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[quote="TomS"]Ich bin über ein anderes Problem auf diese Fragestellung gestoßen. [b]Aufgabe[/b]: Zu bestimmen sind alle Komponenten eines homogenen magnetischen Feldes B in D Dimensionen, mittels [b]möglichst wenigen[/b] Messungen der Lorentzkraft. Die Lorentzkraft F in D Dimensionen ist gegeben durch [latex]F_i = q B_{ik} v^k[/latex] wobei i,k=1 ... D. B entspricht dem räumlichen Anteil des antisymmetrischen elektromagnetischen Feldstärketensors *). Für die [b]Messungen[/b] geht man wie folgt vor: (1) Für die erste Messung präpariert man [latex](v^i)^{(1)} = v \delta^{i,1}[/latex] Damit folgt [latex]F_i^{(1)} = q B_{ik} v \delta^{k,1} = q v B_{i,1}[/latex] [latex]B_{i,1} = -B_{1,i} = (qv)^{-1}F_i^{(1)} [/latex] (2) ... (n) Für die zweite, dritte, ... n-te Messung präpariert man [latex](v^i)^{(n)} = v \delta^{in}[/latex] und erhält [latex]B_{in} = -B_{ni} = (qv)^{-1}F_i^{(n)} [/latex] Damit können in D Dimensionen [b]mittels D-1 Messungen[/b] alle Komponenten des magnetischen Feldes bestimmt werden. [b]Beobachtung[/b]: Wählt man für die Präparation der Messungen zwei oder mehr nicht-verschwindende Geschwindigkeitskomponenten, so wird die Situation unübersichtlicher. Man kann für D=4 durch Ausprobieren zeigen, dass für zwei Präparationen mit jeweils zwei nicht-verschwindenden Geschwindigkeiten entweder offensichtlich zu wenig Gleichungen resultieren, oder speziell für nicht-verschwindende Geschwindigkeiten (1,2) und (3,4) das Gleichungssystem wiederum nicht maximalen Rang hat; ich kann das aber nicht allgemein zeigen. Daraus resultiert die [b]Frage[/b]: Wie beweist (oder widerlegt) man die allgemeine Vermutung, dass für [latex]D > 2 [/latex] [latex]n = 1 \ldots D-2[/latex] [b]bei keiner Wahl der Geschwindigkeiten[/b] das Gleichungssystem für die Komponenten des B-Feldes [latex]F_i^{(n)} = q B_{ik} (v^k)^{(n)}[/latex] maximalen Rang hat? **) M.a.W. wie zeigt (oder widerlegt) man, dass [b]immer D-1 Messungen[/b] zur Bestimmung des B-Feldes notwendig sind? ______ *) B ist antisymmetrisch, d.h. [latex]B_{ik} = -B_{ki}[/latex] Das führt in D Dimension auf [latex]N = \frac{1}{2}D(D-1)[/latex] unabhängige Komponenten von B. Man kann B schreiben als [latex]B_{ik} = \sum_{A=(mn)} (t_A)_{ik} \, b_A [/latex] Dabei läuft der Doppelindex A = (mn) über alle Paare m ungleich n; ik bezeichnet die Indizes der Matrizen t; b bezeichnet die N unabhängigen Komponenten von B. Für A=(mn) gilt [latex](t_{(mn)})_{ik} = \delta_{im}\delta_{kn} - \delta_{in}\delta_{km}[/latex] Die Matrizen t entsprechen den Generatoren der Rotationsgruppe SO(D) in D Dimensionen. **) mittels (*) kann man das Gleichungssystem umformulieren zu [latex]F_i^{(n)} = q B_{ik} (v^k)^{(n)} = q \sum_{A} (t_A)_{ik} \, b_A (v^k)^{(n)} = q \sum_A \left( \sum_k (t_A)_{ik} (v^k)^{(n)} \right) b_A = q \sum_A V_{i, A}^{(n)} \, b_A [/latex] [latex]V_{i, A}^{(n)} = \sum_k (t_A)_{ik} (v^k)^{(n)}[/latex] [latex]F_i^{(n)} = q \sum_A V_{i, A}^{(n)} \, b_A [/latex][/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 23. Apr 2024 11:09
Titel: B-Feld aus Messung der Lorentz-Kraft in D Dimensionen
Ich bin über ein anderes Problem auf diese Fragestellung gestoßen.
Aufgabe
: Zu bestimmen sind alle Komponenten eines homogenen magnetischen Feldes B in D Dimensionen, mittels
möglichst wenigen
Messungen der Lorentzkraft.
Die Lorentzkraft F in D Dimensionen ist gegeben durch
wobei i,k=1 ... D. B entspricht dem räumlichen Anteil des antisymmetrischen elektromagnetischen Feldstärketensors *).
Für die
Messungen
geht man wie folgt vor:
(1) Für die erste Messung präpariert man
Damit folgt
(2) ... (n) Für die zweite, dritte, ... n-te Messung präpariert man
und erhält
Damit können in D Dimensionen
mittels D-1 Messungen
alle Komponenten des magnetischen Feldes bestimmt werden.
Beobachtung
: Wählt man für die Präparation der Messungen zwei oder mehr nicht-verschwindende Geschwindigkeitskomponenten, so wird die Situation unübersichtlicher. Man kann für D=4 durch Ausprobieren zeigen, dass für zwei Präparationen mit jeweils zwei nicht-verschwindenden Geschwindigkeiten entweder offensichtlich zu wenig Gleichungen resultieren, oder speziell für nicht-verschwindende Geschwindigkeiten (1,2) und (3,4) das Gleichungssystem wiederum nicht maximalen Rang hat; ich kann das aber nicht allgemein zeigen. Daraus resultiert die
Frage
: Wie beweist (oder widerlegt) man die allgemeine Vermutung, dass für
bei keiner Wahl der Geschwindigkeiten
das Gleichungssystem für die Komponenten des B-Feldes
maximalen Rang hat? **)
M.a.W. wie zeigt (oder widerlegt) man, dass
immer D-1 Messungen
zur Bestimmung des B-Feldes notwendig sind?
______
*) B ist antisymmetrisch, d.h.
Das führt in D Dimension auf
unabhängige Komponenten von B.
Man kann B schreiben als
Dabei läuft der Doppelindex A = (mn) über alle Paare m ungleich n; ik bezeichnet die Indizes der Matrizen t; b bezeichnet die N unabhängigen Komponenten von B.
Für A=(mn) gilt
Die Matrizen t entsprechen den Generatoren der Rotationsgruppe SO(D) in D Dimensionen.
**) mittels (*) kann man das Gleichungssystem umformulieren zu