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[quote="HoSp"][b]Meine Frage:[/b] Folgende Aufgabe aus einem Lehrbuch der theoretischen Physik: Ein Massenpunkt, der sich im homogenen Schwerefeld [latex] \vec g = -g \cdot \vec e_z [/latex] auf der Kreisscheibe [latex] x^2+z^2=R^2 [/latex] bei [latex] x=0, z=R [/latex] in Ruhe befindet (labiles Gleichgewicht), gleite ab der Zeit [latex] t=0 [/latex] auf dem Kreisumfang abwärts. Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen erster Art den Winkel, bei dem sich der Massenpunkt vom Kreis ablöst! [b]Meine Ideen:[/b] Der Ausgangspunkt ist die allgemeine Bewegungsgleichung für die Masse [b]m[/b] am Ort [Latex] \vec r [/Latex] unter dem Einfluß der Schwerkraft [Latex] \vec F_G [/Latex] und einer Zusatzkraft [Latex] \vec F^{'} [/Latex] [latex] m \ddot\vec{r} = \vec F_G + \vec F^{'} = -m g \vec e_z + \vec F^{'} [/latex], wobei die Zusatzkraft gegeben ist durch [latex] \vec F^{'} = \lambda \vec\nabla f(x,z) = 2 \lambda x \vec e_x + 2 \lambda z \vec e_z [/latex] mit [latex] f(x,z) = x^2 + z^2 - R^2 = 0 [/latex] als Zwangsbedingung. [latex] \lambda [/latex] ist der Lagrange-Multiplikator. Für die beiden Komponenten x und z ergeben sich demnach folgende Gleichungen [latex] \ddot{x} = 2 \frac{\lambda}{m} x [/latex] und [latex] \ddot{z} = -g + 2\frac{\lambda}{m} z [/latex] Die Komponente y spielt keine Rolle: [latex] \ddot{y} = y = 0 [/latex] Zweimalige Differentiation der Gleichung für die Zwangsbedingung nach der Zeit ergibt [latex] (\dot{x}^2+\dot{z}^2) + (x\cdot\ddot{x}+z\cdot\ddot{z}) = 0 [/latex] und mit [latex] \ddot{x} [/latex] und [latex] \ddot{z} [/latex] aus den Bewegungsgleichungen ergibt sich [latex] (\dot{x}^2 +\dot{z}^2) + 2\frac{\lambda}{m} (x^2+z^2) - gz = 0 [/latex] Nun ist [latex] (\dot{x}^2+\dot{z}^2) = v^2 [/latex] die Geschwindigkeit des Massenpunktes an der Stelle x,z auf der Kreisscheibe und [latex] x^2+z^2 = R^2 [/latex] = const. der konstante Radius. Also gilt [latex] v^2 + 2 \frac{\lambda}{m}R^2 - gz = 0 [/latex]. Zum Zeitpunkt [latex] t=0 [/latex] ruht der Punkt [latex] v=0 [/latex] noch oben auf der Kreisscheibe bei [latex] z=R [/latex], woraus sich der Lagrangemultiplikator zu [latex] \lambda =\frac{mg}{2R} [/latex] ergibt. Mit Beginn der Abwärtsbewegung des Massenpunkts verringert sich z, während dessen die Geschwindigkeit v zunimmt. Der Massenpunkt bleibt solange auf der Kreisscheibe, solange die Zentripetalkraft [latex] F_Z = m \cdot g \cdot cos(\varphi) [/latex], die senkrecht auf die Kreisscheibe in radialer Richtung nach innen wirkt, größer ist als die Zentrifugalkraft [latex] F_F = \frac{m \cdot v^2}{R} [/latex], die in entgegengesetzter Richtung nach außen wirkt. Daraus folgt [latex] v^2 = gR\cos(\varphi) [/latex]. Laut Aufgabenstellung soll der "Ablösewinkel" [latex] \varphi [/latex] mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen erster Art berechnet werden. Ich benötige hierfür aber die Geschwindigkeit [latex] v [/latex] an der "Ablösestelle". Ohne den Energiesatz komme ich hier aber nicht weiter: [latex] E_{ges} = mgR = E_{pot}+E_{kin} = mgR\cos(\varphi) + \frac{1}{2}mv^2 [/latex], woraus sich [latex] v^2 = 2gR(1-\cos(\varphi)) [/latex] ergibt. Aus [latex] v^2 = gR\cos(\varphi) = 2gR(1-\cos(\varphi) [/latex] ergibt sich schließlich der "Ablösewinkel" zu [latex] \cos(\varphi) = \frac{2}{3} [/latex] und damit [latex] \varphi = \arccos(\frac{2}{3}) = 48,2 ^\circ [/latex]. Hat jemand eine Idee, ob und wenn ja, wie man hier auch ohne den Energiesatz die Lösung findet?[/quote]
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Nachricht
HoSp
Verfasst am: 04. Feb 2024 18:27
Titel: Massenpunkt auf senkrecht stehendem Halbkreis
Meine Frage:
Folgende Aufgabe aus einem Lehrbuch der theoretischen Physik:
Ein Massenpunkt, der sich im homogenen Schwerefeld
auf der Kreisscheibe
bei
in Ruhe befindet (labiles Gleichgewicht), gleite ab der Zeit
auf dem Kreisumfang abwärts. Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen erster Art den Winkel, bei dem sich der Massenpunkt vom Kreis ablöst!
Meine Ideen:
Der Ausgangspunkt ist die allgemeine Bewegungsgleichung für die Masse
m
am Ort
unter dem Einfluß der Schwerkraft
und einer Zusatzkraft
,
wobei die Zusatzkraft gegeben ist durch
mit
als Zwangsbedingung.
ist der Lagrange-Multiplikator.
Für die beiden Komponenten x und z ergeben sich demnach folgende Gleichungen
und
Die Komponente y spielt keine Rolle:
Zweimalige Differentiation der Gleichung für die Zwangsbedingung nach der Zeit ergibt
und mit
und
aus den Bewegungsgleichungen ergibt sich
Nun ist
die Geschwindigkeit des Massenpunktes an der Stelle x,z auf der Kreisscheibe und
= const. der konstante Radius.
Also gilt
.
Zum Zeitpunkt
ruht der Punkt
noch oben auf der Kreisscheibe bei
, woraus sich der Lagrangemultiplikator zu
ergibt.
Mit Beginn der Abwärtsbewegung des Massenpunkts verringert sich z, während dessen die Geschwindigkeit v zunimmt.
Der Massenpunkt bleibt solange auf der Kreisscheibe, solange die Zentripetalkraft
, die senkrecht auf die Kreisscheibe in radialer Richtung nach innen wirkt, größer ist als die Zentrifugalkraft
, die in entgegengesetzter Richtung nach außen wirkt.
Daraus folgt
.
Laut Aufgabenstellung soll der "Ablösewinkel"
mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen erster Art berechnet werden. Ich benötige hierfür aber die Geschwindigkeit
an der "Ablösestelle".
Ohne den Energiesatz komme ich hier aber nicht weiter:
, woraus sich
ergibt.
Aus
ergibt sich schließlich der "Ablösewinkel" zu
und damit
.
Hat jemand eine Idee, ob und wenn ja, wie man hier auch ohne den Energiesatz die Lösung findet?