Physikerboard.de :: Thema-Überblick

TomS · Verfasst am: 20. Aug 2012 17:33 Titel:

heute ist nicht mein Tag; ja, du hast mit deiner Lösung natürlich recht;

damit hätten wir

wenn ich mich nicht wieder vertan habe;

jetzt müsste man t=0 betrachten, die Anfangsbedingungen geeignet berücksichtigen sowie insbs. eine reelle Phasenraumdichte konstruieren. Mir ist die Bedeutung der beiden Konstanten c1 und c2 dabei noch nicht klar.

Jannick · Verfasst am: 20. Aug 2012 14:53 Titel:

TomS · Verfasst am: 20. Aug 2012 12:50 Titel:

Nehmen wir mal ein paar Umbenennung der Konstanten vor

Daraus folgt

Dann haben wir zwei Gleichungen der Struktur

Das lässt sich umformen zu

und die Lösung lautet doch

Damit gilt außerdem

Kann die o.g. Lösung für die Funktionen g stimmen?

TomS · Verfasst am: 20. Aug 2012 12:25 Titel:

Jannick · Verfasst am: 20. Aug 2012 12:10 Titel:

Ich verstehe nicht, wie du auf

kommst, bzw. denke, dass das im Allgemeinen falsch ist. Daraus wuerde ja auch C=0 folgen.

Ich bin meine Loesung gekommen, indem ich jeden Summanden gleich einer Konstanten gesetzt habe. Dies ist deshalb korrekt, da wenn man zwei der unabhaengigen Variablen fest setzt sagen wir t und

die Glg. bei Variation von

ja weiterhin korrekt sein muss. Somit muss der dritte Sumand dann konstant sein (und mit der selben Argumentation natuerlich jeder Summand). Deshalb habe ich gesetzt:

Aus der Dgl. folgt dann natuerlich

womit ich

in meiner Loesung ersetzt habe. d_1 d_2 und d_3 sind dann Integrationskonstanten der 3 Differentialglg. Mir faellt auch gerade auf, dass man diese 3 Konstanten natuerlich zu einer zusammenfassen mit

kann und somit nur noch 3 Konstanten durch die Anfangsbedingung festgelegt werden muessen

TomS · Verfasst am: 20. Aug 2012 08:04 Titel:

Hi,

ich habe das jetzt nicht alles nachgerechnet, sieht aber erstmal sehr vernünftig aus.

Zunächst war's richtig, dass die die (falschen) Einheiten in der Matrix bzw. den Koordinaten korrigiert hast. Mit deiner Matrix U bekommst du gerade die komplexen Linearkombinationen, wie man sie auch beim quantenmechanischen harmonischen Oszillator benutzt.

Ich verstehe die Struktur deiner Lösung noch nicht ganz; es muss doch zunächst gelten

d.h. beide Seiten müss gleich der selben (!) Konstanten sein.

Außerdem folgt

wobei c und C nicht (!) unabhängig voneinander sind.

Jetzt kannst du zunächst mal für die drei Funktionen mittels der Konstanten c und C lösen.

Oder übersehe ich etwas?

Jannick · Verfasst am: 19. Aug 2012 17:16 Titel:

Ich habe deinen Ansatz mal verfolgt, wobei ich die Koordinaten wie folgt eingefuehrt habe, damit die Dimension der Elemente der Matrix gleich ist.

Nun habe ich die Eigenwerte der Matrix zu

bestimmt, womit fuer die Eigenvektoren v folgt

die somit orthonormal sind. Die unitaere Transformation U ist nun gegeben durch

Die neuen Koordinaten ergeben sich aus

Fuer die ganze Glg ergibt sich dann:

Nun kann ein Separationsansatz gemacht werden d.h.:

Einsetzen in die Glg. ergibt:

Teilen durch

ergibt:

Nun muss jeder Summand gleich einer Konstante sein, womit man auf die Loesung

Nun haenge ich leider fest und weiss nicht wie ich diese ganzen freien Konstanten (also die ds und cs) durch die Anfgansbed. eliminieren soll.

TomS

Ich würde versuchen, neue Koordinaten zu finden, so dass sich der Term

vereinfacht. Dieser entsteht ja formal aus

Die neuen Koordinaten entsprächen dann wohl einer Diagonalmatrix.

franz · Verfasst am: 18. Aug 2012 16:17 Titel:

Ohne inhaltliche Durchdringung: Band 5 § 30 + Aufgabe.
Das wohl weniger:Band 3 § 23 + Aufgaben.
PS Hat das mathematisch mit dem Sturm-Liouvilleschen Problem zu tun?

Jannick · Verfasst am: 18. Aug 2012 14:56 Titel:

Den habe ich leider nicht zur Hand und gerade auch keinen Fachbibleothekszugang. Was meinen Landau und Lifschitz denn so dazu?

franz · Verfasst am: 18. Aug 2012 06:46 Titel:

Mir scheint, als ob Landau Lifschitz V § 30 sich mit diesem Sachverhalt beschäftigt, im Zusammenhang mit III § 23 (?).

Jannick

Ich moechte mit Hilfe der Liouville Glg. die Zeitentwicklung der Wktdichte im Phasenraum

fuer den 1D harm Oszillator berechen. Die Anfangsbedingungen sollen dabei durch die Wktdichte

gegeben sein (q: Ort p: Impuls). Mit der Liouvilleglg. komme ich nun auf die part. Dgl.

Nun habe ich erstens das Problem, dass ich nicht weiss, wie ich die Dgl. loesen soll und ausserdem habe ich keine Ahnung, wie ich die Anfangsbedingung dann benutzen soll.

Mit der Glg.

bin ich hingegen auf eine ganz sinnvolle Lsg gekommen, die auch gaussfoermig ist allerdings mit einer neuen breite

und somit bei

zur

-Funktion wird.

Meine Frage ist nun, wie man die Liouvilleglg. sinnvoll anwendet und was der Vorteil zur unteren Glg. ist