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index_razor
Verfasst am: 15. März 2022 22:00
Titel:
manuel459 hat Folgendes geschrieben:
Damit habe ich das gemeint, was im Buch steht (siehe Bild).
Ja, schon klar woher es kam, nur nicht was es bedeuten sollte. Aber offensichtlich ist nur gemeint, daß das Tensorprodukt von Matrizen so definiert ist, als wären die Matrizen Vektoren der Dimension (Zeilen) x (Spalten). Es handelt sich also in beiden Fällen im wesentlichen um dieselbe Definition.
TomS
Verfasst am: 15. März 2022 21:52
Titel:
Eigentlich braucht man diese expliziten Darstellungen nicht.
manuel459
Verfasst am: 15. März 2022 21:30
Titel:
Damit habe ich das gemeint, was im Buch steht (siehe Bild). Dort wird das Tensorprodukt für Matrizen definiert und dann festgestellt, dass das ja mit dem Tensorprodukt von Vektoren zusammenpasst (was offensichtlich bereits vorher definiert war wie du in deiner letzten Nachricht erklärt hast - was gerade der erste Teil meiner ursprünglichen Frage war).
index_razor
Verfasst am: 15. März 2022 11:57
Titel: Re: Hilberträume laut Marinescu & Marinescu
manuel459 hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das folgt aus der erwähnten Eigenschaft, daß
eine Basis im Produktraum bildet und aus der Linearität des Tensorprodukts in beiden Faktoren.
Aber weiß man denn, dass
genau auf die Art und Weise mit
identifiziert wird? Ich meine, es könnte doch auch
sein? Wie genau die Repräsentation vom Produkthilbertraum in
gewählt wird, definiert meiner Meinung nach erst eine Definition der Form (*) aus meinem ersten Beitrag, oder?
Wenn
und
,
dann ist
. Das ist eindeutig. In welcher Reihenfolge du die Basisvektoren im Produktraum (und folglich die Komponenten) ordnest, ist unerheblich. Wichtig ist nur, daß z.B. die Komponente
vor dem Basisvektor
steht.
Zitat:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Wie die Anspielung auf das Tensorprodukt von Matrizen zu verstehen ist, ist mir aber nicht klar.
Ich verstehe leider nicht, was du damit meinst.
Ich meine dies:
manuel459 hat Folgendes geschrieben:
Es wird etwas später nämlich dann das Tensorprodukt von Matrizen definiert und erklärt, dass das in Übereinstimmung damit ist, dass ein Tensorprodukt von zwei Vektoren
(*)
ist.
Ich weiß nicht, was es heißen soll, daß ein Tensorprodukt "in Übereinstimmung" mit einem anderen Tensorprodukt ist. Aber das Tensorprodukt von zwei Vektorräumen ist unabhängig vom Tensorprodukt von Matrizen definiert.
manuel459
Verfasst am: 15. März 2022 11:42
Titel: Re: Hilberträume laut Marinescu & Marinescu
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das folgt aus der erwähnten Eigenschaft, daß
eine Basis im Produktraum bildet und aus der Linearität des Tensorprodukts in beiden Faktoren.
Aber weiß man denn, dass
genau auf die Art und Weise mit
identifiziert wird? Ich meine, es könnte doch auch
sein? Wie genau die Repräsentation vom Produkthilbertraum in
gewählt wird, definiert meiner Meinung nach erst eine Definition der Form (*) aus meinem ersten Beitrag, oder?
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Wie die Anspielung auf das Tensorprodukt von Matrizen zu verstehen ist, ist mir aber nicht klar.
Ich verstehe leider nicht, was du damit meinst.
index_razor
Verfasst am: 15. März 2022 09:27
Titel: Re: Hilberträume laut Marinescu & Marinescu
manuel459 hat Folgendes geschrieben:
(*)
ist.
Nun die Frage: Ist also bereits vor der Definition des Tensorproduktes von Matrizen klar, dass * gilt?
Das folgt aus der erwähnten Eigenschaft, daß
eine Basis im Produktraum bildet und aus der Linearität des Tensorprodukts in beiden Faktoren. Wie die Anspielung auf das Tensorprodukt von Matrizen zu verstehen ist, ist mir aber nicht klar.
manuel459
Verfasst am: 14. März 2022 18:31
Titel: Hilberträume laut Marinescu & Marinescu
Ich beziehe mich bei dieser Frage auf das Buch "Classical and Quantum
Information" von Marinescu und Marinescu aus dem Jahr 2012. Falls das Buch jemandem nicht zugänglich ist, würde ich die entsprechenden 4 Seiten gerne bereitstellen. Jedenfalls wird dort auf Seite 10 ff. ein n-dimensionaler Hilbertraum definiert (im Sinne der Quanteninformationstheorie).
Es wird gesagt, dass ein n-dimensionaler Hilbertraum isomorph mit
ist, weshalb der Vektorraum der komplexen n-Tupel als standard-Darstellungsform gewählt wird. Dann werden (Standard)Basisvektoren, Skalarprodukt und Dirac-Notation geklärt, ehe dann das Tensorprodukt ins Spiel kommt (siehe Bild).
Darum geht es mir nun im speziellen. Es wird etwas später nämlich dann das Tensorprodukt von Matrizen definiert und erklärt, dass das in Übereinstimmung damit ist, dass ein Tensorprodukt von zwei Vektoren
(*)
ist.
Nun die Frage: Ist also bereits vor der Definition des Tensorproduktes von Matrizen klar, dass * gilt? Aus meiner Sicht ist das wenn die Repräsentationen der Tensorprodukte der Standardbasen der Hilberträume, die über das Tensorprodukt verbunden werden (e und f aus dem Bild) definiert sind. Das ist aber nicht der Fall.