 Verfasst am: 09. Feb 2024 00:02 Titel: |
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Danke. Ich habe die Beleuchtung nochmal nachgebessert. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 08. Feb 2024 22:59 Titel: |
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Zunächst mal Kompliment an MBastieK für die 3D-Animation.
Das funktioniert in einer flachen Mannigfaltigkeit, also auch auf einem Kegel, da man die gesamte Mannigfaltigkeit eindeutig mit einem einzigen Vektorraum identifizieren kann. Es funktioniert nicht auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit M, da man hier in jedem Punkt P einen eigenen Tangentialraum TM(P) konstruieren muss. D.h. ein Vektor bei P lebt in einem anderen Vektorraum als einer bei Q; die beiden Vektoren können also nicht identifiziert werden; sie sind weder gleich noch ungleich. Allerdings kann man die TM(P), TM(P'), TM(P'') … aufeinander abbilden, insbesondere mittels des Paralleltransports (siehe anderer Thread). Und damit kann man Vektoren zwischen den Tangentialräumen transportieren und vergleichen. Bei der Definition der Rotverschiebung tut man letztlich genau das. |
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| Verfasst am: 08. Feb 2024 21:44 Titel: |
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 wie man sieht, kippt das kartesische Koordinatensystem, die Ausrichtung eines Vektors im Koordinatensystem bliebe gleich. Da wäre dann die Frage (@TomS) ist ein Vektor, der der Form des Tuches folgt, aber seine Ausrichtung im Tuch selbst nicht ändert, noch der gleiche Vektor? |
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| Verfasst am: 08. Feb 2024 20:53 Titel: |
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| Ich habs. Jetzt kann ich jede Textur raufsetzen. (Und die Beleuchtung verbessern) Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 06. Feb 2024 18:47 Titel: |
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Yeah, Danke. Das Programm kann süchtig machen. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 06. Feb 2024 18:35 Titel: |
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| Sieht gut aus. | |
| Verfasst am: 06. Feb 2024 18:26 Titel: |
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Vielleicht schaffe ich es noch, dieses Tuch ordentlich auf den Kegel aufzurollen, dann könnte man darauf jegliche Textur anschauen. Aber irgendwie würge ich mir da gerade nen ab. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 05. Feb 2024 11:15 Titel: |
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| Evtl. komme ich mit den Winkeln durcheinander; sollten wir mal sauber aufschreiben. Ich konstruiere meinen Kegel ausgehend von einer Kugelfläche in sphärischen Koordinaten. Der Äquator liegt bei Der Öffnungswinkel des Kegels ist definiert mittels eines Wertes Daraus folgt sowie die Rotation unter Paralleltransport. Alternativ kann man den Kegel so über eine andere (!) Kugel setzen, so dass er diese an einem bestimmten Breitenkreis berührt. Dann kann die Rotation unter Paralleltransport entlang dieses Breitenkreises der Kugel berechnet werden (Konsistenzcheck). Der halbe Öffnungswinkel des Kegels (an der Spitze) entspricht dem o.g. theta_0. Dieser hängt mit dem Breitenkreis der Kugel zusammen gemäß Für den flach ausgerollten Kegel gilt der Defizit-Winkel Siehe hier: https://math.stackexchange.com/questions/3377383/angle-relationship-between-cone-and-its-surface Die Berechnung für die Kugel findet man hier, Gl. (15, 16) https://cosmo.nyu.edu/yacine/teaching/GR_2019/homeworks/solution5.pdf Achtung: Koordinaten, Metrik und Christoffel-Symbole für die Kugel sind natürlich anders, aber für festes theta müssen die Paralleltransporte übereinstimmen, da der Kegel eine Tangentenfläche zum gewählten Breitenkreis auf der Kugel darstellt. Die Gleichungen (15, 16) stimmen mit meinen (im anderen Thread) überein. |
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| Verfasst am: 05. Feb 2024 07:04 Titel: |
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in welcher Hinsicht "stimmen"? (Womit nicht übereinstimmen?) Bild 5, zeigt was heraus kommt, wenn man parallele Pfeile am Rand entlang auf einem 90° Kreissektor (Viertelkreis) aus Papier einzeichnet. Die animierten Bilder dann, wie das auf einem daraus gebildeten Kegel aussieht. Was soll daran nicht stimmen? Man kann noch ein kartesisches Koordinatensystem (bzw. ein quadratisches Gitternetz) einzeichnen und würde, sehen, dass sich die Komponenten des Pfeils (als Vektor aufgefasst) nicht ändern, sondern vielmehr (beim gebildeten Kegel) die Achsen relativ zu einer Tangente am Kreisbogen gekippt werden, Winkel und Längen bleiben erhalten. Es liegt - nach meinem bescheidenen Verständnis - also keine intrinsische Krümmung vor, sondern allenfalls extrinsische, was ja mit Deinem Ergebnis übereinstimmt, dass der Krümmungstensor verschwindet (?). |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 20:58 Titel: |
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| Mit der neuen Erkenntnis (oder Textur) ist nun die Animation stimmiger. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 19:15 Titel: |
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Ja, habe ich. Ich bezweifle, dass die Graphiken hier stimmen. |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 18:39 Titel: |
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Ja. Und die oben erwähnte Summe (oder Durchschnitt) in meiner Erweiterung mit der Schar wäre 0 bzw. ein Null-Vektor. P.S. Bezüglich des sich verändernden Abstands der Vektoren zueinander: Man könnte in der oberen Animation auf der extra gezeichneten Linie nur einen Vektor einzeichnen, nämlich den, der zur Kamera am nächsten ist. So hätte man einen stationären Vektor, der sich sukzessive dreht (und dann springt) und das Problem mit der Äquidistanz wäre weg (oder verschleiert). Jedenfalls würde mein Prinzip der Schar bzw. Fotos alle 15° so eher (grafisch) aufgehen oder funktional. Ich frage mich auch parallel, ob man eine sich ändernde Vektoren-Dichte in eine sich ändernde Vektoren-Länge umwandeln kann. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 18:18 Titel: |
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da sieht man ja schon, wo der "Sprung" herkommt: Die Orientierung der Vektoren zum Kreisbogen verändert sich bei parallelen Vektoren natürlich kontinuierlich und nach 90° ist die um 90° verändert. Bei 360° (also volle Kreisscheibe) wäre die um 360° verändert und ein Sprung fände nicht statt. Der Sprung kommt daher, dass man ein Kreissegment rausschneidet und neu verklebt. Dann fehlen die Vektoren, auf dem ausgeschnittenen Kreissegment, die die Drehung zu einem kontinuierlichen Anschluss vervollständigt hätten. Scheint mir also eher ein Effekt des Defizits zu sein.... Eventuell hat TomS das im anderen Thread formal ausgerechnet, aber da brauche ich noch eine Weile, um das zu verstehen.... |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 17:54 Titel: |
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| Zusätzliche Bilder | |
| Verfasst am: 04. Feb 2024 17:53 Titel: |
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Ja, das ist diskutabel. Ich denke mir, dass überall Vektoren existieren, die, wenn alle aufgezeichnet, ein schwarzes Blatt hinterlassen. Aber ja, die Vektoren, die weniger in Richtung Kegelspitze zeigen, müssten an Abstand zueinander gewinnen, wenn sie plan gleichen Abstand hatten. Da war ich dann vielleicht zu frei, und hab den Abstand angepasst, da ich mir denke oder dachte, dass eher die Vektoren-Länge zählt als die Vektoren-Dichte, da ja, wie gesagt, überall eigentlich Vektoren existieren. Aber ich werde diesen weiteren Gedanken-Faktor mal in meine Gedanken einbeziehen. Jedenfalls habe ich: Bild 1: Planes Quadrat mit parallelen Linien (vormals auf Papier) Bild 2: Dies als Kreissektor Bild 3: Mit der eingezeichneten Extra-Linie, auf der die Vektoren starten im Gif Bild 4: Nur den Linien-Anteil, der die Vektoren bilden soll Bild 5: als Vektoren
Das ist ein Programm, was ich seit 25 Jahren mit mir rumschleppe. 3DsMax2.5. Damit könnte man auch morphen, d.h. ein planer Kreissektor in eine Kegelform, aber das kann ich zurzeit nicht. Ansonsten: ich muss Ihren letzten Beitrag nochmal langsamer und sinnerfassender lesen. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 16:37 Titel: |
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könnte man meinen, ich meinte aber, dass die - wenn man das so wie Susskind konstruiert nicht nur in der Richtung, sondern auch im relativen Abstand zur Kegelspitze ändern,
Sollte man meinen, dachte ich aus zwischenzeitlich, dass es entweder zwei Sprünge geben muss, oder einen Sprung und eine sukzessive Veränderung. Nach etwas Nachdenken kommt aber darauf an, was genau sich da sukzessive ändert. Wenn man die Vektoren wirklich alle parallel einzeichnet, wird (in 2D) keiner gegen seinen Vorgänger verdreht sein. Was sich ändert ist die Richtung bezüglich der Kegelspitze. Aber würden alle Vektoren Richtung Kegelspitze zeigen, wären die nicht mehr parallel, denn in 2D bedeutete dass, dass die vom Kreisrand zum Mittelpunkt zeigen.
Wie ich sehe haben Sie inzwischen das Gif ausgetauscht. Im ursprünglichen war ein Kegel mit größerem Öffnungswinkel zu sehen und die Pfeile haben sich um 90° gedreht. Das ist m.E. unrealistisch, ich hab mal versucht, den ursprünglich dargestellten Kegel mit Papier nachzubauen. Dazu habe ich dann aus einem Kreis ein 90° Kreissektor ausgeschnitten. Da kann ich schon nicht mehr quer äquidistant zu einem Durchmesser zeichnen, so dass auf dem ganzen Kegelumfang Pfeile zu sehen sind. Wenn ich erreichen will, dass die Pfeile beim gebildeten Kegel äquidistant zur Spitze oder Bodenfläche verlaufen, wie in Ihrem Gif, muss ich die entlang des Kreisbogens einzeichnen. Dann drehen die sich wie erwartet um 270°, und nicht wie in Ihrem (ursprünglichen) Gif um 90° Wenn ich auf dem platten Kegel an der Schnittkante mit einem Pfeil anfange, der zum Mittelpunkt zeigt, dann ist zeigt der parallel am Kreisbogen verschobene Pfeil nach 90° tangential zum Kreis, nach 180° von dem Kreismittelpunkt weg und nach 270° (der anderen Schnittkannte) wieder tangential zum Kreisbogen. (Auf dem gebildeten Kegel, dessen Umfang ja nur 3/4 hat, erfolgen diese Stellungen nach 120°, 240°, 360°) Ihr neues Gif sieht eher nach einem Kegel aus, der eine 90°-Drehung bewirkt. Aber auch da sind dann Pfeile entlang des Kreisbogens äquidistant zu dem Kreismittelpunkt (Kegelspitze) eingezeichnet, also bogenförmig. Auf diese Weise können Sie sicher erreichen, dass an der gleichen Stelle Ihres Fotos dann Pfeile unterschiedlicher Orientierung zu sehen sind, bzw. sie können alle auf dem Kegelmantel sichtbaren Pfeile mit allen Orientierungen durch Mehrfachbelichtung auf die gleiche Stelle des Films abbilden. Wenn Sie auf dem Kegelmantel allerdings ein kartesisches Koordinatensystem einzeichnen (oder einfach kariertes Papier nehmen) dann würden sie bei einer Mehrfachbelichtung auch eine Überlagerung verschieden orientierter Koordinatenachsen sehen, für jede Pfeilorientierung ein eigenes. Würden Sie daraus auch schließen, dass auf dem Gebildeten Kegel alle diese Koordinatensysteme "existieren", nur weil es möglich ist, die einzuzeichnen? *********************************************** P.S.: Coole Animation, mit welchem Programm haben Sie die erstellt? Können Sie damit auch dern Platten Kegel darstellen? |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 14:50 Titel: |
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Der Umkehrschluss würde aber bedeuten: Wenn die Kamera auf einen Bereich des Kegels nah ranzoomen würde, sodass man nurnoch einen Nahbereich oder Ausschnitt sieht und die Kamera Winkel und Position hält und sich dann der Kegel dreht, dass sich die gesehenen Vektoren nicht verändern in ihrer Richtung.
Ja, habe ich gerade auch zusätzlich mit Papier gemacht. Die Vektoren drehen sich doch sukzessive mit der Kegel-Drehung. Allein wegen der Sprungstelle ist das Prinzip doch offensichtlich. Da die Vektoren z.B. in Anfangsposition zur Kegel-Spitze zeigen und nach Umdrehung seitlich, und dazwischen halt ein sukzessiver Übergang existieren muss. Die Sprungstelle impliziert den sukzessiven Übergang an den anderen Orten. Siehe Gif. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 04. Feb 2024 08:57 Titel: |
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Glaub ich nicht. Haben Sie das mal ausprobiert, oder nur vorgestellt? |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 20:07 Titel: |
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Bei dem, was ich da mache bzw. gedanklich spiele ist es irrelevant, ob die Sprungstelle an der Schnittkante ist oder nicht. Die Sprungstelle an der Schnittkante oder davon entfernt: Wenn man so einen Kegel (mit seinen vorher plan aufgezeichneten parallelen Vektoren oder Ihre sprungstellen-versetzte Version) an seiner symmetrischen Rotations-Achse dreht und bei dieser Drehung alle 15° ein Foto aus dem selben Winkel* schiesst und diese Fotos anschliessend ausreichend durchsichtig sind und überlagert, dann sieht man überlagerte und gedrehte Vektoren fast an jedem Punkt auf dem Kegel. D.h. eine Schar an jedem Ort. Mathematische oder ausser-mathematische Spielerei halt. *d.h. fest stehender oder am Ort verbleibender Kamera Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 19:19 Titel: |
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Lass es uns dort diskutieren. Hier nur ganz kurz: Die Reihenfolge lautet: 1) Aufschneiden und bei Verkleben – keine Sprungstelle auf der glatten Mannigfaltigkeit 2) Einzeichnen des Vektors und dessen Transport entlang einer geschlossenen Kurve – Unstetigkeit des Vektors (2) ist aber keine Konsequenz von (1), da (1) zur Konstruktion verzichtbar ist, genauso wie die Einbettung in den 3-dim. Raum. Deswegen der ganze Aufwand, aber bitte im anderen Thread, dazu ist der ja da. |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 19:09 Titel: |
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wieso sehe ich die dann?
also in meinen realen Konstruktionen existiert eine Sprungstelle, wenngleich auch nicht zwingend an der Schnittkante, sondern vielmehr dort, wo man anfängt zu zeichnen. D.h. wenn ich rundherum zeichne, stelle ich fest, dass ich in einer anderen Orientierung ankomme, als ich angefangen habe. Vorher sind alle Pfeile parallel, die Veränderung der Orientierung scheint also nicht kontinuierlich statt gefunden zu haben. Ist dieses Phänomen ein Artefakt davon, dass es keine idealisierte Konstruktion ist? Wenn die triviale Äquivalenz von weiter oben gilt, dann ist klar, dass man bei einem Umlauf einmal über die (beliebig wählbare) Schnittkante kommt und dort im platten Fall ein Sprung um den Öffnungswinkel stattfindet, der sich allerdings nicht notwendig an dieser Stelle beim gebildeten Kegel zeigt.
Leider kann ich den verlinkten Beitrag nicht so einfach nachvollziehen.... |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 19:05 Titel: |
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Ja, ok, dann bin ich an irgendeiner Stelle abgeschweift. Irgendwo in eine andere gedankliche Richtung gegangen. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 19:02 Titel: |
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Aber genau das macht man nicht. Man betrachtet eine glatte Mannigfaltigkeit M, und konstruiert daraus ggf. andere glatte Mannigfaltigkeit M', M'' … durch Aufschneiden und neu Verkleben u.a. Operationen. Anschließend definiert man auf jeder einzelnen Mannigfaltigkeit Vektorfelder. |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 19:01 Titel: |
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Ja, es ist auch richtig, was Sie sagen. Aber es ist irrelevant bezüglich meiner Erweiterung. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 18:58 Titel: |
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Okay, also nicht verstanden. Ich hatte geschrieben, dass die Sprungstelle nur zufällig an der Schnittkannte ist, wenn man das so macht wie Susskind.
nein Sie können die Pfeile auch auf den gebildeten Kegel zeichnen und dann irgendwo auseinanderscheiden, wo keine Sprungstelle ist. |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 18:45 Titel: |
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Ja, schon klar.
Auch klar.
Und wenn man vor dem Zusammenkleben auf der flachgelegten Vorversion parallele Vektoren aufzeichnet und dann zusammenklebt? Dann hat man doch dort an der Klebestelle eine gewisse Problematik oder Unordnung in Form von Nicht-Parallelität? Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 18:38 Titel: |
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Es gibt keine Sprungstelle und keine ausgezeichnete Schnittkante. Nehmen wir eine Kreisscheibe. Wir zeichnen einen Radius ein, schneiden dort auf und verkleben sofort wieder nahtlos und glatt. Zurück bleibt der ursprüngliche Kreis. Anschließend machen wir das selbe, jedoch schneiden wir vor dem Verkleben einen Keil heraus und erhalten so nach dem Verkleben einen sauberen, glatten Kegel. In beiden Fällen existiert keine keine Sprungstelle und keine ausgezeichnete Schnittkante. Es handelt sich auch nur um eine gedankliche, idealisierte Konstruktion, nicht um eine reale. Im verlinkten Beitrag ist das vorgerechnet; eine Schnittkante existiert nicht. |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 18:27 Titel: |
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Ja, nicht möglich in der ursprünglichen (von mir nicht erweiterten) Version, wo es nur eine Schnittkante gibt, die eine Sprungstelle bildet.
Naja, wo man eine Sprungstelle hat, da ist ja die ausgezeichnete Schnittkante. Vielleicht benutze ich den Begriff 'ausgezeichnet' falsch oder entlehne ihn.
Naja, dass es in meiner Erweiterung überall eine Schnittkannte gibt. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 18:21 Titel: |
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| Bis auf den Beweis der Flachheit sowie die Zurückführung der Krümmung auf den Paralleltransport habe ich das jetzt fertig: https://www.physikerboard.de/ptopic,395590.html#395590 |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 18:15 Titel: |
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Aber Sie behaupteten doch, verstanden zu haben, dass das nicht möglich ist?
Die Schnittkannte war beim gebildeten Kegel nie ausgezeichnet
Die unendlich vielen Scharen aus unendlich vielen Vektoren resultieren nicht daraus, dass es keine ausgezeichnete Schnittkannte gibt, sondern aus Ihrer Annahme deren Existenz.
Die Summe existiert unabhängig davon, ob die jemand bildet. |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 13:44 Titel: |
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Naja, bei ner Summe über eine kontinuierliche Menge oder Schar hätte man einen unendlich langen Vektor. Oder?
Ja, weil es keine ausgezeichnete Schnittkante mehr gibt, sondern überall. Und dann aus der resultierenden Schar, wie Sie sagten, eine Summe (oder Durchschnitt) gebildet wurde. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 13:33 Titel: |
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(Summe, nicht Durchschnitt) Also überall parallele Vektoren, dann existieren doch insbesondere auch über einen Umlauf parallele Vektoren? |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 13:11 Titel: |
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Dass ich mir überall eine Schnittkante hindenke, sodass überall alle Vektormöglichkeiten existieren. Die dann wiederrum, nach Ihrer Ergänzung, zu einem Durchschnittswert zusammengefasst werden könnten. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 13:04 Titel: |
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Und wie passt das damit zusammen?
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 12:54 Titel: |
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Ja, aber wie in abstrakter Beschreibung? So sicherlich nicht. Und irgendwie widerspricht dies ja für mich dem Prinzip der Abbildung, da ja eigentlich immer auf einen Wert abgebildet werden soll. (Man könnte mit einem weiteren Parameter arbeiten, um einen bestimmten aus der Schar herauszuwählen, aber in diesem Beispiel ist ja die Schar immer gleich.) Mich interessiert nur die abstrakte mathematische Beschreibung, in Form von Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 12:51 Titel: |
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Hallo!
Ja, habe ich mir auch schon gedacht. Trotzdem interessiert es mich auch so. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 12:02 Titel: |
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Das entspräche in jedem Punkt einem resultierenden Vektor, der in 45° zeigt. |
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| Verfasst am: 03. Feb 2024 09:13 Titel: |
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| Ja, kann man machen. | |
| Verfasst am: 03. Feb 2024 01:17 Titel: |
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Z.B. in einer 2-dimensionalen euklidischen Geometrie oder Fläche, wo an jedem Punkt auf der Fläche die selbe kontinuierliche Vektor-Schar existiert. Vektor-Schar: Hier z.B. ein Einheits-Vektor beginnend bei 0° und endend bei 90° mit kontinuierlichem Übergang. Nette Grüsse |
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| Verfasst am: 02. Feb 2024 22:46 Titel: |
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Der nicht-triviale Transport des Vektors einer geschlossen Kurve auf dem Kegel. |
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