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[quote="Aruna"][quote="worms324"]Ok, aber das ist doch über Matrizen, hier liegt keine Matrix vor, wie funktioniert es hier?[/quote] genauso https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk_PH0007_01_course.pdf Hast Du kein Skript oder ein Buch, in dem das drin steht?[/quote]
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TomS
Verfasst am: 09. Mai 2024 20:15
Titel:
Aruna hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es geht mir also nicht darum, jedes Mal den ganz großen Werkzeugkasten auszupacken, sondern lediglich darum, zu verstehen, dass die Physiker mit dem netten Begriff "hermitesch" oft potentielle Probleme unter den Teppich kehren.
da kommen mir zwei Fragen:
1.) "die Physiker" hört sich so an, als würdest Du Dich damit nicht mit meinen?
2.) geht es für Physiker bei dieser Eigenschaft um mehr, als dass die entsprechenden Operatoren reelle Eigenwerte haben?
1. Ich hatte rein praktisch nie mit derartigen Klimmzügen zu tun, nur im Nebenfach. Ich weiß aber um die Problematik. In Seminaren habe nie auf einer derartigen Maschinerie bestanden, jedoch darauf hingewiesen.
2. für Mathematiker geht es um mehr – siehe PDF. Und auch für Physiker ist es nicht schlecht zu wissen, dass der Grad zwischen hemdsärmelig und falsch ein schmaler ist.
Einfach mal [x,p] zwischen Eigenzuständen sandwichen und die verschiedenen Ergebnisse bestaunen 😉
TomS
Verfasst am: 09. Mai 2024 20:04
Titel:
Aruna hat Folgendes geschrieben:
Für die Lösung der hier vorliegenden Aufgabe? Dafür reicht IMO das,
TomS hat Folgendes geschrieben:
[...] was Physiker so in etwa unter Hermitizität verstehen.
Oder noch besser, was derjenige der die Aufgabe gestellt hat, als Definition vorgegeben hat.
Ja, vermutlich.
Aruna
Verfasst am: 09. Mai 2024 19:13
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es geht mir also nicht darum, jedes Mal den ganz großen Werkzeugkasten auszupacken, sondern lediglich darum, zu verstehen, dass die Physiker mit dem netten Begriff "hermitesch" oft potentielle Probleme unter den Teppich kehren.
da kommen mir zwei Fragen:
1.) "die Physiker" hört sich so an, als würdest Du Dich damit nicht mit meinen?
2.) geht es für Physiker bei dieser Eigenschaft um mehr, als dass die entsprechenden Operatoren reelle Eigenwerte haben?
Aruna
Verfasst am: 09. Mai 2024 19:03
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Zunächst mal wäre es relevant, mathematisch präzise zu definieren, was hermitesch denn eigentlich bedeutet.
Für die Lösung der hier vorliegenden Aufgabe? Dafür reicht IMO das,
TomS hat Folgendes geschrieben:
[...] was Physiker so in etwa unter Hermitizität verstehen.
Oder noch besser, was derjenige der die Aufgabe gestellt hat, als Definition vorgegeben hat.
TomS
Verfasst am: 07. Mai 2024 08:44
Titel:
1. Hier eine knappe Diskussion für p auf dem Intervall [0, 2π].
https://homepages.physik.uni-muenchen.de/~helling/pextension.pdf
2. Aufgrund der Defektindizes funktioniert dieselbe Vorgehensweise nicht für die positive reelle Halbgerade, d.h. p kann dafür nicht selbstadjungiert erweitert werden. Das und mehr siehe:
https://inspirehep.net/files/3a471bd701a9ee6bbd45003581130cf4
3. Im hier vorliegenden Fall muss man zunächst festlegen, auf welcher Untermenge der reellen Zahlen man die Operatoren untersuchen möchte, umd man muss dies explizit durchführen.
In der Praxis begegnen einem derartige mathematische Fragestellungen fast nie. Es geht mir also nicht darum, jedes Mal den ganz großen Werkzeugkasten auszupacken, sondern lediglich darum, zu verstehen, dass die Physiker mit dem netten Begriff "hermitesch" oft potentielle Probleme unter den Teppich kehren.
TomS
Verfasst am: 07. Mai 2024 07:10
Titel:
Zunächst mal wäre es relevant, mathematisch präzise zu definieren, was hermitesch denn eigentlich bedeutet. Das ist nämlich nicht der Fall:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hermitescher_Operator
Ob das dann im Einzelfall relevant wird, muss man auch im Einzelfall entscheiden.
Der Beweis, dass aus der Symmetrie des Operators im Kontext des Skalarproduktes, die Selbstadjungiertheit folgt, ist nicht trivial: Für den Impulsoperator in der Ortsdarstellung betrachtet man dazu den Zusammenhang zwischen dem adjungierten Operator und der partiellen Integration sowie dem verschwinden der Randterme. Da im vorliegenden Fall der Impulsoperator zusammen mit dem Ortsoperator auftaucht, können auch Funktionen entstehen, die zwar an sich quadratintegrabel sind, jedoch zusammen mit der Multiplikation mit x diese Forderung nicht mehr erfüllen. Damit ist zumindest auf den ersten Blick nicht mehr sicher, dass alle betrachteten Funktionen im selben Hilbert-Raum leben, und geht der Beweis der Selbstadjungiertheit nicht mehr trivial durch.
Genauso kann der Beweis scheitern, wenn man die Operatoren nicht mehr über den reellen Zahlen betrachtet, sondern zum Beispiel periodische Funktionen auf einem Kreis, oder Funktionen in einem endlichen Intervall mit bestimmten Randbedingungen, wie zum Beispiel im Falle des unendlichen Potentialtopfes. In diesen Fällen führt die Anwendung des Operator x aus dem ursprünglichen Raum der periodischen Funktionen hinaus.
Ohne das genauer zu betrachten, kann man für den Operator nur zeigen, dass er gewisse formale Voraussetzungen für die Selbstadjungiertheit erfüllt. Das ist dann wohl ungefähr das, was Physiker so in etwa unter Hermitizität verstehen.
Aruna
Verfasst am: 07. Mai 2024 06:50
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Z.B. ist der Impulsoperator auf der positiven reellen Halbebene nur unter gewissen Randbedingungen symmetrisch (mittels partieller Integration) und genau deswegen nicht selbstadjungiert.
inwiefern ist das relevant, wenn vorausgesetzt wird, dass p hermitesch ist?
Aruna
Verfasst am: 06. Mai 2024 21:55
Titel:
worms324 hat Folgendes geschrieben:
Ok, aber das ist doch über Matrizen, hier liegt keine Matrix vor, wie funktioniert es hier?
genauso
https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk_PH0007_01_course.pdf
Hast Du kein Skript oder ein Buch, in dem das drin steht?
Myon
Verfasst am: 06. Mai 2024 10:03
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Man muss mehrere Schritte beachten: (...)
Ja, das ist vielleicht der Vorteil, wenn einem solche höheren Dinge nicht bekannt sind - man hat keine Hemmungen, darüber hinwegzusehen;-) Aber sicher wäre das korrekterweise wohl alles zu beachten.
@worms324:
Aus der Vertauschungsrelation folgt
Nun setz das doch einfach einmal ein in
und vergleiche mit dem dazu adjungierten Operator.
worms324
Verfasst am: 06. Mai 2024 09:17
Titel:
Ich habe leider noch Probleme mit dem richtigen Vorgehen
worms324
Verfasst am: 06. Mai 2024 08:47
Titel:
Der Raum sollte der Ortsraum sein, weitere Angaben sind nicht gemacht
TomS
Verfasst am: 06. Mai 2024 08:21
Titel:
Man muss mehrere Schritte beachten:
Auf welchem Raum soll der Operator definiert sein?
Ist der Operator symmetrisch bzgl. des Skalarproduktes?
Haben der Operator und der adjungierte Operator den selben Definitionsbereich?
Z.B. ist der Impulsoperator auf der positiven reellen Halbebene nur unter gewissen Randbedingungen symmetrisch (mittels partieller Integration) und genau deswegen nicht selbstadjungiert.
Myon
Verfasst am: 06. Mai 2024 08:04
Titel:
Wesentlich ist hier noch, ob man voraussetzen darf, dass x und p nicht nur hermitesch sind, sondern dass auch wie üblich gilt
Wahrscheinlich schon. Sonst kann K fast nicht hermitesch sein: (ihx) ist sicher nicht hermitesch, und x^2p wäre nur hermitesch, wenn x und p kommutieren würden.
Mit der obigen Vertauschungsrelation aber kannst Du K so umformen, dass die Hermitezität klar ist. Man braucht dann nur noch zu wissen, dass
worms324
Verfasst am: 06. Mai 2024 07:22
Titel:
Ok, aber das ist doch über Matrizen, hier liegt keine Matrix vor, wie funktioniert es hier?
Aruna
Verfasst am: 06. Mai 2024 05:23
Titel: Re: Ist der Operator K hermitesch?
worms324 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
dabei ist t eine bel. reelle Zahl und x und p sind bereits hermitesch
Meine Ideen:
über die Definiton
die KI hat ja schon den Weg genannt.... kannst Du den zu obigem Operator Adjungierten berechnen, vielleicht mit Hilfe dieser Informationen?
https://de.wikipedia.org/wiki/Adjungierte_Matrix#Eigenschaften
fhlghorie
Verfasst am: 05. Mai 2024 23:14
Titel:
Der gegebene Operator ist K = ihx - (x² - t²)p.
Um zu überprüfen, ob dieser Operator hermitesch ist, müssten wir seinen adjungierten Operator berechnen und sehen, ob er dem ursprünglichen Operator entspricht. In der Quantenmechanik ist der adjungierte Operator eines Operators A, bezeichnet als A†, definiert als der komplexe Konjugierte des Transponierten von A.
Allerdings ist es wichtig zu beachten, dass die Berechnung des adjungierten Operators in der Quantenmechanik oft komplex ist und spezielle Regeln für Operatoren wie Position (x) und Impuls (p) erfordert. Darüber hinaus hängt die Hermitizität eines Operators auch von den Randbedingungen ab.
Ohne weitere Informationen oder einen spezifischen Kontext kann ich leider nicht definitiv sagen, ob dieser Operator hermitesch ist oder nicht. Es wäre hilfreich, wenn Sie weitere Details oder den Kontext für diesen Operator angeben könnten.
worms324
Verfasst am: 05. Mai 2024 19:00
Titel: Ist der Operator K hermitesch?
Meine Frage:
dabei ist t eine bel. reelle Zahl und x und p sind bereits hermitesch
Meine Ideen:
über die Definiton