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[quote="skywalker"]Hallo, ich hätte da mal eine Frage an euch. Vermutlich ist mal wieder mein Verständnisproblem eine nichtigkeit :-( Werde aber trotzdem einfach mal fragen, da ich grad irgendwie auf meine Leitung stehe ;-) Also, ich bereite mich gerade für einen Versuch vor. Dazu beschäftige ich mich gerade mit Gauß-Strahlen und damit verknüpft Kugelwellen mit einem imaginären Zentrum. Nach meinem Buch wird die Kugelwelle mit imaginären Zentrum erzeugt mit: [latex] E(r,z,t)= \frac{A}{\sqrt{q^2+r^2}}exp[-i(k\sqrt{q^2+r^2}-\omega t)] [/latex]mit [latex]r=\sqrt{x^2+y^2}[/latex] so, nun wollen die nur den z-achsennahen Bereich, den sogenannten paraxialen Bereich, betrachten. So gilt mit [latex]r << \left| q \right|[/latex] : [latex]E(r,z,t)\approx \frac{A}{q} exp[-i(kq\sqrt{1+r^2/q^2} -\omega t)] \approx \frac{A}{q} exp[-i(kq(1+r^2/2q^2) -\omega t)][/latex] nun versteh ich irgendwie nicht, warum plötzlich unter der Amplitude A nur noch q steht. Ich dachte mir ja eigentlich man hätte das [latex]r^2 [/latex]wegfallen lassen, weil es sehr klein ist im vergleich zu q Betrag. Aber warum fällt es dann nicht im Exponenten der e-Funktion weg? Und wie kommt man auf die zweite Näherung? Das da nun zwei mal [latex]q^2 [/latex]steht? Achso, eventuell wichtig zu erwähnen, dass q die komplexe Größe darstellen soll. Ich danke euch schonmal vielmals für eure Hilfe. Gruß skywalker[/quote]
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skywalker
Verfasst am: 17. Mai 2008 08:35
Titel:
vielen dank mitschelll. hast mir sehr geholfen :-)
mitschelll
Verfasst am: 16. Mai 2008 15:55
Titel:
Zur zweiten Naeherung kann ich Dir helfen: Das ist einfach die Taylor-Enwicklung der Wurzel
fuer kleine x. Da hat man die Entwicklung dann nach dem linearen Tem abgebrochen, da Beitraege der Groessenordnung x^n, n>1, fuer kleine x sehr klein sind.
Das man in der exp Funktion das q^2 nicht kuerzt hat wahrscheinlich den Hintergrund, dass man dann keine Welle mehr haette, sondern die Phase (die exp-Funktion) oertlich konstant waere.
skywalker
Verfasst am: 16. Mai 2008 15:30
Titel: Kugelwellen mit imaginärem Zentrum
Hallo,
ich hätte da mal eine Frage an euch. Vermutlich ist mal wieder mein Verständnisproblem eine nichtigkeit :-(
Werde aber trotzdem einfach mal fragen, da ich grad irgendwie auf meine Leitung stehe ;-)
Also, ich bereite mich gerade für einen Versuch vor.
Dazu beschäftige ich mich gerade mit Gauß-Strahlen und damit verknüpft Kugelwellen mit einem imaginären Zentrum.
Nach meinem Buch wird die Kugelwelle mit imaginären Zentrum erzeugt mit:
mit
so, nun wollen die nur den z-achsennahen Bereich, den sogenannten paraxialen Bereich, betrachten. So gilt mit
:
nun versteh ich irgendwie nicht, warum plötzlich unter der Amplitude A nur noch q steht. Ich dachte mir ja eigentlich man hätte das
wegfallen lassen, weil es sehr klein ist im vergleich zu q Betrag. Aber warum fällt es dann nicht im Exponenten der e-Funktion weg?
Und wie kommt man auf die zweite Näherung? Das da nun zwei mal
steht?
Achso, eventuell wichtig zu erwähnen, dass q die komplexe Größe darstellen soll.
Ich danke euch schonmal vielmals für eure Hilfe.
Gruß skywalker