faraoni Department of Physics & Astronomy, Bishop’s University Sherbrooke, Québec, Canada J1M 1Z7 Hier zeigt sich, dass die Problemstellungen im Kapitel „7 - Gravity tunnel“ und im Kapitel „8 - The terrestrial brachistochrone“ sogar auf die Einstein-Friedmann-Gleichungen übertragen werden können. „… This minimum value of a is the analogue of the minimum radius r_min that can be reached, but not passed, by a particle in motion on the terrestrial brachistochrone (this curve does not pass through the centre of the Earth) [67, 70]. The static universe with ; a_min is an exact solution of the Einstein-Friedmann equations, corresponding to a balance between < 0 (which is attractive) and ( +3P) < 0, which is repulsive in the acceleration equation (1.5), where these terms appear with opposite sign and compete.“ Ich hätte nie im Traum daran gedacht, dass der Skalenfaktor der Friedmann-Gleichungen und der Mindestradius-Abstand im Gravity-Train-Problem über eine Analogie zusammengebracht werden können. Wenn das mal kein Ausblick ist! Letztendlich sind die Friedmann-Weltmodelle aber nur für ein nichtrotierendes Universum zugeschnitten. Wahrscheinlich wäre ein „rotierendes Universum“ im Hinblick auf unsere Existenz nicht sehr sinnvoll, denn dann würde es uns sicherlich nicht geben. Aber denkbar wäre es. Wenn es schon einen gewaltigen Bruch zwischen sichtbarer Materie und kaum existierender Anti-Materie gibt, warum sollte der Drehimpulssatz im Gesamt-Universum dann zwingend ein Nullsummenspiel sein? Darüber werde ich mir den Kopf aber nicht zerbrechen! Für mich betrachtet war dieser kleine Ausflug in die Physik und in die Dynamik der rotierenden Systeme ausgesprochen inspirierend und lehrreich. Und alles hat damit angefangen, dass ich mit einer recht einfachen Excel-Tabelle nur einen frei fallenden Körper berechnen wollte. Damit will ich das Thema für mich abschließen und bedanke mich sehr bei „TomS“ und „Myon“ für die erstklassige Unterstützung! Grüße von Celestina
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 08. Apr 2024 20:05    Titel: Hallo, die Lösungsgleichungen der Brachistochronen aus dem Problem GTB wurden ja bisher nur für ein stillstehendes Koordinatensystem hergeleitet. Der Grund wird wohl darin liegen, dass man bei den Geschwindigkeitsvektor in die Berechnungen einbeziehen müsste. TomS hat Folgendes geschrieben: ... Der Energie-Term im Nenner führt auf und das muss man mittels Vektoralgebra auswerten. Aber nur mal so ein Gedankenspiel: Wenn man sich die Energie-Gleichung anschaut, dann muss die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie stets an allen Bahnpunkten erhalten bleiben. Dem Term für die kinetische Energie interessiert dabei nur die betragsmäßige Größe der Geschwindigkeit, nicht aber, dass diese tangential an der Bahnkurve entlangführt. Deshalb schaut man sich am besten die Vektorgrößen gar nicht an und berechnet das v (entlang des Bahnstückes ds) direkt über die potenziellen Energien aus, wobei man sich als Beobachter im Mittelpunkt des rotierenden Systems befindet, so als würde man sich vom Erdmittelpunkt aus alles anschauen. 1) Die Radialbeschleunigung beim freien Fall: Verfolgt man die sich entlang einer Bahnkurve r(t) bewegende Masse m, dann sähe es aus, als würde diese im momentanen Abstand r mit folgender Kraft angezogen: Denn in einem rotierenden System wäre die radiale Komponente der Beschleunigung, so als würde sich die Masse in einer drehenden Röhre Richtung Zentrum bewegen: Es hätte den Anschein, als würde statt g(r) eine Fallbeschleunigung g*(r) wirken. mit womit g*(r) dann so geschrieben werden kann: Das wäre nichts anderes, als wenn die reale Fallbeschleunigung um diesen konstanten Faktor kleiner ausfiele. 2) Übertragung der Situation g(r) => g*(r) bei der Betrachtung des GTB-Problems: Als mitrotierender Beobachter, der sich im Erdmittelpunkt befindet, könnte man nun der Idee verfallen, die Beschleunigung g*(r) zu betrachten, um ergänzend behaupten zu können, man befände sich dann ersatzweise in einem stillstehenden System. Wenn diese waghalsige Idee mit dieser Behauptung zulässig wäre, dann könnten im GTB-Problem alle hergeleiteten Gleichungen für die Hypozykloiden direkt als Lösung übernommen werden, denn an all den gegebenen Parametern R, M, b, … hat sich ja nichts geändert. Allein die Zeitgleichung (19) bzw. (32) im Paper muss angepasst werden, da dort die Fallbeschleunigung g durch g* zu ersetzen ist! somit Das bedeutet, die Reisezeit t wird dadurch auf t* gestreckt. Die Brachistochronen (Hypozykloiden) würden somit auch in einem drehenden Koordinatensystem dieselben bleiben wie im Fall , aber mit geändertem Weg-Zeit-Gesetz. Im Beispiel der sich drehenden Erde läge der (geringe) zeitliche Unterschied dann bei: also bei einer relativen Abweichung von + 1,72 Promille. Doch wenn das wirklich zuträfe, dann müsste die Fallzeit zwischen einem Punkt A und B genauso groß sein wie die Reisezeit entlang der Brachistochronen zwischen A und B!!! Und da die Hypozykloiden des freien Falls dann genau jenen Brachistochronen entsprechen würden, wäre die Reise durch den Verbindungstunnel im GTB-Problem kräftefrei. Überprüfung der Reisezeit für : Bisher galt bei : Im freien Fall gilt für : somit Durch die Substitution von g durch g* erhalten wir dann die Zeit t* für die sich drehende Erde: und das ist genau die Fallzeit eines Körpers von A nach B, wenn sich die Erde mit dreht. Fallzeit und Reisezeit wären demnach bestätigt, wenn alles seine Richtigkeit hat. Fehlt abschließend noch das Weg-Zeit-Gesetz der Hypozykloiden. Bisher galt bei : Jetzt würde bei gelten : D.h., der Winkel Theta läuft in einem sich drehenden System etwas nach, weshalb die Reisedauer dann in reziproker Weise länger ausfällt. Das entspräche meiner einst vermuteten Aussage, dass die Erddrehung einen «bremsenden Effekt» entlang der Bahnkurve hätte. Wenn das alles bisher noch stimmig ist, dann könnte ich meine anfängliche Vermutung sogar wieder verschärfen. >> Die Bahn des freien Falls bei der sich mit drehenden Erde von Punkt A nach B ist eine Hypozykloide und sogleich eine Brachistochrone. Die Führungsbahn (Tunnel) ist in diesem Fall kräftefrei. Eine davon abweichende Führungskurve zwischen A und B benötigt eine längere Reisezeit und wäre nicht mehr kräftefrei.<< ABER, kann das so einfach gemacht werden??? Einführen einer gekünstelten Fallbeschleunigung g*, um die „Rechenhölle“ zu umgehen? Irgendwo muss ich wahrscheinlich einen fatal groben Denkfehler gemacht haben und unzulässiger Weise etwas unter den Teppich gekehrt haben. ODER? Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 03. Apr 2024 08:54    Titel: Ich habe nicht die Randbedingungen variiert, sondern die Rotationsfrequenz. Die Idee lautet wie folgt: im Inertialsystem liefert jede Bahnkurve zum freien Fall eine Ellipse. Variationen der Anfangsbedingungen liefern demnach Ellipsen unterschiedlicher Form und Ausrichtung. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man sich daher auf Ellipsen festlegen, deren Anfangsgeschwindigkeit man im fernsten Punkt, d.h. bei der großen Halbachse und senkrecht zu dieser festlegt; alle anderen Anfangbedingungen führen lediglich zu rotierten Ellipsen unterschiedlicher Verhältnisse der Halbachsen. Anstatt nun die Bedingung für die Rotation der Ellipse zur Hypozykloide aus den obigen Berechnungen zu übernehmen, habe ich die Rotationsfrequenz variiert und die Abweichungen zu einer fest vorgegebenen Hypozykloide minimiert. Inputparameter für die Hypozykloide war der minimale Bahnradius, den ich wiederum aus der Ellipse numerisch bestimmt habe. Man erkennt, dass bei geeigneter Rotationsfrequenz die rotierte Ellipse gegen die entsprechende Hypozykloide konvergiert . Was ich noch nicht betrachtet habe, ist, ob und wie man durch Variieren der Anfangsbedingung für die Ellipse des freien Falls alle Zielpunkte auf der rotierenden Erde erreichen kann; für die Hypozykloide im Inertialsystem (nicht kräftefrei!!) ist das möglich (siehe PDF), für den Spezialfall des freien Falls (Betrachtung im rotierenden Bezugsystem, kräftefrei) muss man das untersuchen.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 03. Apr 2024 08:36    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: ... Anbei ein paar numerische Berechnungen. Das vollständig zu automatisieren ist ziemlich aufwändig, aber das Prinzip sollte klar sein. Vielen Dank für deine Bemühungen, die Randbedingungen in einer Simulation zu variieren!!! Schon im Plot C erkennt man beim Aufzoomen, dass sich eine saubere "Spitze" nur bei der unvariierten Form ausbildet. Die anderen Kurven starten entweder mit einer Schleife oder einer leicht ausgerundeten "Spitze". Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 02. Apr 2024 16:07    Titel: Ich habe mir das nochmal angesehen und bin inzwischen der Meinung, dass wir dank deiner Lösung zumindest bzgl. der Form ohne Betrachtung der Zeitabhängigkeit bereit fertig sind. TomS hat Folgendes geschrieben: i) allgemeine Anfangsbedingungen zuzulassen; ii) damit die allgemeinen Lösungen zu betrachten Das folgende reicht aus, da man alles weitere lediglich eine Skalierung oder Rotation der Ellipsen bedeutet; dadurch wird's komplizierter, jedoch nicht allgemeiner. TomS hat Folgendes geschrieben: iii) speziell festzulegen, wobei ersteres einfach einen Startpunkt A definiert, und letzteres dafür sorgt, dass der Geschwindigkeitsvektor in die Erde hineinweist. OK. TomS hat Folgendes geschrieben: Bei (iv) ist die Rotationsfrequenz eindeutig definiert, wenn man voraussetzt, dass die an der Erdoberfläche tangentiale Geschwindigkeitskomponente bei Hypozykloiden verschwinden muss; allerdings verliert man dadurch evtl. Lösungen, denn mathematisch ist es ohne weiteres zulässig, dass die Hypozykloiden zu gehören; ich würde das zulassen. Das ist nicht notwendig. Wenn man sich auf den o.g. Spezialfall der an den x- und y-Achsen ausgerichteten Halbachsen der Ellipsen orientiert, dann erkennt man, dass dies die korrekten Anfangsbedingungen für diesen Spezialfall liefert. Anbei ein paar numeruische Berechnungen. Das vollständig zu automatisieren ist ziemlich aufwändig, aber das Prinzip sollte klar sein.
TomS	Verfasst am: 02. Apr 2024 09:48    Titel: Das wäre einer der möglichen nächsten Schritte auf dem Weg in die von mir o.g. Hölle 😉
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 02. Apr 2024 09:03    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: ... Eine "allgemeine Beliebigkeit" kann ich auf diese Bahnkurve setzen, indem ich schreibe: ... Ich meinte eher: (jetzt korrigiert) Grüße von Celestina
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 02. Apr 2024 08:55    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Das hier bedeutet konkret, i) allgemeine Anfangsbedingungen zuzulassen; ii) damit die allgemeinen Lösungen zu betrachten; iii) speziell festzulegen, wobei ersteres einfach einen Startpunkt A definiert, und letzteres dafür sorgt, dass der Geschwindigkeitsvektor in die Erde hineinweist; iv) sodann zu lösen und daraus die Falldauer zu bestimmen; minimiert man diesen Ausdruck, findet man außerdem b ... ... ... Klingt nach einem Plan, oder? Wird aber ohne Mathematica wahrscheinlich kein Spaß. Wenn ich Zeit habe, schaue ich mit mal eine numerische Lösung an. Ich glaube auch, dass sich das ziemlich aufbauschen wird und schnell unhandlich wird. Im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator ist mir aber noch ein anderer Gedanke gekommen. Der harmonische Oszillator führt zu Ellipsenbahnen und somit kann man sie quasi auch als Keplerbahnen auffassen. In diesem Fall muss man die Gesamtmasse der Erde nur in einen der Brennpunkte vereinen und betrachtet ein Zweikörperproblem, wobei M>>m ist. Die Brennpunktgleichung der Keplerbahn würde dann so aussehen: wobei sich der Winkel Psi auf einen Brennpunkt bezieht, der bei liegt, sich also um den halben F1/F2-Brennpunkte-Abstand vom Ursprung verschoben befindet. Zwar gilt dann: nur in den Perihel/Aphel-Positionen A und A' gilt: Im Perihel-Punkt A befindet sich auch unser Startpunkt A. Eine "allgemeine Beliebigkeit" kann ich auf diese Bahnkurve setzen, indem ich schreibe: womit der Startpunkt weiterhin unverändert bleibt. Möchte man auch den gegenüberliegenden Punkt A' festhalten, dann erreicht man das mit: Vielleicht wäre es mit dieser Vorgehensweise ja auch möglich? Vielleicht wird aber alles noch komplizierter, da die Winkel-Zeitfunktionen in Theta und Psi nicht gleich sind? Man müsste dann sicherlich Psi(t) kennen. - Ist eben nur so eine Idee. Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 01. Apr 2024 13:54    Titel: Die Gleichungen gelten nicht in einem rotierenden Bezugsystem. r, v und omega bezeichnen jetzt Vektoren; r und v liegen in der xy-Ebene, omega weist in z-Richtung. Damit gilt: Der Energie-Term im Nenner führt auf und das muss man mittels Vektoralgebra auswerten.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 01. Apr 2024 13:05    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: ... Da wir die Endpunkte festhalten wollen und man sinnvollerweise die Kurve C und damit r mittels des Winkels parametrisiert, bietet sich die Winkeldarstellung an Die Energieerhaltung halten wir aufrecht (die Drehimpulserhaltung nicht; wir verwenden sie einfach nicht, andernfalls erhalten wir immer nur die eine bereits bekannte Lösung) und damit Einsetzen liefert Ich habe deine Gleichung für in kartesische Koordinaten umgeformt, wobei ich noch ins Quadrat gesetzt habe, damit die Einheiten konsistent bleiben. War dann wohl nicht OK (?). Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 01. Apr 2024 09:32    Titel: Das hier TomS hat Folgendes geschrieben: d) nun zu (*) und einer m.M.n. sinnvollen Annahme, dass ein fallender Körper, der sich von A nach B bewegt und bei dem nur die Gravitation als Gewichtskraft wirkt, sich – betrachtet in einem geeigneten Bezugsystem – entlang einer Hypozykloiden bewegt. bedeutet konkret, i) allgemeine Anfangsbedingungen zuzulassen; ii) damit die allgemeinen Lösungen zu betrachten; iii) speziell festzulegen, wobei ersteres einfach einen Startpunkt A definiert, und letzteres dafür sorgt, dass der Geschwindigkeitsvektor in die Erde hineinweist; iv) sodann zu lösen und daraus die Falldauer zu bestimmen; minimiert man diesen Ausdruck, findet man außerdem b v) nun mittels der so gefunden Zeit den Zielpunkt B zu berechnen; vi) und zuletzt die von dir oben betrachtete Rotation anzuwenden, um ggf. Hypozykloiden zu identifizieren. Bei (v) ist zunächst mal interessant, welche Punkte B wie erreicht werden können. Bei (iv) ist die Rotationsfrequenz eindeutig definiert, wenn man voraussetzt, dass die an der Erdoberfläche tangentiale Geschwindigkeitskomponente bei Hypozykloiden verschwinden muss; allerdings verliert man dadurch evtl. Lösungen, denn mathematisch ist es ohne weiteres zulässig, dass die Hypozykloiden zu gehören; ich würde das zulassen. Klingt nach einem Plan, oder? Wird aber ohne Mathematica wahrscheinlich kein Spaß. Wenn ich Zeit habe, schaue ich mit mal eine numerische Lösung an.
TomS	Verfasst am: 01. Apr 2024 09:08    Titel: Vergiss mal dieses Konsequenzen. Wie bist du denn auf den Nenner gekommen?
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 01. Apr 2024 09:02    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: ... Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Die Frage ist also, ob man innerhalb des GTB-Problems analytisch zu einer Lösung kommen kann, ohne sich mathematisch zu sehr abzuquälen? Das könnte in die Richtung gehen, die du vorschlägst, allerdings sollten wir vor der konkreten Berechnung klären, welche Hypothese wir zeigen wollen. Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Für GTB muss minimiert werden: mit dem gestreckten Radius: Das geht in die richtige Richtung, allerdings sehe ich die Probleme, dass erstens dein Integral nicht passt, und zweitens das hier ... Tja, dann war dieser Gedankenanstoß doch mehr eine "Beltracci-Fälschung" als eine Betrami-Identität gewesen. Also führen wahrscheinlich die Bahnformen von GTB( ) zu keinen Hypozykloiden, dann wären sie auch auf jeden Fall unterschiedlich zu den Bahnen von FFS( ) und müssen somit zeitlich kürzer ausfallen als die Bahnen des freien Falles. Das wäre die daraus folgende Konsequenz, denke ich mal. Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 01. Apr 2024 08:03    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Bis auf diese eine Schnittstelle bekommen wir FFS & GTB nicht miteinander zusammengenäht. Zumindest nicht, wenn wir nicht allgemeinere *) Bedingungen zulassen. Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Wenn man sich das Ziel setzt, für GTB die realen Bahnformen einer sich drehenden Erde herzuleiten, dann führt das, wenn ich mal deine Wortwahl zitiere, sicherlich "rechentechnisch in die Hölle". Nein, das ist nicht das Problem. Meine Idee war es, zu zeigen, dass die allgemeine *) Bahnkurve des freien Falls i.A. kein Extremum bzgl. der Zeit darstellt. Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Die Frage ist also, ob man innerhalb des GTB-Problems analytisch zu einer Lösung kommen kann, ohne sich mathematisch zu sehr abzuquälen? Das könnte in die Richtung gehen, die du vorschlägst, allerdings sollten wir vor der konkreten Berechnung klären, welche Hypothese wir zeigen wollen. Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Für GTB muss minimiert werden: mit dem gestreckten Radius: Das geht in die richtige Richtung, allerdings sehe ich die Probleme, dass erstens der Nenner Integral nicht passt, und zweitens das hier Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: wobei sich im zweiten Wurzelausdruck die Streckfaktoren herauskürzen zu: Das bedeutet demnach, dass sich bei die Reisezeit verlängert. nicht sein kann. Betrachten wir eine Bahnkurve C sowie die beiden Invarianten b (minimaler Radius) sowie t (Dauer von Radius R zu Radius R). b = b[C] Nun betrachten wir 1) die Transformation vom inertialen in ein rotierendes System: 2) die Änderung der Anfangsbedingung im inertialen System: (1) ändert nicht die physikalische Bewegung sondern lediglich das verwendete Bezugspunkt; daher bleiben invariante Größen b[C] und t[C] unverändert. (2) ändert die Bahnkurve, d.h. man ändert die Anfangsbedingungen in ein und dem selben System, daraus resultieren andere Bahnkurven sowie andere Größen b und t im selben System. Das vermengst du irgendwie. Was deine frühere Herleitung zeigt ist, dass die Bahnkurve des freien Falls im Inertialsystem unter geeigneter Transformation (1) im rotierenden Bezugsystem als Hypozykloide erscheint. Was das PDF tut ist, zu zeigen, dass alle Minimalkurven Hypozykloiden im ruhenden Bezugsystem sind. Dein letzter Ansatz tut wieder etwas anderes – wenn er durchgeht: er untersucht, wie die Minimalkurve, jetzt hergeleitet in einem rotierenden Bezugsystem, in diesem erscheint. Dazu musst du nicht durch die Lösung der DGL durch, du könntest auch unmittelbar die im PDF gefunden Lösungen transformieren, so wie du das vorher getan hast. Dabei sehe ich keinen Grund, warum wieder Hypozykloiden entstehen sollten; sicher ist jedoch, dass (1) die Größen b und t nicht ändern darf. Ich glaube übrigens, dass der Nenner nicht korrekt ist, aber das können wir verschieben. Zurück zur ursprünglichen … Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: … Annahme …, dass ein fallender Körper, der sich von A nach B bewegt und bei dem nur die Gravitation als Gewichtskraft wirkt (es wirken also keine Reaktionskräfte durch die Tunnelwandführung ein!), sich entlang einer Brachistochrone bewegt. Und wenn das zutreffen sollte, dann ist man schnell bei den Hypozykloiden als Lösung für den Tunnelverlauf. Nach den bisherigen Ergebnissen: a) lass uns bitte zunächst alles im Inertialsystem betrachten b) lass uns zuletzt untersuchen, ob eine geeignete Transformation in ein rotierendes System vorliegt, so dass die Bahnkurve als Hypozykloide erscheint c) wenn ich "Brachistochrone" als Extremalkurve bzgl. der Zeit auffasse, dann ist die Annahme sinnlos, denn die Bahnkurve für den freien Fall ist bei gegebenen Anfangsbedingungen eindeutig, die für die Bestimmung der Brachistochrone untersuchten Bahnkurven für die selben Anfangsbedingungen nicht; letztere – ggf. auch die Lösung der Brachistochrone – dürfen den Drehimpulssatz verletzen, sie dürfen bzw. müssen deiner Forderung "es wirken also keine Reaktionskräfte durch die Tunnelwandführung" widersprechen d) nun zu (*) und einer m.M.n. sinnvollen Annahme, dass ein fallender Körper, der sich von A nach B bewegt und bei dem nur die Gravitation als Gewichtskraft wirkt (es wirken also keine Reaktionskräfte durch die Tunnelwandführung ein!), sich – betrachtet in einem geeigneten Bezugsystem – entlang einer Hypozykloiden bewegt. Das wäre aus meiner Sicht eine lohnende Fragestellung.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 01. Apr 2024 00:08    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: ... dann schmilzt diese Gleichung zusammen zu Und da beim „Gravity-Train“ gilt, zeigt sich somit womit die … Aussage bzgl. der transformierten Gleichungen ebenfalls überprüft wäre. Nur für Spezialfall "isochron" ist übrigens nicht der richtige korrekte Begriff. //en.m.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve Zitat: [An] … isochrone curve is the curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point on the curve. Was wir gezeigt haben, siehst du im Anhang. Hallo, erst einmal vielen Dank für die Aufklärung der Begriffe "Tautochrone" und "Isochrone". Man lernt nie aus. Die Isochronen findet man also bei Zykloidenpendel, die Tautochronen dagegen bei den Freien-Fall-Situationen meines Problems. Ansonsten versuche ich für mich selbst noch einmal zu rekapitulieren, wo wir jetzt stehen und führe kurzerhand folgende Problem-Abkürzungen ein. Freier-Fall-Szenarien: Gravity-Train-Brachistochronen: Mit der Drehtransformation ergab sich: wobei Die Transformation bezieht sich nur auf die Bahnformen, denn die Weg-Zeit-Gesetzmäßigkeiten sind zwischen FFS und GTB unterschiedlich, mit einer Ausnahme: Bis auf diese eine Schnittstelle bekommen wir FFS & GTB nicht miteinander zusammengenäht. TomS hat Folgendes geschrieben: ... Mein Ansatz ist zwar korrekt, führt aber rechentechnisch in die Hölle. ... Wenn man sich das Ziel setzt, für GTB die realen Bahnformen einer sich drehenden Erde herzuleiten, dann führt das, wenn ich mal deine Wortwahl zitiere, sicherlich "rechentechnisch in die Hölle". Die Frage ist also, ob man innerhalb des GTB-Problems analytisch zu einer Lösung kommen kann, ohne sich mathematisch zu sehr abzuquälen? Für GTB musste minimiert werden: Für GTB muss minimiert werden: mit dem gestreckten Radius: Jetzt könnte man doch einfach annehmen, dass die Lösungen hierzu ebenfalls die Hypozykloiden-Gleichungen aus der GTB sind, nur bezogen auf einen gestreckten Radius R*. Um für die Lösungen von x* und y* jedoch wieder die Randbedingungen erfüllen zu können (bzgl. der Orte A und B), müsste der b-Parameter ebenfalls um den Faktor gestreckt und die Gleichungen insgesamt wieder re-skaliert werden. Jetzt wird jeder sofort aufschreien: "Moment mal! Das ist doch ein billiger Taschenspielertrick. Da kommen ja wieder dieselben Gleichungen wie zuvor im Fall heraus!!! Möglich wäre es ja (?). Doch ganz dasselbe ist es doch nicht, weil ja die Zeitgleichung (32) aus der GTB jetzt etwas anderes aussagt. Hier muss ja nun R* eingesetzt werden und somit folgt: wobei sich im zweiten Wurzelausdruck die Streckfaktoren herauskürzen zu: Das bedeutet demnach, dass sich bei die Reisezeit verlängert. Erklärbar wäre das, weil die Anfangsgeschwindigkeit sich im Laufe der Zeit durch das rotierende Koordinatensystem zu einem bremsenden Effekt entwickelt bzw. der Bewegung entgegenwirkt. Ich weiß, was ich hier gerade vom Stapel lasse, kann so ziemlicher Unfug sein. Und wenn es so ist, dann nimmt mir das bitte nicht krumm, sondern als vorweggenommen APRILSCHERZ war!!! Habt einen angenehmen und erholsamen Oster-Montag!!! Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 31. März 2024 13:01    Titel: Nochetwas: Ich werde mir ansehen, wie die Kurven aussehen, wenn man die DGLs unter allgemeineren Anfangsbedingungen löst. 1) Bisher ist für den freien Fall im ruhenden System die Anfangsgeschwindigkeit tangential zum Kreis, im rotierenden System entsprechend Null. 2) Der Gravity Train im ruhenden System wurde unter der Bedingung hergeleitet, dass die Anfangsgeschwindigkeit Null ist. Nun kann man beide Probleme variieren, d.h. 1*) für den freien Fall im ruhenden System eine beliebige Anfangsgeschwindigkeit zulassen. 2*) für den Gravity Train im ruhenden System eine beliebige Anfangsgeschwindigkeit zulassen. In beiden Fällen erhält man sicher keine Hypozykloide, da diese sich dadurch auszeichnet, dass sie an ihren Spitzen senkrecht auf dem Kreis steht.
TomS	Verfasst am: 31. März 2024 08:48    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: ... dann schmilzt diese Gleichung zusammen zu Und da beim „Gravity-Train“ gilt, zeigt sich somit womit die … Aussage bzgl. der transformierten Gleichungen ebenfalls überprüft wäre. Nur für Spezialfall "isochron" ist übrigens nicht der richtige korrekte Begriff. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve Zitat: [An] … isochrone curve is the curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point on the curve. Was wir gezeigt haben, siehst du im Anhang.
TomS	Verfasst am: 30. März 2024 12:15    Titel: Mein Ansatz ist zwar korrekt, führt aber rechentechnisch in die Hölle. Ich bin mir bzgl. deiner Hypothese zu noch nicht vollständig sicher, ich kann mein Problem jedoch noch nicht genau fassen. Ich versuch's mal wie folgt: Die Mathematik in dem PDF weiß an vielen Stellen nichts von einer Erdrotation. Insbs. sind (13) und (19) bis auf andere Konstanten immer noch gültig, damit auch (20) und (21), wiederum bis auf andere Konstanten. Die für zu (20*) und (21*) zu modifizierenden Gleichungen müssten aber für die zuerst ermittelten Lösungen des freien Falls gelten, damit diese auch extremale Lösungen bzgl. der Zeit darstellen. (20) und (21) liefern für die im PDF ermittelten Lösungen Kurven für beliebig vorgegebene Winkelabweichungen. Für die Lösungen des freien Falls müssten jedoch diese (20*) und (21*) gelten, nun jedoch für immer feste Winkelabweichung Wie gesagt, ich grüble noch, ob der Beweis logisch schlüssig ist, oder ob implizit noch ein Schritt enthalten ist, der für nicht durchgeht. Nochmal anders formuliert: im PDF werden die Kurven als Lösungen des Problems der extremalen Zeit im nicht-rotierenden Bezugsystem aufgefasst; du interpretierst sie erstens als solche der extremalen Zeit, und möchtest sie außerdem als transformierte Lösungen der Bewegungsgleichung für den freien Fall interpretieren. Aber dazu müsstest du mehr tun als nur die Form zu vergleichen; du müsstest zeigen, dass es sich um Lösungen der transformierten Bewegungsgleichungen handelt. Insbs. müsstest du das Linienelement und die Energie entlang der Bahn betrachten, da im PDF beides im nicht-rotierenden Bezugsystem verwendet wird. D.h. du hast gezeigt, dass die Formen übereinstimmen, ich sehe jedoch noch nicht, dass damit auch die anderen Interpretationen durchgehen – ich sehe aber auch nicht, dass sie falsch wären.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 30. März 2024 11:42    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Super, damit hast du gezeigt, dass die Lösung zum freien Fall für die nicht-rotierende Erde zugleich eine bzgl. der Zeit extremale Lösung ist. Jetzt die Frage, wie du deine Vermutung für die rotierende Erde erweitern möchtest. Die anderen von dir betrachteten Kurven sind sicher keine Lösungen zum freien Fall. Andersherum könnte man natürlich untersuchen, ob die Lösungen zum freien Fall auch bzgl. der Zeit extremale Lösungen sind; dafür sehe ich zwar weder offensichtliche physikalische noch mathematische Anhaltspunkte, aber das muss ja nichts heißen. Oder lassen wir’s damit gut sein? Ich möchte es mal so ausdrücken, die von mir vorgestellte Hypothese ist nun mittels der Drehtransformation der Gleichungen des harmonischen Oszillators glücklicherweise bestätigt worden. So sehe ich das. D.h., sämtliche Freie-Fall-Szenarien bzgl. meiner Problemstellung sind identisch zu den Bahnkurven (=Hypozykloide) aus dem Problem vom „Gravity-Train“, mit dem Unterschied, dass bei meinem Problem der freie Parameter ist und beim „Gravity-Train“ der Parameter b. Darin besteht die Analogie, dass nämlich mit der Umdeutung von b in beide Problemstellung ineinander überführt werden können, was die Bahnformen anbelangt. Auch wenn im „Gravity-Train-Problem“ gesetzt wird, ändert das nichts an der Analogie der Bahnformen. Das war ja die Fragestellung, auf die ich hinaus wollte. Es gibt lediglich ein einziges Szenario, also wenn in meinem Problem vorliegt, dass dann die Analogie nur noch zweitrangig ist, weil in diesem Fall beide Problemstellungen physikalisch absolut identisch sind. Ich glaube, dass anfangs vielleicht auch ein Missverständnis durch den Gebrauch des Begriffes „Brachistochrone“ entstanden sein kann. Daher möchte ich die Formulierung jetzt so wählen, dass die Bahnkurven des freien Fall (als Funktion von ) im „Gravity-Train-Problem“ jenen Hypozykloiden entsprechen, die aber nur auf die dortige Problemstellung als wahre Brachistochronen anzusehen sind. Der freie Fall bewegt sich nicht auf einer Brachistochrone, sondern auf einer Bahn, die jedoch im Analogiebeispiel als Weg der kürzesten Zeit gewertet wird. TomS hat Folgendes geschrieben: ... Die Aufgabe ist demnach, beliebige kleine Variationen der gefundenen Lösung für den freien Fall zu parametrisieren, das Integral bis in erster Ordnung in diesen Variationen zu entwickeln und zu prüfen, ob diese erste Ordnung verschwindet. Das ist exakt die selbe Vorgehensweise wie im verlinkten Paper, außer dass wir nicht die Funktion r von phi selbst betrachten, sondern die bekannte Funktion mit kleinen Variationen. Wow! Vielen Dank, dass du die beiden Probleme nun auch formal zusammengeführt hast!!! - Ich hätte nicht gedacht, dass mein anfängliches Anliegen noch so vertiefend betrachtet wird. Für mich hat sich dieser Erkenntnisgewinn wirklich sehr gelohnt! Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 30. März 2024 11:04    Titel: Zu letzterem sähe die Vorgehensweise wie folgt aus: Wir wissen, dass für die T entlang einer beliebigen Kurve C gilt Da wir die Endpunkte festhalten wollen und man sinnvollerweise die Kurve C und damit r mittels des Winkels parametrisiert, bietet sich die Winkeldarstellung an Die Energieerhaltung halten wir aufrecht (die Drehimpulserhaltung nicht; wir verwenden sie einfach nicht, andernfalls erhalten wir immer nur die eine bereits bekannte Lösung) und damit Einsetzen liefert Dieses Funktional, also die Zeit in Abhängigkeit von der Funktion r des Winkels phi wird auch im PDF untersucht. Ich formuliere nun eine Hypothese, die man untersuchen könnte: Für die rotierende Erde, unter Beachtung der Energieerhaltung (bereits implementiert), soll gezeigt werden, ob oder ob nicht die gefundenen Lösungen für den freien Fall bei identischen Anfangsbedingungen ebenfalls die Zeit minimieren. D.h. wir setzen wobei die kleine Variation rho die Anfangsbedingungen nicht ändern soll. Dann ist zu zeigen, ob oder ob nicht ein Extremum vorliegt, d.h. d.h. ob oder ob nicht die erste Ableitung verschwindet. Die Aufgabe ist demnach, beliebige kleine Variationen der gefundenen Lösung für den freien Fall zu parametrisieren, das Integral bis in erster Ordnung in diesen Variationen zu entwickeln und zu prüfen, ob diese erste Ordnung verschwindet. Das ist exakt die selbe Vorgehensweise wie im verlinkten Paper, außer dass wir nicht die Funktion r von phi selbst betrachten, sondern die bekannte Funktion mit kleinen Variationen.
TomS	Verfasst am: 30. März 2024 10:00    Titel: Super, damit hast du gezeigt, dass die Lösung zum freien Fall für die nicht-rotierende Erde zugleich eine bzgl. der Zeit extremale Lösung ist. Jetzt die Frage, wie du deine Vermutung für die rotierende Erde erweitern möchtest. Die anderen von dir betrachteten Kurven sind sicher keine Lösungen zum freien Fall. Andersherum könnte man natürlich untersuchen, ob die Lösungen zum freien Fall auch bzgl. der Zeit extremale Lösungen sind; dafür sehe ich zwar weder offensichtliche physikalische noch mathematische Anhaltspunkte, aber das muss ja nichts heißen. Oder lassen wir’s damit gut sein?
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 23:10    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Also wenn ich dich richtig verstehe, dann gelten deine Gleichungen im mitrotierenden System, und du kannst sie auch ins ruhende System transformieren. Oder du könntest umgekehrt die Lösungen der Bewegungsgleichung ins rotierende System transformieren. Dann schreib doch mal diese Gleichungen sowie deine im selben System ein, damit wir sie nebeneinander sehen. Hier sei nun die Umformung bzgl. Transformation um den Winkel mit bzw. ergibt das und lässt sich vereinfachen zu nun sei bzw. dann resultieren die beiden Gleichungen ( 38 ) und ( 39 ) aus „Gravity-Train“ Darüber hinaus kann man sich nun auch die Zeitgleichung ( 32 ) vorknöpfen. Setzt man dort folgende Ausdrücke ein und sowie dann schmilzt diese Gleichung zusammen zu Und da beim „Gravity-Train“ gilt, zeigt sich somit womit die isochrone Aussage bzgl. der transformierten Gleichungen ebenfalls überprüft wäre. Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 29. März 2024 20:47    Titel: Trotzdem, ich lasse immer noch nicht locker bei der Fragestellung. Deine Gleichung beschreibt Bahnkurven minimaler Zeit zwischen Punkten A und B auf einem Kreis. Bis auf den Fall, dass A und B gegenüberliegen, handelt es sich nicht um Lösungen der Bewegungsgleichung für den freien Fall – außer eventuell für speziell angepasste Anfangsbedingungen. Die Lösung der Bewegungsgleichung beschreibt keine Bahnkurven minimaler Zeit, solange nicht die Bedingungen gelockert werden, um überhaupt mehrere Lösungen zu erhalten. Damit bleibt zunächst nur die Option, dass die Bahnkurve minimaler Zeit zwischen A und dem gegenüberliegenden Punkt zugleich die Lösung der Bewegungsgleichung für den freien Fall darstellt. Außerdem sehe ich noch die Option, dass die Bahnkurve minimaler Zeit zwischen A und einem anderen Punkt ebenfalls zugleich die Lösung der Bewegungsgleichung für den freien Fall darstellt, wobei zu prüfen wäre, wie dies durch Anpassen der Anfangsbedingungen erreicht wird.
TomS	Verfasst am: 29. März 2024 20:38    Titel: Also wenn ich dich richtig verstehe, dann gelten deine Gleichungen im mitrotierenden System, und du kannst sie auch ins ruhende System transformieren. Oder du könntest umgekehrt die Lösungen der Bewegungsgleichung ins rotierende System transformieren. Dann schreib doch mal diese Gleichungen sowie deine im selben System ein, damit wir sie nebeneinander sehen.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 19:51    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: ... Was mich anfangs etwas irritiert hat, dass die rotierten Gleichungen für den "plot_bahnkurve.png" (von Myon) so gar nichts mit dem Verlauf der Hypozykloiden zu tun haben??? Daher war ich etwas vorsichtig gewesen, darauf aufzusatteln. ... Ich denke, die Gleichungen wurden in die falsche Drehrichtung transformiert, daher meine Irritation. Grüße von Celestina
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 18:38    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: ... Wir hatten oben eine Lösung mit Wenn man für diese Gleichung eine Drehtransformation durchführt um , dann kommt man genau auf die Hypozykloiden, wie ich sie beschrieben habe, nur dass mein und ist, weil ich ein anderes System gewählt habe. Nach der Transformation setzt man folgende Terme ein, um auf die Hypothesen-Gleichung zu kommen: sowie und das ergibt dann (für mein System): Insofern kann man die Analogie anwenden. Was mich anfangs etwas irritiert hat, dass die rotierten Gleichungen für den "plot_bahnkurve.png" (von Myon) so gar nichts mit dem Verlauf der Hypozykloiden zu tun haben??? Daher war etwas vorsichtig gewesen, darauf aufzusatteln. Ich bin zumindest erst einmal zufrieden, dass sich die Gleichungen ineinander überführen lassen. Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 29. März 2024 15:42    Titel: Das Problem ist, dass die Bewegungsgleichungen im rotierenden System eklig werden. Egal. Wichtiger ist, worauf du letztlich hinauswillst.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 15:30    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Nein, das stört mich überhaupt nicht. Ich sehe nur, dass deine Vermutung in der vorliegenden Form nicht sinnvoll ist. Wir hatten oben eine Lösung mit Ich glaube, da liegt bei mir dann wohl der Knackpunkt. Die ganze Zeit denke ich in einem mit rotierenden Koordinaten-System. Und da ich meine berechneten Koordinaten permanent rotieren lasse, fällt bei mir der Körper anfangs senkrecht durch die Erdoberfläche und hat hinsichtlich dieses Bezugssystems KEINE Anfangsgeschwindigkeit. Deshalb komme ich mit den Bahnkurven der "Gravity-Train" wunderbar zurecht. Die elliptischen Bahnen hatte ich gar nicht mehr in petto. Diese eignen sich natürlich glänzend, um den Minimalabstand zum Erdmittelpunkt zu berechnen. Da ist der "Klebstoff" bzw. der Zusammenhang zwischen meiner Vermutung und dem "Gravity-Train-Problem", weil ich trotz vorhandenem keine Anfangsgeschwindigkeit wahrnehmen kann, sobald das KS mit rotiert. Und deswegen konnte ich für die Analogiebetrachtung das uminterpretieren hin zu unterschiedlichen Zielpunkten B bzw. Winkeln . Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 29. März 2024 14:12    Titel: Nein, das stört mich überhaupt nicht. Ich sehe nur, dass deine Vermutung in der vorliegenden Form nicht sinnvoll ist. Wir hatten oben eine Lösung mit Dein Ansatz liefert jedoch Aufgrund der letzten Gleichung haben die beiden Lösungensmengen außer einer trivialen Lösung nichts gemein. Ursache ist, dass die Ableitung nach t Null liefert, wenn ein Sinus stehen bleibt, aber auch dann Null liefert, wenn der Cosinus stehen bleibt, da sich wegen der Vorzeichen die Terme nach dem Ableiten für t=0 wegheben. Der Cosinus liefert beidemale 1, die Ableitung von theta ist identisch, also hebt sich das weg. Deine Idee ist interessant! Letztlich ist es die Fragestellung, was haben die Lösungsmengen zweier unterschiedlicher Probleme gemein? Aber damit da was sinnvolles rauskommt, muss man die Problemstellung weit genug fassen. Beispiel: Gegeben seien Lösungen zweier Bewegungsgleichungen, einmal Parabeln und einmal Ellipsen. Frage: In welchen Fällen sind diese identisch? Antwort: nie! Fassen wir das Problem jedoch weit genug, so stellt sich heraus, dass die bekannte Wurfparabel lediglich die Näherung an einen kleinen Ausschnitt einer Kepler-Ellipse darstellt. Das Problem ist also noch gar nicht die Lösung bzw. die Berechnung für deine Vermutung, sondern einige geeignete Formulierung. Evtl. verstehe ich aber auch noch nicht genau, worauf du hinauswillst. Deswegen reite ich so auf der Formulierung rum. Ich sehe im wesentlichen zwei verschiedene Stoßrichtungen: einerseits die Frage nach der geometrischen Form der Kurven, unabhängig davon in welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit sie durchlaufen werden; andererseits die Frage nach den Kurven mit der minimalen Zeit, und inwiefern diese Idee wieder auftaucht, wenn man eine völlig andere Fragestellung betrachtet, nämlich die Lösung zunächst ohne Betrachtung der minimalen Zeit. Beides ist interessant, und beide Stoßrichtungen haben auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun. Dann muss man auf die Details achten: Im zunächst betrachteten Fall erhalten wir für eine bestimmte Anfangsbedingung eine einzige und eindeutige Lösung; für diese eindeutige Lösung ist die Frage, ob sie die Zeit minimiert, offensichtlich sinnlos, da wir überhaupt nicht mit anderen Lösungen vergleichen können. Wir müssen also die Kriterien, die uns zu dieser Lösung geführt haben, geeignet aufweichen: Den Energiesatz werden wir nicht verwerfen, die Erhaltung des Drehimpulses wird für andere Formen der Röhren nicht gelten und muss daher aufgegeben werden; lternativ könnte man auch die Anfangsgeschwindigkeit anders festlegen, jedoch variiert man damit letztlich auf ziemlich triviale Weise die Zeit. Im der zuletzt von dir diskutierten Vermutung muss man den Ansatz zumindest dahingehend erweitern, dass er bezüglich der Anfangsbedingungen kompatibel wird; das ist meiner Meinung nach nicht der Fall, und deswegen braucht man aus gar nicht erst zu rechnen beginnen. Mich interessiert an der Diskussion daher zunächst, ob man für zwei völlig unterschiedliche Problemstellungen die Voraussetzungen so weit fassen kann, das gemeinsame Lösungen existieren.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 13:48    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Können wir das nochmal etwas eindampfen? ... *) müssen wir evtl. noch geeignet formulieren, z.B. die Drehimpulserhaltung aufgeben, jedoch Energieerhaltung behalten. Den Parameter b können wir noch unbestimmt stehen lassen. Deine Aussage Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Wenn die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit rotiert ersetzen wir durch die Festlegung einer geeigneten Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit. Ok? Du setzt m.E. zu viele Details voraus, die uns zu Beginn nicht interessieren, wodurch die Fragestellung sehr kompliziert wird und wir eventuell sogar Lösungen verlieren. Außerdem s.o. – dein Ansatz funktioniert m.E. nicht, da v(0) = 0 gilt. Wie gehst du damit um? Oder interessiert dich die von uns gefundene Lösung nicht mehr? Ich verstehe immer noch nicht, ob und wie du später den Zusammenhang herstellen möchtest. Ich verstehe allmählich, was dich an meiner Vorgehensweise stört. Ich setze etwas "Fertiges" vor und stelle plump die Vermutung an, dass es für mein Problem Gültigkeit haben könnte. Ist natürlich nicht sehr elegant und, da stimme ich zu, findet man keine Lösungen, die mehr Allgemeingültigkeit abdecken. Wie gesagt, ich traue mir das Lösen dieser komplexen Bewegungsgleichungen nicht zu, da ich beruflich weder in der Physik noch in der Mathematik beheimatet bin. Bei solchen Problem ist bei mir schnell Schluss. Insofern lasse ich mich gerne von den Profis beraten, wie man am besten herangehen sollte. Ich bin einverstanden, wenn als Anfangsbedingung das einfließt und das "b" noch offen gelassen wird, was heißt, dass ich den Zielpunkt B noch nicht voraussetze. Ich bin ja wirklich gespannt, wohin diese "Reise" noch führt? Wahrscheinlich werde ich von der dahintersteckenden Mathematik erschlagen werden, aber ich kann ja mal schauen, wie weit ich da noch mitkommen kann. Der "Worst-Case" wäre wohl, wenn das Problem nur numerisch gelöst werden kann. Dann könnte man auch nur einen numerischen Abgleich zu der Hypothese machen, und dieser fiele aus meiner Sicht ziemlich gering aus, wäre aber dann weiterhin kein gültiger Beweis. Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 29. März 2024 12:01    Titel: Können wir das nochmal etwas eindampfen? Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: … würde genügen, wenn die folgende Hypothese auf ihren Wahrheitsgehalt überprüft würde. … wird der Bahnverlauf eines frei fallenden *) Körpers von A nach B beschrieben, gemäß: *) müssen wir evtl. noch geeignet formulieren, z.B. die Drehimpulserhaltung aufgeben, jedoch Energieerhaltung behalten. Den Parameter b können wir noch unbestimmt stehen lassen. Deine Aussage Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Wenn die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit rotiert ersetzen wir durch die Festlegung einer geeigneten Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit. Ok? Du setzt m.E. zu viele Details voraus, die uns zu Beginn nicht interessieren, wodurch die Fragestellung sehr kompliziert wird und wir eventuell sogar Lösungen verlieren. Außerdem s.o. – dein Ansatz funktioniert m.E. nicht, da v(0) = 0 gilt. Wie gehst du damit um? Oder interessiert dich die von uns gefundene Lösung nicht mehr? Ich verstehe immer noch nicht, ob und wie du später den Zusammenhang herstellen möchtest.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 11:49    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: ... Grüße von Celestina Korrektur!!!
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 11:46    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Als Prüfkurve lässt sich dann noch vereinfachen zu: Grüße von Celestina
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 29. März 2024 11:17    Titel: Hallo, als Randbemerkung hätte ich vielleicht noch ergänzen müssen, dass die Herleitungen der Hypozykloiden von A. Maxham sich nur auf einen Spezialfall beziehen, wenn die Erde still stehen würde (Anfangsgeschwindigkeit v=0, weil ). Insofern kann man nur eine einzige gemeinsame Lösung für die beiden unterschiedlichen Problemstellungen identifizieren, nämlich der geradlinige freie Fall durch das Erdzentrum mit . Daher muss besonders darauf geachtet werden, dass auch die Weg-Zeitgesetzmäßigkeiten von beim „Gravity-Train“ und bei meinem Problem nichts gemeinsam haben. Deswegen kommen beim „Gravity-Train“ für die unterschiedlichen Brachistochronen unterschiedliche Fall- bzw. Fahrzeiten heraus, während bei meinem Problem bei unterschiedlichen „Frei-Fall-Situationen“ (in Abhängigkeit von ) stets dieselbe konstante Fallzeit gefordert ist. Daher ist für mich noch unbekannt. Oder anders ausgedrückt, müsste so gewählt werden, dass sich folgendes ergibt: wobei v* nicht das v vom „Gravity-Train ist! Diese Bedingung () muss für alle gelten. Man könnte diese Aussage auch als Prüfbedingung verwenden, wenn man hypothetisch voraussetzt, dass für meine Problemstellung der freie Fall die Kurvenform einer Hypozykloide annimmt. Um meine Hypothese zu entkräften, bedarf es eigentlich nur ein einziges Szenario zu finden, mit der die Prüfbedingung falsifiziert wird. Zum Beispiel für … und der dazugehörigen Hypozykloiden-Vorschrift: bzw. Vielleicht ist das ja eine Herangehensweise, um diesen Hypothesen-Ansatz frühzeitig ad acta zu legen oder gar in die Tonne zu treten. Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 29. März 2024 09:14    Titel: Andersherum: mich persönlich hätte eher interessiert, für welche Klasse von Kurven die von uns gefunden auch Extremalkurven bzgl. der Zeit sind. Da unsere Kurven jedoch eindeutige Lösungen sind, müssen wir die Bedingen lockern, um überhaupt eine Klasse von Kurven diskutieren zu können. Festhalten sollten wir an - Energieerhaltung Lockern könnten wir - Drehimpulserhaltung - Anfangsbedingungen Letzteres ist heikel, da andere Anfangsgeschwindigkeiten trivialerweise zu anderen Zeiten führen. Ich werde mir mal die selben Anfangsgeschwindigkeiten sowie natürlich die selben P und Q ansehen und dabei nicht mehr die Drehimpulserhaltung fordern. Außerdem ist mir folgendes aufgefallen: man erhält sicher die selben Zeiten zwischen P und Q, wenn man statt der oben berechneten Kurven einfach die Rotation des Körpers mit der Erdrotation, fixiert an der Erdoberfläche mit Radius r(t) = R betrachtet; dabei gilt neben der Energie- auch die Drehimpulserhaltung. Das ist zwar wieder eine andere Klasse von Kurven, aber es zeigt, dass die Frage nach Extrema nicht-trivial ist.
TomS	Verfasst am: 29. März 2024 07:34    Titel: Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du die Bedingung der Minimalkurve gar nicht betrachten und ausschließlich die geometrische Formen vergleichen. Jetzt bin ich mir nicht sicher weswegen du Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Wenn die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit rotieren würde … und Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: mit mit phi und theta einführst und nicht unmittelbar die Gleichungen (24) und (25) aus https://www.physics.unlv.edu/~maxham/gravitytrain.pdf verwendest. Außerdem verstehe ich nicht, wie du die Bedingung des freien Falls weiterhin aufrecht erhalten möchtest. Das kannst du nur entweder a) für die von uns oben abgeleiteten spezielle Lösungen tun, wobei b und phi nicht mehr frei wählbar sind, oder b) indem du die speziellen Anfangsbedingungen für die Geschwindigkeit aufgibst. Dann: ich modifiziere die Gleichungen (24) und (25) aus dem verlinkten PDF, indem ich einführe, um sie mit unserem Ansatz vergleichen zu können; ähnlich müsste man für b vorgehen. Die Idee ist, Spezialfälle zu betrachten. 1. Anfangsbedingungen Das gilt auch für deine Gleichungen, wenn ich identifiziere. Und damit handelt es sich im PDF sowie bei deiner Hypothese immer um eine andere Klasse von Bahnkurven als die bisher von uns betrachteten. Oder ich verstehe etwas grundsätzlich nicht. 2. Energieerhaltung 3. Impulserhaltung Habe ich dann nicht mehr betrachtet. Ganz allgemein betrachtet hast du zwei Mengen von Bahnkurven, und es geht darum jeweils die Spezialfälle herauszufinden, die die Schnittmenge definieren, bzw. umgekehrt, die nicht in dieser Schnittmenge liegen können.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 28. März 2024 22:16    Titel: Hallo, mir würde genügen, wenn die folgende Hypothese auf ihren Wahrheitsgehalt überprüft würde. PROBLEM: Gegeben sei die Erdkugel mit der Masse M und dem Radius R sowie einer homogenen Masseverteilung im Inneren. Die erste kosmologische Geschwindigkeit sei somit: mit Ein Startpunkt A auf dem Äquator ist definiert mit der Koordinate: wobei der Erdmittelpunkt im Ursprung liegt. Ein Zielpunkt B auf dem Äquator habe die Koordinaten: HYPOTHESE: Wenn die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit rotieren würde, dann wird der Bahnverlauf (Tunnel) eines frei fallenden Körpers von A nach B (durch die Erde hindurch) über eine Hypozykloide beschrieben, gemäß: mit und Der fallende Körper nähert sich dann dem Erdmittelpunkt bis auf den Radius und die Zeit des freien Falls von A nach B ist Ich hoffe, dass ich nicht noch irgendeinen Fehler hier eingebaut habe. Aber so sähe meine Vermutung aus. Grüße von Celestina
TomS	Verfasst am: 28. März 2024 18:11    Titel: Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben: Ich denke, mit diesem Problem kann man sich durchaus längere Zeit auseinandersetzen, wenn man einen Beweis (Pro oder Kontra?) erbringen wollte. Zunächst mal müsste man einige Zeit damit verbringen, die sinnvollen Hypothesen präzise zu formulieren.
TomS	Verfasst am: 28. März 2024 17:42    Titel: Danke für den Hinweis, hab den Fehler korrigiert. Und auch dir ein schönes Osterwochenende.
Celestina_Shepherd	Verfasst am: 28. März 2024 17:08    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: ... Wenn du nun ausgehend vom selben Anfangspunkt P einen anderen Endpunkt Q* erreichen möchtest, dann musst du irgendetwas an diesen Bedingungen ändern: entweder die Anfangsbedingungen, d.h. eine andere Geschwindigkeit, oder du verabschiedest dich vom freien Fall; änderst du daran nichts, änderst du auch Q nicht. Genau. Wenn ich einen anderen Punkt Q* erreichen will, dann muss ich entweder (bei verbleibenden Bedingungen) einen Zwang gegen den vorliegenden freien Fall einbringen (z.B. durch geänderte Tunnelkurve) oder aber ich ändere die Anfangsbedingung in der Form, dass ich ein anderes wähle und mich dann wieder in einem Freien-Fall-Szenario befinde, wobei die Zeit des Fallens konstant bleibt. TomS hat Folgendes geschrieben: Andererseits wissen wir unter zu Verwendung der allgemeinen Relativitätstheorie, dass von allen möglichen Kurven zwischen zwei Punkten P und Q diejenige Kurve die kürzeste Eigenzeit aufweist, die den kräftefreien Fall entspricht. Ich glaube, hier liegt ein kleiner Flüchtigkeitsfehler vor, weil in der ART nicht das Fermat'sche Prinzip zum Tragen kommt. Bei einer Bewegung durch ein Schwerefeld gilt: "Ein Objekt bewegt sich stets in der Weise von einem Ort zum anderen, daß eine mit ihm beförderte Uhr eine längere Zeit anzeigt, als sie auf jeder anderen möglichen Bahnkurve anzeigen würde." - Das ist ein Zitat aus "Physikalische Fingerübungen für Fortgeschrittene" Kap.6.7- R.P. Feynman - Es gilt also das Prinzip der maximalen Eigenzeit, wenn die Betrachtungen in der gekrümmten Raumzeit angestellt werden. Ich denke, mit diesem Problem kann man sich durchaus längere Zeit auseinandersetzen, wenn man einen Beweis (Pro oder Kontra?) erbringen wollte. Bestimmt keine leichte Angelegenheit. - Jetzt würde ich aber sagen: Genießt erst einmal das lange Oster-Wochenende!!! Vielen Dank für die bisherigen Kommentare! Grüße von Celestina

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