 Verfasst am: 11. Jan 2024 19:41 Titel: Re: Trägheitstensor Dreieck |
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Integriert wird über das Volumen des Körpers, in diesem Fall faktisch eine Fläche, da die Dicke des Dreiecks vernachlässigbar klein sein soll. Der Vektor r zeigt vom Ursprung zum Volumenelement dV=dx*dy*dz. (r1,r2,r3) stehen für (x,y,z). Der Betrag ist
Wie gesagt, es muss über das ganze Volumen integriert werden. In diesem Fall sind die Integralgrenzen nicht unabhängig voneinander: Für die lange Seite des Dreiecks gilt die Gleichung x+y=a. Integriert man y von 0 bis a, so muss man deshalb x von 0 bis a-y integrieren. Im Integral unten habe ich angenommen, die (sehr kleine) Dicke des Dreiecks sei gleich d (Ausdehnung in z-Richtung). Dieses d hebt sich am Ende ohnehin wieder raus. Als Beispiel die (x,x)-Komponente des Trägheitstensors: Dabei ist rho, anders als im Aufgabentext, die Masse pro Volumen, Ich wusste sonst grad keinen Weg, wie ich das Integral aufschreiben soll (man müsste sonst nur über die Fläche statt das Volumen integrieren). |
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| Verfasst am: 11. Jan 2024 17:24 Titel: Trägheitstensor Dreieck |
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| Hallo zusammen, ich habe Verständnisprobleme mit der Formel in dieser Aufgabe: Betrachten Sie einen flachen Festkörper in Dreiecksform mit gleichmäßiger Dichte ρ = M/S, wobei M die Masse und S = a^2/2 die Fläche des Körpers sind. Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig, und a ist die Länge einer der Seiten mit gleicher Länge. Wir wählen die Ecke des rechten Winkels als Ursprung des Koordinatensystems. Die x- und y-Achse sind entlang der gleichen Seiten des Dreiecks und die z-Achse senkrecht zu der Dreiecksfläche. Der Trägheitstensor ist eine reelle symmetrische 3×3 Matrix deren Komponenten durch: (siehe Attachment) gegeben sind. Dabei bezeichnet der Vektor r = (x, y, z) den Ortsvektor bzgl der Standardbasis und rl dessen lte Komponente, sowie δlm das Kronecker-Delta. (Offenbar ist J eine symmetrische Matrix, also Ilm = Iml). Ich verstehe die Formel nicht so ganz. Was ist mit dem Vektor r gemeint? Setze ich da immer (x, y, z) ein oder muss ich das irgendwie für jede Komponente anpassen? Außerdem: wie wähle ich die Grenzen? Ich habe eben versucht, die erste Komponente zu berechnen, und habe dafür 0 <= x <= a 0<= y <= a und 0 <= z <= 0 verwendet - bei z bin ich mir unsicher. Ich habe auf jeden Fall etwas falsches herausbekommen. Kann mir jemand vielleicht die Rechnung für die erste Komponente zeigen? Ich denke, dass mir dann klar wäre, was zu tun ist. Zur Kontrolle: Die erste Komponente ist Ma^2/6. |
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