 Verfasst am: 23. Jan 2015 21:07 Titel: |
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| Kann mir jemand erklären, ob und wenn ja wie eine Lagrangesche Formulierung der "Newtonschen Geodätengleichung" funktioniert, unter der Berücksichtigung, dass Der Zusammenhang Gamma nicht aus einer Metrik folgt? Anders gefragt, wie sieht das Linienelement ds bzw. die Wirkung S aus, ohne eine Metrik zu benutzen? Kann das überhaupt sinnvoll funktionieren, denn eine infinitesimale Länge ds (bzw. allgemein eine Länge) kann ja nur mittels einer Metrik definiert werden, die ich gerade nicht zur Verfügung habe? Muss ich also die Definition von Geodäte als kürzeste Verbindung zweier Punkte aufgeben? Ich denke, ja. Wie lautet dann eine Lagrangesche Formulierung für die Geodätengleichung als geradeste Verbindung zweier Punkte? |
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| Verfasst am: 18. Jan 2015 11:51 Titel: |
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| Ich denke, die Diskussion führt jetzt nicht wirklich weiter. Ich habe an deiner Diskussion bzgl. einer Gerade im Raum nichts auszusetzen. Ich habe lediglich angemerkt, dass Tueffel sich sicher nicht darüber im klaren war, dass es verschiedene mögliche Definitionen in diesem Kontext geben könnte, und dass man diese diskutieren sollte, um klarzustellen, welche er/sie wirklich meint. Ob er/sie deine meint, wissen wir leider immer noch nicht, und nach seinem/ihrem letzten Beitrag ist das noch unklarer als zu Beginn. Es geht auch nicht um eine Axiomatikkeule, sondern um die Klarstellung, was in welcher Theorie überhaupt diskutierbar ist und welche Begriffe sinnvollerweise was bedeuten oder wie definiert sind. Dann zu deiner offenen Frage:
Ich denke, das sollte klar sein. Zunächst mal zu meiner Intention: Ich habe immer gesagt, dass eine Landebahn sich dadurch auszeichnet, dass man auf ihr landen kann. Und daher habe ich immer auch die Weltlinie eines Objektes betrachtet, das landet, und ich habe die Projektion dieser Weltlinie in den 3-Raum betrachtet. Die lichtartige Weltlinie hat dabei den Vorteil, dass sie außerdem der Konstruktion mittels Laservermessung entspricht. Nun zum Kriterium der Geradheit: nehmen wir deine Definition, also Geodäte bzgl. der 3-Mannigfaltigkeit. Und nehmen wir meine Konstruktion mittels Geodäte in der 4-dim. RZ plus Projektion in den 3-Raum. Es ist klar, dass diese nicht zwingend übereinstimmen müssen. Wann stimmen sie denn überein? 1) Die in den 3-Raum projizierte Geodäte eines frei fallenden, massebehafteten Objektes ist (näherungsweise) ein Ellipsen- oder Hyperbelabschnitt. Im kleineren Maßstab wie einer realen Landebahn und für kleinere Geschwindigkeiten ist die Näherung der Wurfparabel sinnvoll. 2) Die in den 3-Raum projizierte lichtartige Geodäte (eines Laserstrahls) ist im kleineren Maßstab einer realen Landebahn näherungsweise eine Gerade. Sowohl für (1) als auch für (2) argumentiere ich jetzt gar nicht mathematisch, obwohl man das natürlich tun kann, sondern rein anschaulich. 3) Deine Definition führt näherungsweise auf gewöhnliche Geraden im flachen Raum (wenn du die ART und demzufolge die induzierte Geometrie im 3-Raum benutzt, ist diese ja in sehr guter Näherung, jedoch nicht exakt, flach). Ich kann also prüfen, welche meiner Konstruktionen mit deiner Konstruktion übereinstimmen. Für lichtartige Geodäten ist dies näherungsweise der Fall, für zeitartige Geodäten langsam bewegter Objekte offensichtlich nicht. Die projizierte lichtartige Geodäte führt auf eine Gerade, die projizierte zeitartige Geodäte auf eine Wurfparabel. Letztere ist krumm, d.h. sie weicht stark von einer raumartigen Geraden ab. |
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| Verfasst am: 18. Jan 2015 11:42 Titel: |
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Nein, hast du nicht. Du hast behauptet Tueffels Frage sie sei im Kontext der Newtonschen Mechanik (um den es Tueffel laut seiner eigenen Aussage ging) "blödsinnig" und ihm damit implizit geraten, seine Frage zurückzuziehen, was er ja nun auch getan hat. Ich halte zwar auch deinen Vorwurf ich würde mich der Präzisierung verweigern, für mutwillig aus der Luft gegriffen. Aber meine Interpretation von Tueffels "Gerade im Raum" ist ja kurz genug um sie extra noch mal zu wiederholen. Sie lautet: "Geodäte innerhalb der Menge gleichzeitiger Ereignisse eines momentanen Beobachters". (Diese Definition funktioniert sinngemäß übrigens sowohl in der ART als auch der Newtonschen Mechanik.) Wenn ich mich nicht täusche, hast du mich bisher nicht darum gebeten, daran irgendetwas zu präzisieren und ich bin davon ausgegangen, daß diese Definition hinreichend präzise ist. (Auf die Mehrdeutigkeiten der Definition von "Gleichzeitigkeit" in der ART und warum ich sie für irrelevant halte, habe ich hingewiesen.) Im Gegenzug warte ich übrigens immer noch auf eine Antwort darauf, nach welchem Kriterium du Ellipsen und Wurfparabeln als "eher krumm", aber projizierte Lichtstrahlen als eher gerade einordnest.
Wie ich diesen Weg beschreiben würde, habe ich bereits auf der ersten Thread-Seite skizziert, und zwar ungefähr so: Im Gedankenexperiment geht es um die Wirkung der Gravitation. Diese beruht auf dem Äquivalenzprinzip. Dieses führt -- nicht logisch zwingend, aber recht natürlich -- auf eine gekrümmte Raumzeit (bei Newton und Einstein). Der innerhalb dieser Raumzeit über den Begriff der Gleichzeitigkeit definierbare dreidimensionale Raum ist in der ART relativ (beobachterabhängig) und im allgemeinen gekrümmt, in der Newtonschen Mechanik ist er absolut (beobachterunabhängig) und immer flach. Also in den relevanten "physikalischen Kontexten" herrscht (mehr oder weniger) Einigkeit über die Krümmung der Raumzeit, aber ganz eindeutig Uneinigkeit über die Krümmung des Raumes. Deshalb kann man aus der Wirkung der Gravitation allein nicht auf die Raumkrümmung schließen. Ob man auf die Raumzeitkrümmung schließen kann, ist eine subtilere Frage, aber in bezug auf die Raumkrümmung ist die Antwort m.E. ziemlich eindeutig "Nein." Wenn ich Tueffels Intention richtig verstanden habe, ging es ihm genau um eine solche Auslotung der Konsequenzen, die die Wirkung von Gravitation auf die Geometrie des Raumes hat. Ich finde einen Gedankengang der dahingehend nur vom Äquivalenzprinzip ausgeht in diesem Zusammenhang sogar erhellender, als einfach mit der Axiomatikkeule draufzuschlagen und zu sagen "die Newtonsche Mechanik wird in einem euklidischen Raum formuliert." Denn das Äquivalenzprinzip scheint nicht weniger grundlegend zu sein, als die konkrete geometrische Struktur der Raumzeit. Deshalb ist die Frage doch gerade "Warum können wir Gravitation innerhalb der Newtonschen Mechanik auf einem flachen dreidimensionalen euklidischen Raum formulieren?" und "Welche Forderungen stellt ganz allgemein das Äquivalenzprinzip an die Geometrie von Raumzeit und Raum bzw. welche Freiheiten läßt es?" Ich behaupte übrigens auch nicht, diese Fragen beantwortet zu haben, sondern nur, daß schlaue Lehrsätze wie "die Newtonsche Mechanik wird in einem euklidischen Raum formuliert" das Ergebnis solcher Fragestellungen sein sollten, nicht der Ausgangspunkt von dem aus man sie beantwortet. |
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| Verfasst am: 18. Jan 2015 11:38 Titel: |
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| Tja, an was hast du denn dann gedacht? Es gibt zwei Theorien, die die Gravitation beschreiben: - Newtonsche Mechanik im flachen, euklidschen Raum - Einsteinsche ART mit gekrümmter Raumzeit (und gekrümmtem Raum) Mehr Theorien dazu kennen die Physiker nicht; und in einer davon müssen wir diese Diskussion ansiedeln. In welcher? |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 21:54 Titel: |
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| @TomS. Bei meiner Frage habe ich nicht an die klassische Mechanik gedacht. Ich dachte allein schon die Frage nach einer Krümmung würde das erkennen lassen. Ebenso wenig habe ich an eine (vierdimensionale) gekrümmte RZ der ARD gedacht und wäre nicht darauf gekommen, dass jemand das so sehen könnte. Aber, lassen wir das. Ich folge deinem Vorschlag, ziehe die Frage zurück und bedanke mich für die Diskussion. | |
| Verfasst am: 17. Jan 2015 16:49 Titel: |
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| Gut, einiges wird klarer, einiges leider nicht! Die Frage, die in der Frage vorkommenden Begriffe, sowie die Antwort ist kontextabhängig. Die Begriffe müssen auf einen physikalischen Kontext und die dort gültigen Definitionen abgebildet werden. Das ist bei physikalischen Fragestellungen immer so. Die Frage ist, ob ich aus dem Hinabrollen der Kugel auf die Krümmung des Raumes schließen darf. Im Kontext der Newtonschen Mechanik lautet die Antwort: "Nein, denn die Newtonsche Mechanik wird in einen euklidschen Raum formuliert." Im Kontext der ART lautet die Anwort zunächst: "Die Frage ist unglücklich formuliert. Es müsste nach der Krümmung der Raumzeit gefragt werden". Oder ähnliches, jedenfalls ist die Frage noch nicht präzise gestellt, und deswegen kann man sie so auch noch nicht präzise beantworten. Die Differentialgeometrie als Kontext hilft nicht weiter, das ist kein physikalischer Kontext, sondern ein mathematischer. Und man kann auch die Newtonsche Mechanik mittels Differentialgeometrie z.B. auf symplektischen Mannigfaltigkeiten beschreiben. Ich habe nicht Tueffels Frage als dumm hingestellt, sondern eher deine Verweigerung, diese Frage sowie die Begriffe zu präzisieren. Die Antwort "Nein" ist nämlich wenig erhellend, der Weg dahin ist das spannende. Tueffel hat sicher von den exakte Definitionen wenig Ahnung. Deshalb sollte man ihm/ihr klarmachen, was er/sie verstehen muss und wie diese Frage präzise zu verstehen ist. Dass du dies verstehst, hilft Tueffel nicht wirklich weiter. |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 15:32 Titel: |
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Keineswegs. Die Frage war, ob man aus dem spontanen Hinabrollen einer Kugel oder etwas ähnlichem entlang einer geraden Linie im Raum, schlußfolgern darf, daß der Raum, in dem die Bewegung stattfindet, gekrümmt ist. Das ist nicht so dumm, wie du es jetzt hinstellst. Insbesondere hat Tueffel nicht gefragt, ob ein flacher Raum gekrümmt ist, sondern eben eher aus welchen Eigenschaften von Objekten innerhalb des Raums man auf dessen Krümmung schließen kann. Die klassische Differentialgeometrie gründet sich praktisch auf der Untersuchung dieser oder verwandter Fragen. Die Antwort lautet in diesem Fall "Nein, aus dem beschrieben Gedankenexperiment darf man nicht auf die Raumkrümmung schließen."
Warum? Mein Anliegen ist genau dasselbe. Ich halte die Voraussetzungen des Gedankenexperiments nur für weit weniger unklar als du. Insbesondere halte ich an dem Begriff "Gerade im Raum", nicht die Gerade für problematisch, sondern allenfalls die Definition von "Raum" (in der ART), allerdings nicht in der Situation die das Gedankenexperiment beschreibt. |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 14:49 Titel: |
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| Die Antwort lautet nicht "Nein". Die Frage ist kontextabhängig. Die Newtonsche Mechanik wird in einem flachen, eukidschen Raum formuliert. Die Frage, ob dieser gekrümmt ist, ist ungefähr so sinnvoll, wie die Frage, ob mein schwarzes Auto weiß ist. Die ART wird auf einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit formuliert, die Krümmung zulässt; das gilt auch für raumartige Untermannigfaltigkeiten. Tueffel schreibt und fragt zu Geraden sowie Krümmung, ohne dass er/sie den Kontext definiert und ohne dass er Gerade und Krümmung definieren kann. Muss er auch nicht, deswegen fragt er/sie ja. Mein Anliegen besteht darin, den Kontext zu definieren und zu erklären, was an Definition und Anwendung des Begriffs "gerade" und "gekrümmt" in seinem Beispiel unklar ist und diskutiert bzw. definiert werden sollte. Aber gut, wir können das auch lassen.
Allein diese Aussage zeigt, dass du nichts verstehst! Wenn ein Flugzeug entlang einer zeitartigen Weltlinie ausrollt und dabei der Boden angemalt wird, entsteht aus einer zeitartigen Weltlinie eine raumartige farbige Linie. Es ist völlig uninteressant, über raumartige Landebahnen zu sprechen, wenn man nicht zeitartig auf ihnen landen kann! |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 14:17 Titel: |
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Nur weil die Antwort eindeutig "Nein" lautet, ist die Frage doch nicht gleich blödsinnig. |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 14:12 Titel: |
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Weil du diese Frage stellst:
Das ist aus deinem allerersten Beitrag! Entweder willst du's wirklich wissen, dann bemühen wir die ART, oder du ziehst die Frage zurück. Weil im Rahmen der Newtonschen Mechanik ist die Frage nämlich ziemlich blödsinnig! |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 13:43 Titel: |
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| @TomS. Gut, es ist trivial. Deshalb verstehe ich auch nicht, weshalb du die ganze Zeit die ART bemühst. Zum Schluss konnten wir uns doch auf dem vergleichsweise sehr niedrigen Niveau darauf einigen, was gerade ist. Und wie du richtig feststellst, ist diese doch recht einfache Definition immerhin so allgemein, dass sie die verschiedenen von dir vorgestellten und umfassend diskutierten Definition einschließt. | |
| Verfasst am: 17. Jan 2015 13:18 Titel: |
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Wo ist der Unterschied, ob ich die Erde betrachte oder ein Schwarzes Loch?
Ich dachte, er hätte sich inzwischen festgelegt. Egal, ich sehe keine Alternativen. "Geodäte" ist die einzig geläufige Verallgemeinerung von Gerade in semi-riemannschen Räumen. In der ART ist also eine "Gerade im Raum" eine "Geodäte im Raum". Was ist "Raum"? Die Menge aller gleichzeitigen Ereignisse relativ zu einem momentanen Beobachter (der in diesem Fall hinreichend festgelegt ist). "Projektion von lichtartigen Geodäten" ist doch nicht synonym zu "Gerade im Raum" es sei denn du kannst zeigen, daß es innerhalb des Raumes, auf den du projizierst eine Geodäte ist. Ich bin mir nicht sicher, daß das immer funktioniert, denn es gibt unterschiedliche Definitionen von Gleichzeitigkeit. Aber wenn du mir sagst unter welchen Bedingungen deine Konstruktion eine solche Geodäte ergibt, wäre ich vollends dankbar und zufrieden. ;-)
Doch ist es. Eine Landebahn ist ein räumlich ausgedehntes Objekt. Sowas hat keine Darstellung mittels einer zeitartigen Linie. Die einzelnen Teile der Landebahn haben jeweils ihre eigenen zeitartigen Linien, die "Ruhe" relativ zur Erde definieren. In der Raumzeit ergibt das dann eine zweidimensionale Fläche. Die Schnitte gleichzeitiger Ereignisse durch diese Fläche definieren die Eigenschaften der räumlichen Geometrie der Landebahn.
Das stimmt, heißt aber nur, daß die Voraussetzungen des Gedankenexperiments auf dem Ereignishorizont nicht erfüllbar sind. Das liegt einzig daran, daß dort keine ruhenden Beobachter existieren. Damit kannst du nicht definieren was Raum dort bedeutet und der Rest erübrigt sich. Trotzdem lassen sich die Voraussetzungen des Gedankenexperiments erfüllen, nur eben nicht auf dem Ereignishorizont.
Ich frage doch gerade danach, mit welchem Kriterium du das unterscheidest und du antwortest lapidar das sei trivial. Alles was du bisher dazu gesagt hast, ist, daß du gern lichtartige Geodäten projizieren willst, während zeitartige Geodäten ausscheiden, weil dir Ellipsen und Wurfparabeln irgendwie nicht gerade genug vorkommen. Das ist doch der entscheidende Punkt, an dem du viel expliziter sein mußt. Ellipsen und Parabeln erscheinen dir "eher krumm", weil du die Euklidische Struktur des dreidimensionalen Raumes implizit als selbstverständlich annimmst.
Er meint eine "Gerade im Raum". Das ist doch eindeutig.
Ja und? Auf einer raumartigen Kurve kann er natürlich nicht landen. Ich hatte schon erläutert, daß diese raumartige Kurve, von der ich spreche, nur derjenige Teil des Raumzeitobjekts "Landebahn" ist, welcher für die Frage nach der räumlichen Geometrie relevant ist. Daß du die Punkte der räumlichen Kurve nicht gleichzeitig, sondern nacheinander (also auf einer zeitartigen Weltlinie) durchläufst, hat mit der Frage einfach nichts zu tun. Und im Sinne dieses Gedankenexperiments reicht mir eine "Konstruktion" mittels Lösung der Geodätengleichung aus, auch wenn dies keine für den Tiefbau praktikable Methode ist. |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 10:26 Titel: |
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| Das ist so ziemlich das einzige Beispiel, in dem die triviale Vorstellung von "gerade" für alle diskutierten Ideen aus der ART 1) als zeit- oder lichtartige Geodäte in der Raumzeit: ein Objekt fällt frei entlang des Fadens 2) der Faden als raumartige Geodäte in der Raumzeit 3) im Raum, d.h. gerade entsprechend der intrinsischen Krümmung übereinstimmende Anschauungen liefert, und in dem 4) die Projektion der Geodäten aus der RZ in den Raum Geodäten auf Geodäten abbildet. Du verwechselst da nichts, der Faden ist nach allen Definitionen (1 - 4) gerade. Aber das ist langweilig, das müssen wir nicht diskutieren. Ich versuch's ein letztes Mal: Die Weltlinie eines frei fallenden Objekte entspricht gemäß ART einer Geodäten in der Raumzeit, also dem verallgemeinerten Begriff einer Geraden. Demzufolge ist die Geodäte, die die Erde um die Sonne beschreibt eine "Gerade in der gekrümmten Raumzeit". Aber die Projektion dieser Geodäte in den Raum ist eine Ellipse im Raum, keine Gerade. Ähnliches gilt für die Geodäte eines masselosen Objektes. Allerdings ist hier die Abweichung von der Geraden im Raum so gering, dass sie nur in Spezialfällen messbar ist. Eine Landebahn als Tangente an die Erdoberfläche ist eine Gerade im Raum. Und sie entspricht einer lichtartigen Geodäten (Vermessung mittels Laser). Aber ein Flugzeug, das auf dieser Landebahn ausrollt, beschreibt keine Geodäte in der Raumzeit, da es nicht kräftefrei ist bzw. nicht frei fällt. Eine raumartige Geodäte in der Raumzeit kann prinzipbedingt nicht die Weltlinie eines physikalischen Teilchens sein. Wenn wir diese dennoch als Ausgangspunkt für die Landebahn benutzen, dann müssen wir diese Geodäte wieder in den Raum projizieren. Es ist i.A. völlig unklar, dass dabei wieder so etwas wie eine Gerade im Raum herauskommt (siehe oben). Zudem entspricht die zeitartige Weltlinie eines Objektes, deren Projektion dieser Landebahn folgt, i.A. keiner Geodäten (siehe oben). Wenn ich eine raumartige Geodäte bzw. deren Projektion oder direkt eine raumartige Gerade als Landebahn benutze, dann muss ich darauf auch konkret landen können. Im Falle eines schwarzen Lochs gibt es jedoch raumartige "Geraden", die als Landebahn absolut untauglich sind, weil ich dazu aus dem Inneren des Ereignishorizontes in den Außenraum gelangen müsste (ich kann die Landebahn weder so wie beschrieben bauen noch sie benutzen). Du siehst, i.A. widersprechen sich die Ideen (1 - 4). Für den Begriff "Gerade" gibt es also mehrere, nicht-äquivalente Definitionen. Welche meinst du? Was ist deine Idee? Dann - so seltsam es klingt - muss man offensichtlich sehr genau zwischen dem Objekt "Landebahn" sowie dem Vorgang "Ausrollen auf der Landebahn" unterscheiden. Beides liefert unterschiedliche Ideen bzgl. "Gerade". Welche meinst du? Geht es dir um die Landebahn oder die Landung? (wir haben versucht, verschiedene Optionen zu diskutieren, die passen können, aber es ist deine Idee; und du musst dich auf die ART, ihre Begrifflichkeiten und Konzepte einlassen, sonst ist's langweilig, trivial, oder wir drehen uns weiter im Kreis) |
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| Verfasst am: 17. Jan 2015 08:07 Titel: |
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| Nach meinen Vorstellungen verläuft der Faden eines frei hängenden Lotes senkrecht und er ist gerade. Verwechsele ich jetzt senkrecht mit grade? Und wie sind deine Vorstellungen zu diesem Beispiel? | |
| Verfasst am: 16. Jan 2015 21:37 Titel: |
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Danke, endlich einer, der mich versteht.
Tueffel, was genau bedeutet gerade? Und welche Eigenschaften hat eine Landebahn? Und ich verwechsle nicht senkrecht mit gerade. |
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| Verfasst am: 16. Jan 2015 19:35 Titel: |
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| Also gut, noch eine Gedankenexperiment zum Gedankenexperiment. Der Konstrukteur baut seine Landebahn zunächst über die gesamte Länge senkrecht stehend. Sie ist biegesteif. Dann klappt er sie um 90° um und verschiebt sie soweit bis die Mitte der Bahn der Erdoberfläche (Kugelgestalt vorausgesetzt) am nächsten ist. Dann kontrolliert er noch einmal (ist für "gerade" eigentlich nicht nötig; aber wegen der Symmetrie) ob sie in der Mitte eine rechten Winkel zur Senkrechten bildet. Nun hat er eine Landebahn die gerade ist; aber nicht richtig funktioniert, weil Landebahnen besser waagerecht sein sollten, also der Erdkrümmung folgend. Ob nun so gerade oder so gerade, wenn die Landebahn nicht der Krümmung der Erdoberfläche folgt rollt die Kugel, so oder so. |
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| Verfasst am: 16. Jan 2015 18:38 Titel: |
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Es geht darum was "gerade" eigentlich meint. Das ist nämlich überhaupt nicht klar.... |
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| Verfasst am: 16. Jan 2015 18:02 Titel: |
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| Sag mal TomS, worüber redest du hier eigentlich? Natürlich kann man so keine Landebahn bauen, wie in dem Gedankenexperiment. Sie funktioniert nicht. Der Konstrukteur hat Mist gebaut und einfach gerade mit waagerecht verwechselt. Und nun vertragt euch mal wieder. | |
| Verfasst am: 16. Jan 2015 13:45 Titel: |
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In der Nähe der Erde ist das alles trivial (aber da lernt man auch nichts). Ich will zumindest so darüber reden, dass das z.B. auch in der Nähe des Ereignishorizontes eines schwarzen Lochs funktioniert – oder man klar erkennt, was nicht funktioniert.
Tueffel schreibt „Gerade“, ohne genauer zu spezifizieren, was er/sie damit meint. Es gibt verschiedene, i.A. nicht äquivalente Alternativen, und die muss man diskutieren (oder man kann es gleich bleiben lassen).
Nee, ist es nicht. Wenn es eine Landebahn ist, dann muss man darauf landen können, also muss eine Darstellung mittels einer zeitartigen Linie existieren. Z.B. kannst du auf einer „raumartigen Landebahn“ nahe eines Ereignishorizontes eines schwarzen Lochs m.E. nicht landen, weil die wirkenden Kräfte divergieren und dein Flugzeug kaputt geht; bzw. weil die Landebahn vorher zerbricht ;-)
Das ist zumindest in der Nähe der Erde trivial! Eine Wurfparabel ist eher „krumm“, ein Lichtstrahl näherungsweise „gerade“, auch seine räumliche Projektion.
Ist es auch nicht. Es geht darum, „Gerade“ genauer zu spezifizieren; eine „Gerade“ ist eine Geodäte, und davon gibt es ziemlich viele verschieden: zeitartige, lichtartige, raumartige, solche bzgl. der induziertem 3-Metrik, … Welche davon ist geeignet? Und welche davon meint Tueffel?
Doch, weil das Wort „Landebahn“ impliziert, dass man darauf landen kann. Und dazu musst du sie vermessen, markieren und bauen. Und dann entlang einer zeitartigen Kurve auf ihr landen.
Doch, mehrfach, zu verschiedenen Aspekten, teilweise auch zu für mich offenen Punkten. |
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| Verfasst am: 15. Jan 2015 20:02 Titel: |
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Ich glaube du möchtest einfach über etwas anderes diskutieren, als die Voraussetzungen des Gedankenexperiments. Ich hatte lediglich folgende Aussage kritisiert,
die Günther inzwischen zurückgenommen hat, womit der Fall eigentlich hätte erledigt sein können. Es ging also von Anfang an nur um die Eigenschaft der Geradheit einer Linie im Raum im Sinne der ART, bzw. genau darum ob eine solche raumartige Kurve eine Geodäte sein kann. Es ging niemals darum ob diese Linie eine Projektion von dieser oder jenen anderen Kurve in der Raumzeit ist, sei sie zeitartig oder lichtartig. Diese Frage ist dafür auch total irrelevant. Man kann sowohl gerade als auch nicht-gerade Linien im Raum aus projizierten Geodäten konstruieren. Und jede Projektion einer Geodäten ist auch Projektion einer Nichtgeodäten. (Ich brauche die Geodäte ja nur in Projektionsrichtung zu verbiegen).
Daß es zu Tueffels Idee paßt, hast du einfach behauptet, aber nicht argumentiert. Die entscheidende Frage ist doch wie du darauf kommst, daß die Projektionen von lichtartigen Geodäten angeblich in den relevanten Situationen "gerade" Raumkurven ergeben sollen, die Projektionen von zeitartigen Geodäten im allgemeinen aber nicht. Welches Kriterium von "Geradheit im Raum" wendest du denn an, um das zu entscheiden? Lediglich eine Konstruktionsvorschrift als Synonym für "Gerade" einzuführen nur weil sie irgendwie leicht praktisch durchführbar ist, kann ja nicht das einzige Argument sein.
Das ist sicher eine interessante Frage, aber nicht die um die es hier ging. Mir ging es um die Erfüllung eines Kriteriums für Geradheit raumartiger Kruven. Du hast zwar eine Konstruktionsvorschrift raumartiger Kurven angegeben, aber zu der Frage ihrer Geradheit m.E. nichts entscheidendes gesagt. Insbesondere weil es einen natürlichen Begriff von Geradheit im Raum gibt, der von der Raumzeitgeometrie induziert wird, sollte deine Vorschrift zu diesem äquivalent sein, ansonsten ist sie irrelevant. (Im übrigen verwende ich nicht "raumartige Geodäte" als Definition, wie du schreibst, sondern "Geodäte im Raum", also bzgl. der 3-Metrik. Das hatte ich schon mal richtiggestellt. Das Problem mit "raumartigen Geodäten" ist, daß sie nicht unbedingt "im Raum" verlaufen, wenn die Vorschrift zur Bestimmung von Gleichzeitigkeit, die der Beobachter verwendet irgendeine raumartige Fläche mit äußerer Krümmung definiert.) |
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| Verfasst am: 15. Jan 2015 10:52 Titel: |
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| Mein Einwand ist folgender: A) Tueffel meint Geraden im Raum, also wohl Geodäten bzgl. der 3-Metrik; das wäre z.B. eine gedachte gerade Landebahn aus Beton als etliche 1000 Kilometer lange Tangente an die Erdoberfläche (die induzierte Metrik sollte winzige Abweichungen verursachen) B) Eine reale Landebahn muss beim Landen durch eine zeit- oder lichtartige Weltlinie (i.A. ist dies keine Geodäte) durchlaufen werden können; dies trifft auf (A) in dem Sinn zu, dass es sich um eine Projektion der Geodäte in den 3-Raum handelt; da die RZ statisch ist (und ein zeitartiger Killingvektor existiert), ist diese Projektion ebenfalls zeitunabhängig, d.h. Flugzeuge können zu unterschiedliche Zeiten gleich gut auf der selben Landebahn landen C) Diese reale Landebahn aus (A) ist näherungsweise eine zeitinvariante Projektion einer lichtartigen Geodäten sowie zeitartiger Weltlinien aus (B) D) Beliebige zeitartige Geodäten sind i.A. ungeeignet: langsame Satelliten bewegen sich auf engen Ellipsenbahnen im Raum, nicht auf Geraden im Raum; die Näherung wird aber umso besser, je schneller sich der Satellit bewegt (das ist anschaulich klar); deswegen schlage ich Projektionen von lichtartigen Geodäten als Konstruktionsprinzip vor (das lässt sich mittels Laser in statischen Raumzeiten praktisch durchführen E) Ich kann nicht nachvollziehen, wie dies allgemein mittels raumartiger Geodäten besser funktionieren soll: ja, die Projektion der lichtartigen Geodäten in den 3-Raum liefert eine raumartige Linie nein, diese Linie ist i.A. keine Geodäte im 3-Raum, genauso wie die in (D) genannte Projektion der zeitartigen Geodäten keine Geodäte m 3-Raum liefert Wir haben also Konstruktionsvorschriften Tueffel: "Geodäte bzgl. induzierter 3-Metrik" TomS: "Projektion einer lichtartige Geodäten in den 3-Raum" index_razor: "Raumartige Geodäte" Ich habe argumentiert, dass meine Konstruktion praktisch durchführbar ist und zumindest näherungsweise zu Tueffels Idee passt. Ich habe argumentiert, dass zeitartige Geodäten i.A. nicht zu Tueffels Idee passen, und ich behaupte analog, dass deine Idee i.A. nicht passt (natürlich im Grenzfall fast lichtartiger Geodäten schon) Wenn du also eine raumartige Geodäte vorschlägst, dann musst du sagen welche, und wie du diese praktisch konstruierst (unter nicht-rel. Bedingungen weiß ich das, da schau' ich mir an, wie eine Straßenbaustelle funktioniert). Ich denke, es läuft auch bei dir letztlich auf eine (näherungsweise) lichtartige Geodäte raus. |
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| Verfasst am: 15. Jan 2015 10:01 Titel: |
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Nanu? Hast du deine Meinung wieder geändert? Oben schriebst du noch, daß du mir zustimmst, daß sie sinnvoll wären. Und nochmal: Es ist Tueffels Gedankenexperiment. Er möchte eine Gerade im Raum betrachten. Das ist sinnvoll, also kann man es auch tun.
Ich kann mich entlang einer Straße bewegen, deren Punkt alle gleichzeitig (im Raum) existieren. Ich kann nur nicht alle ihre Punkte gleichzeitig durchlaufen. Letzteres ist in der Tat irrelevant für die Existenz der Straße. Du scheinst hingegen zu glauben, daß zwei Autos, die auf der A1 mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten unterwegs sind in Wahrheit auf zwei verschiedenen Autobahnen fahren, nämlich auf der A1/100km/h bzw. der A1/120 km/h. Ich kann mir nicht vorstellen, daß du diese Sichtweise für sinnvoll hältst.
Die reale Landebahn ist eine Menge von Teilchen aus Beton oder sowas, die relativ zur Erde, aber nicht relativ zum landenden Flugzeug ruhen.
Im Gegenteil. Daß kein Objekt ihr folgen kann, ist irrelevant. Es ging in dem Gedankenexperiment von Tueffel einzig um eine solche gedachte gerade Linie in Raum. (Du kannst etwas anderes für relevanter halten, aber dann mußt du dir dein eigenes Gedankenexperiment ausdenken.) In bezug auf die Landebahn kann dies nun so umformuliert werden, daß die Weltlinien der Teilchen, aus denen die Landebahn besteht, diese gedachte Linie zu irgendeinem bestimmten Zeitpunkt, den ein auf der Erde ruhender Beobachter mißt, schneiden. Wenn sie dies tun, ist die Landebahn gerade. Da die Situation stationär ist, ist sie dann zu jedem Zeitpunkt gerade, wenn sie es zu einem Zeitpunkt war. In nichtstationären Situationen kann eine gerade Landebahn natürlich im Laufe der zeit verzerrt werden. |
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| Verfasst am: 15. Jan 2015 08:24 Titel: |
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| Ja, klar. Ich bin nur nach wie vor der Meinung, dass in der ART diese unterschiedlichen Definitionen sauber getrennt werden müssen, da sie ganz unterschiedliche geometrische Objekte beschreiben. Und ich bin einfach nicht damit einverstanden, dass raumartige Geodäten, so wie index_razor sie vorschlägt, hier sinnvoll sind. Ich versuch's nochmal: 1) "Gerade" in der ART bedeutet, dass eine Geodäte vorliegt. 2) "Landebahn" bedeutet, dass ein Objekt sich entlang dieser Gerade bewegen soll (1) ist die Verallgemeinerung der herkömmlichen Begriffe "möglichst gerade" und "möglichst kurz"; beide führen i.A. nicht zum selben geometrischen Objekt, d.h. die kürzeste sowie die geradeste Verbindung zweier Punkte müssen nicht übereinstimmen; in der Euklidschen sowie der in der ART verwendeten Riemannschen Geometrie stimmen sie aber überein. In der ART bewegen sich Objekte frei fallend = kräftefrei entlang von zeitartigen oder lichtartigen Geodäten. Dabei hängt die Geodäte anders als im flachen, euklidschen Raum auch von der Geschwindigkeit des Objektes ab, d.h. die Bahn, die für ein schnelles Objekt eine Geodäte ist, ist für ein langsameres Objekt keine Geodäte (die reale Landebahn für ein Flugzeug beschreibt keine Geodäte in der RZ, dann das Flugzeug bewegt sich nicht kräftefrei; es würde ohne den Boden ja nach unten in die Erde hineinfallen; eine Satellitenbahn ist dagegen für den auf ihr entlang bewegten Satelliten tatsächlich eine Geodäte) (1) muss man präzisieren; eine Geodäte kann zeitartig, lichtartig oder raumartig sein: 1a) Entlang einer zeitartigen Geodäten kann sich ein massebehaftetes Objekt tatsächlich real bewegen (s.o. der Satellit). 1b) Entlang einer lichtartigen Geodäten gilt das selbe, jedoch für masselose Objekte, also Lichtstrahlen (siehe z.B. Laservermessung). 1c) Entlang raumartiger Geodäten kann sich kein Objekt bewegen; dies würde Überlichtgeschwindigkeit bedeuten, und aufgrund von (2) halte ich diese hier für irrelevant. Die reale Landebahn eines Flugzeuges wird m.E. als lichtartige Geodäte konstruiert, z.B. tatsächlich mittels Lasermessung während des Baus. Wie gesagt, ein Lichtstrahl bewegt sich kräftefrei, das landende Flugzeug nicht (theoretisch kann sich kein massebehafteter Körper überhaupt entlang einer lichtartigen Geodäten bewegen, denn das erfordert ja v = c). Wegen (2) ist die raumartige Geodäte irrelevant; sie entspricht einer theoretisch gedachten Linie der Gleichzeitigkeit, keiner real möglichen Bewegung. Ein stationärer Beobachter am Boden kann sie natürlich definieren, aber kein Objekt kann ihr folgen. 3) Bisher haben wir von Geodäten in der Raumzeit gesprochen. Aber evtl. möchtest du Geodäten, also Geraden im Raum diskutieren. Dies führt zu einer neuen Definition, nämlich zu einer raumartigen, 3-dim. Untermannigfaltigkeit der 4-dim. Raumzeit sowie zu einer Linie, die bzgl. der 3-dim. Geometrie definiert ist. Hier sehe ich zwei verschiedene Methoden, diese zu definieren, aber sehe nicht, dass diese i.A. übereinstimmen: 3a) Man definiert eine Geodäte in der 4-dim. RZ und"projiziert" diese in den Raum; man betrachtet im Raum sozusagen den "Schatten, den die Geodäte in den Raum wirft". 3b) Man konstruiert direkt eine Geodäte bzgl. des Raumes (3a) entspricht genau dem Fall, dass z.B. ein Satellit entlang seiner Bahn eine farbige Linie in den Weltraum zeichnet; die Linie wäre der Schatten seiner Geodäte in der RZ. Wichtig: das, was in der RZ "gerade ist", erscheint in der Projektion gekrümmt; es liegt eine Ellipse im Raum vor! Auch die Projektion eines Lichtstrahls ist gekrümmt, jedoch im kleinen Maßstab praktisch nicht sichtbar (jedoch vermessen in der Krümmung von Lichtstrahlen nahe der Sonne) 3b) ist wohl das, was du dir als "gerade Landebahn" vorstellst, jetzt in einem planetaren Maßstab (eine "Gerade, die nicht der Erdkrümmung folgt") Offensichtlich sind (3a) und (3b) verschiedene Konstrukte. Ich denke, dass die Projektion einer lichtartigen Geodäten dem Fall (3b) in näherungsweise flachen Raumzeiten sehr nahe kommt, i.A. jedoch nicht identisch ist (siehe Lichtablenkung, gemessen für die Sonne). Bei zeitartigen Geodäten ist die Abweichung rein anschaulich um so größer, je langsamer sich das Objekt bewegt. Anschaulich führen alle o.g. Definitionen rein praktisch zur selben Landebahn. Rein theoretisch handelt es sich um unterschiedliche Konzepte und Objekte. Im kleinen Maßstab auf der Erde wirst du keine Abweichungen feststellen. In großen (kosmologischen) Maßstäben, in starken Gravitationsfeldern (schwarze Löcher) oder gar in nicht-stationären Raumzeiten sind Unterschiede wesentlich. Wenn du also eine Landebahn bauen willst, kannst du diese Diskussion vergessen, wenn du etwas über die ART lernen willst, musst du sie führen. |
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| Verfasst am: 14. Jan 2015 17:27 Titel: |
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| Nanu? Ich meine, ich hätte signalisiert, dass ich es so unkompliziet sehe wie index rasor - es geht doch nur um die Landebahn in der Nähe der Erde wo sowieso alles stationär ist. | |
| Verfasst am: 14. Jan 2015 16:41 Titel: |
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wobei du immer noch nicht gesagt hast, wie du "gerade" definierst; wir hatten ja verschiedene Vorschläge diskutiert ... |
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| Verfasst am: 14. Jan 2015 14:26 Titel: |
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| Trotzdem ist die Landebahn gerade. | |
| Verfasst am: 11. Jan 2015 10:41 Titel: |
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| Ja, es ist so. Die Mitte der Landebahn ist "unten" und die Enden sind "oben". | |
| Verfasst am: 11. Jan 2015 10:14 Titel: |
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| Wobei die schiefe Ebene keine Passante sein muß. Im einfachsten Fall ist sie eine Tangente, die mit dem Berührungsradius einen rechten Winkel bildet. Aber einerlei, das Rollen der Kugel zeigt nicht mehr als ein Massezentrum an, wie der vom Baum fallende Apfel auch. Der Unterschied ist rein technisch. | |
| Verfasst am: 10. Jan 2015 21:56 Titel: |
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| Ja, auf einer schiefen Ebene, die gekrümmt und nach oben geöffnet ist. | |
| Verfasst am: 10. Jan 2015 18:40 Titel: |
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| Da sie nicht in Richtung des Massenzentrums fallen kann, rollt sie auf einer schiefen Ebene. Zur Konstruktion der geraden Bahn: Man orientiert sich an einem am Beginn der Bahn parallel zu dieser und dann tangential an der Erde vorbei geschickten Lichtstrahl. Die Bahn verläuft dann mit zunehmendem Abstand zu diesem oberhalb des Lichtstrahls, so, als gäbe es die Erde nicht. |
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| Verfasst am: 10. Jan 2015 13:48 Titel: |
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| In der Tat: Es ist alles stationär, die Landebahn ist gerade und die Kugel rollt wie auf einer abschüssigen gekrümmten Bahn in die Mitte. | |
| Verfasst am: 08. Jan 2015 21:34 Titel: |
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Du meinst ihre Projektion auf den Raum? Wie definierst du das denn nun? Der folgende Einwand trifft deinen Vorschlag doch genauso:
Erstens, liefert das nur für größere Entfernungen Unsinn. Unter anderem deshalb betone ich ja das "lokal" die ganze Zeit. Zweitens, wenn es Unsinn liefert, habe ich keine Definition von "Raum". Nun kann ich aber genauso wenig über die innere Geometrie, wie über die Projektion lichtartiger Geodäten auf etwas Nicht-Existentem sprechen. (Drittens: es geht übrigens um die Geradheit einer Landebahn in der Nähe der Erde. Da ist sowieso alles stationär.) |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 21:17 Titel: |
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| Aus rein praktischen Überlegungen wäre eine lichtartige Geodäte das geradeste, was ich mir vorstellen, vermessen und markieren kann. Lichtstrahlen sowie der Mittelwert deren Sende- und Empfangszeitpunkt liefert für nicht-stationäre Raumzeiten offensichtlich Unsinn. Ich gebe dir ja recht, dass Geodäten in raumartigen Untermannigfannigfaltigkeitem funktionieren. |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 20:49 Titel: |
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Nein, ich gehe doch von einem festen Beobachter aus. Ich sehe keinen Grund mehrere Beobachter zu betrachten, denn um die Relativität von irgendwas ging es doch in dem Gedankenexperiment offensichtlich gar nicht. Für jeden einzelnen Beobachter gibt es dann vielleicht ein paar wahrscheinlich mehr oder weniger sinnvolle Definitionen. Unter anderem die, die du genannt hast. Eine andere Methode ist z.B. Lichtstrahlen auszusenden und den Mittelwert von Sende- und Empfangszeitpunkt als den Zeitpunkt des Ereignisses zu definieren. In der SRT kommt in beiden Fällen exakt dasselbe raus, in der ART lokal ungefähr dasselbe.
Welcher Vorteil? Ich sehe noch nicht mal eine Alternative, von deren Vorteil wir sprechen könnten. Wenn ich mich nicht irre, wolltest du zeit- oder lichtartige Geodäten auf den Raum projizieren. Solange du den Raum nicht definiert hast, hast du also nichts worauf du projizieren könntest. Und wenn du eine raumartige Fläche festgelegt hast, führt die Definition von Gerade = projizierte zeitartige/lichtartige Geodäte doch zu offensichtlich unsinnigen Ergebnissen. Unter anderem wären Ellipsen danach gerade Linien im Raum. Ich dachte darüber wären wir uns einig. Andererseits mußt du gar nichts projizieren, denn du hast eine induzierte innere Geometrie auf der Hyperfläche, die dir verrät welche Kurven geodätisch sind. |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 14:07 Titel: |
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Ja, passt. Einwand s.u. ;-)
überabzählbar viele Jeder reale = zeitartige Beobachter B im Punkt P der Raumzeit definiert auf einer Umgebung U(P) seine Gleichzeitigkeit als orthogonal zu seiner eigenen Vierergeschwindigkeit u. Ein infinitesimal benachbarter Beobachter B' in einem infinitesimal benachbarten P' definiert wiederum U(P') und damit seine Gleichzeitigkeit mittels u'. Damit gilt für jeden derartigen Beobachter eine rein lokale Definition von Gleichzeitigkeit. Eine globale Definition erfolgt dann mittels eines in der Raumzeit dichten Beobachterfeldes, d.h. eines zeitartigen Vektorfeldes u(x). Der Vorteil der Definition mittels der zeitartigen oder lichtartigen Geodäten ist, dass sie in einer stationären Raumzeit physikalisch / technisch trivial zu realisieren ist, letztere mittels Laser. |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 13:08 Titel: |
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Inzwischen kommt mir dies wie die natürliche Definiton von "gerade Linie im Raum" vor. Ich bin heut scheinbar wankelmütig oder hatte heut morgen noch nicht ganz ausgeschlafen.;-) Also, man definiert erst mal "Raum" als die irgendwie gleichzeitigen Ereignisse für einen momentanen Beobachter. Jede nicht völlig irrwitzige Definition (ich denke in der ART gibt es mehrer nicht ganz identische) ergibt jedenfalls eine dreidimensionale raumartige Hyperfläche. In dieser wird über den affinen Zusammenhang der Raumzeit eine innere Geometrie induziert. Und diese benutze ich als Grundlage für die Definition "Gerade = Geodäte bzgl. der induzierten 3-dimensionalen Geometrie". Das ist einfach die Standarddefinition von innerer Geometrie auf Untermannigfaltigkeiten. Deswegen fällt es mir schwer Gründe zu sehen von dieser Definition abzuweichen. Ich denke auch, daß sie ganz gut abbildet was Tueffel intuitiv gemeint haben könnte. Wenn ihm dies nicht zusagt, glaube ich nicht, daß man überhaupt eine sinnvolle Definition finden kann. |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 08:28 Titel: |
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Genau! Ich habe mir das für raumartige Geodäten noch nie überlegt, aber für zeitartige Geodäten ist es ja so, dass diese im Raum offensichtlich nicht "gerade" sind (im Falle von Planeten liegen näherungsweise Ellipsen vor).
Natürlich eine raumartige Hyperfläche. Es geht aber eher darum, was Tueffel unter "gerade im Raum" versteht; ich denke nicht, dass ihm eine der von uns vorgeschlagenen Ideen zusagt. |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 07:33 Titel: |
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Ja, genau. Ich denke es gibt eine recht natürliche Übersetzung dieser anschaulichen Geradeheit im Raum in die Sprache der Relativitätstheorie, nämlich Gerade = Geodäte, Raum = Hyperfläche aus Ereignissen, die für einen Beobachter gleichzeitig sind. (Diese ist dann dreidimensional und raumartig.) Eine "Gerade im Raum" wäre also eine Geodäte der Raumzeit, die vollständig in dieser Hyperfläche verläuft. EDIT: Andererseits, vielleicht muß man auch den auf dieser Hyperfläche induzierten affinen Zusammenhang verwenden. Das ergäbe im allgemeinen eine andere Definition von "Gerade". Allerdings ging es mir ja gestern nur darum, die Aussage zu bezweifeln, daß die von Tueffel imaginierte Landebahn auf keinen Fall eine Geodäte sein kann.
Doch, über die Gleichzeitigkeit eines momentanen Beobachters. Was verstehst du denn unter Raum in der ART, wenn nicht "raumartige Hyperfläche"? |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 01:23 Titel: |
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| @Tueffel kannst du bitte mal eine Skizze hochladen
absolute Zustimmung |
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| Verfasst am: 08. Jan 2015 01:22 Titel: |
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| Ich denke, wir beschreiben beide nicht das, was Tueffel meint, sondern wir versuchen, es zu interpretieren und zu präzisieren. Tueffel schreibt von einer gerade Linie im Raum; d.h. sie soll ganz anschaulich "im Raum" gerade sein. Du schreibst von einer Geodäten in einer raumartigen Hyperfläche; d.h. sie ist "gerade" in der Raumzeit, nicht jedoch zwingend im Raum; denn was das ist, hast du nicht definiert. Ich schreibe von einer zeitartigen Geodäten; d.h. diese ist wieder nicht zwingend "gerade" im Raum. |
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