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Nachricht
TomS
Verfasst am: 23. Apr 2024 11:09
Titel: B-Feld aus Messung der Lorentz-Kraft in D Dimensionen
Ich bin über ein anderes Problem auf diese Fragestellung gestoßen.
Aufgabe
: Zu bestimmen sind alle Komponenten eines homogenen magnetischen Feldes B in D Dimensionen, mittels
möglichst wenigen
Messungen der Lorentzkraft.
Die Lorentzkraft F in D Dimensionen ist gegeben durch
wobei i,k=1 ... D. B entspricht dem räumlichen Anteil des antisymmetrischen elektromagnetischen Feldstärketensors *).
Für die
Messungen
geht man wie folgt vor:
(1) Für die erste Messung präpariert man
Damit folgt
(2) ... (n) Für die zweite, dritte, ... n-te Messung präpariert man
und erhält
Damit können in D Dimensionen
mittels D-1 Messungen
alle Komponenten des magnetischen Feldes bestimmt werden.
Beobachtung
: Wählt man für die Präparation der Messungen zwei oder mehr nicht-verschwindende Geschwindigkeitskomponenten, so wird die Situation unübersichtlicher. Man kann für D=4 durch Ausprobieren zeigen, dass für zwei Präparationen mit jeweils zwei nicht-verschwindenden Geschwindigkeiten entweder offensichtlich zu wenig Gleichungen resultieren, oder speziell für nicht-verschwindende Geschwindigkeiten (1,2) und (3,4) das Gleichungssystem wiederum nicht maximalen Rang hat; ich kann das aber nicht allgemein zeigen. Daraus resultiert die
Frage
: Wie beweist (oder widerlegt) man die allgemeine Vermutung, dass für
bei keiner Wahl der Geschwindigkeiten
das Gleichungssystem für die Komponenten des B-Feldes
maximalen Rang hat? **)
M.a.W. wie zeigt (oder widerlegt) man, dass
immer D-1 Messungen
zur Bestimmung des B-Feldes notwendig sind?
______
*) B ist antisymmetrisch, d.h.
Das führt in D Dimension auf
unabhängige Komponenten von B.
Man kann B schreiben als
Dabei läuft der Doppelindex A = (mn) über alle Paare m ungleich n; ik bezeichnet die Indizes der Matrizen t; b bezeichnet die N unabhängigen Komponenten von B.
Für A=(mn) gilt
Die Matrizen t entsprechen den Generatoren der Rotationsgruppe SO(D) in D Dimensionen.
**) mittels (*) kann man das Gleichungssystem umformulieren zu