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[quote="Günther"]Was spricht gegen Zeilinger's Auffassung wonach ein mathematisches Konstrukt (die Wellenfunktion als solches aufgefasst) nicht kollabiert? Die Born'sche Regel liefert Wahrscheinlichkeiten. Woran würde man festmachen, dass die Wellenfunktion mehr ist als ein mathematisches Konstrukt?[/quote]
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TomS
Verfasst am: 29. Nov 2023 16:59
Titel:
Alles gut! Danke.
Günther
Verfasst am: 29. Nov 2023 16:46
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Günther hat Folgendes geschrieben:
Er nennt das selbst minimalistisch, soll vermutlich heißen, mehr brauchts nicht.
Mehr braucht's nicht für was?
Stimmst du mir zu, dass meine Frage …
TomS hat Folgendes geschrieben:
wenn wir zur Berechnen für Quantensysteme normalerweise die unitäre Schrödingergleichung nutzen,
warum
verwenden wir dann in speziellen Situationen bzw. für spezielle Quantensysteme manchmal einen nicht-unitären Kollapses?
… offen ist, dass Zeilinger sie nicht beantwortet sondern aus einer gewissen minimalistischen Perspektive betrachtet für irrelevant hält?
So wie Zeilinger sich ausdrückt - Kollaps ist simple Denknotwendigkeit -, hält er ihn für irrelevant. Aber vergessen wir nicht, es ist ein populärwissenschaftliches Buch ... .
Dein Argument ist vermutlich stichhaltig, insbesondere dann, wenn es sich aus dem QM-Formalismus ableitet (und nicht aus deren Interpretation), allein meine magere fachliche Kompetenz reicht nicht aus, dies zu beurteilen.
Ferner ist zu bedenken, dass Zeilinger's Auffassung eine Interpretation ist. Als solche wäre sie allerdings nicht widerlegbar. Ich denke, er ist mit der QM hinreichend vertraut um ein solches Risiko (widerlegt zu werden) einzugehen.
TomS
Verfasst am: 29. Nov 2023 13:24
Titel:
Frage in einem multiple Choice Test:
Ein Gamma-Quant wechselwirkt mit einem größeren Quantensystem. Die Wechselwirkung zwischen beiden wird beschrieben durch
wobei die Erzeuger und Vernichter d für lokalisierte Quantenpunkte stehen, und wobei angenommen wird, dass für den Photonzustand näherungsweise ein Ansatz mittels Superposition lokalisierter Zustände und entsprechender Erzeuger und Vernichter a möglich ist.
Zunächst sei das Gesamtsystem in einem initialen Zustand
In welchem der folgenden Zielzustände
befindet sich das System nach erfolgter Wechselwirkung?
Hinweis: Verwenden Sie Störungstheorie erster Ordnung.
Wichtig: Begründen Sie Ihre Antwort durch eine kurze Skizze der Berechnung.
TomS
Verfasst am: 29. Nov 2023 12:19
Titel:
Günther hat Folgendes geschrieben:
Er nennt das selbst minimalistisch, soll vermutlich heißen, mehr brauchts nicht.
Mehr braucht's nicht für was?
Stimmst du mir zu, dass meine Frage …
TomS hat Folgendes geschrieben:
wenn wir zur Berechnen für Quantensysteme normalerweise die unitäre Schrödingergleichung nutzen,
warum
verwenden wir dann in speziellen Situationen bzw. für spezielle Quantensysteme manchmal einen nicht-unitären Kollapses?
… offen ist, dass Zeilinger sie nicht beantwortet sondern aus einer gewissen minimalistischen Perspektive betrachtet für irrelevant hält?
Günther
Verfasst am: 29. Nov 2023 10:29
Titel:
Er nennt das selbst minimalistisch, soll vermutlich heißen, mehr brauchts nicht.
TomS
Verfasst am: 28. Nov 2023 22:22
Titel:
Dann sind wir uns einig bei dem, was Zeilinger meint – aber wahrscheinlich nicht einig dabei, dass bzw. warum er der Meinung ist, damit sei alles irgendwie ok. Das ist es für mich ganz und gar nicht, und da muss ich noch nicht mal eine ontische Interpretation bemühen, die Problematik folgt bereits aus einer anderen Überlegung: wenn wir zur Berechnen für Quantensysteme normalerweise die unitäre Schrödingergleichung nutzen, warum verwenden wir dann in speziellen Situationen bzw. für spezielle Quantensysteme – im Widerspruch dazu – manchmal einen nicht-unitären Kollapses? Diese Frage – ohne eine ontische Interpretation – ist nach vor offen.
Anyway, das war nicht Corbis Frage.
Günther
Verfasst am: 28. Nov 2023 21:53
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Meint Zeilinger nicht viel mehr, dass man den Kollaps ausschließlich als mathematisches Werkzeug betrachten solle, nicht als tatsächlich realen Vorgang?
Ich verstehe ihn so, dass das mathematische Werkzeug die Wellenfunktion ist und der Kollaps nicht mehr als eine bloße Denknotwenigkeit, die aus dem Nachweis eines Teilchens an einem Ort folgt, s.u.
TomS hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Die Annahme, dass sich diese Wahrscheinlichkeitswellen tatsächlich im Raum ausbreiten, ist also nicht notwendig - denn alles, wozu sie dienen, ist das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten. Es ist daher viel einfacher und klarer, die Wellenfunktion ψ nicht als etwas Realistisches zu betrachten, das in Raum und Zeit existiert, sondern lediglich als mathematisches Hilfsmittel, mit Hilfe dessen man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. Zugespitzt formuliert, wenn wir über ein bestimmtes Experiment nachdenken, befindet sich ψ nicht da draußen in der Welt, sondern nur in unserem Kopf.
Dieses Zitat findet sich in Zeilinger's Buch Einsteins Schleier, Seite 194.
Weiter unten auf derselben Seite:
Zitat:
Klarerweise hat in dem Moment, in dem wir das Teilchen an einem Ort nachgewiesen haben, die Kugelwelle überhaupt keinen Sinn mehr, denn die Wahrscheinlichkeit, es woanders zu finden, ist ja dann Null.
Dieser Kollaps
der Wellenfunktion ist aber dann nicht etwas, was im wirklichen Raum stattfindet. Sondern er ist eine ganz simple Denknotwendigkeit, da ja die Wellenfunktion nichts anderes ist, als als unser Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
TomS
Verfasst am: 28. Nov 2023 10:48
Titel:
Günther hat Folgendes geschrieben:
Was spricht gegen Zeilinger's Auffassung wonach ein mathematisches Konstrukt (die Wellenfunktion als solches aufgefasst) nicht kollabiert?
Die Born'sche Regel liefert Wahrscheinlichkeiten. Woran würde man festmachen, dass die Wellenfunktion
mehr
ist als ein mathematisches Konstrukt?
Es ging doch gar nicht um
mehr
als dieses Konstrukt.
Ja, die Bornsche Regel liefert Wahrscheinlichkeiten, und das Argument für den Kollaps folgt letztlich genau daraus.
Ich formuliere das mal mittels der oben eingeführten Projektoren. Ich habe disjunkte Ortsdetektoren n=1,2… und die entsprechenden orthogonalen Projektoren E_n.
Vor der ersten Messung gilt für die Wahrscheinlichkeit einer Detektion bei n
Im Spezialfall eindimensionaler Unterräume mit
ist das gerade
d.h. die Wahrscheinlichkeit für n entspricht gerade dem Erwartungswert der jeweiligen Observablen E_n. Das ist gerade die Bornsche Regel.
Nach der ersten Detektion bei einem speziellen k erwartet man für eine unmittelbar darauffolgende Messung "den selben Ort", also
Der Kollaps aufgrund der ersten Messung von k besagt
wobei die entsprechende Neu-Normierung durchgeführt wird. Damit gilt für die zweite Messung unter Verwendung des kollabierten Zustandes
Der Kollaps stellt also genau das sicher: unmittelbar aufeinanderfolgende Messungen der selben Observablen führen auf den selben Messwert, bzw. unmittelbar nach einer Messung wissen wir sicher, welcher Wert vorliegt und in einer erneuten Messung auftreten muss. Letztlich entspricht das gerade einer bedingten Wahrscheinlichkeit, das Auftreten des zweiten Messwertes n unter der Voraussetzung, dass ein erster Messwert k vorlag.
Meint Zeilinger nicht vielmehr, dass man den Kollaps ausschließlich als mathematisches Werkzeug betrachten solle, nicht als tatsächlich realen Vorgang?
Zitat:
Die Annahme, dass sich diese Wahrscheinlichkeitswellen tatsächlich im Raum ausbreiten, ist also nicht notwendig - denn alles, wozu sie dienen, ist das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten. Es ist daher viel einfacher und klarer, die Wellenfunktion ψ nicht als etwas Realistisches zu betrachten, das in Raum und Zeit existiert, sondern lediglich als mathematisches Hilfsmittel, mit Hilfe dessen man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. Zugespitzt formuliert, wenn wir über ein bestimmtes Experiment nachdenken, befindet sich ψ nicht da draußen in der Welt, sondern nur in unserem Kopf.
EDIT: Nehmen wir an, die o.g. Detektorelemente wären mittels isolierter Moleküle realisiert, wobei die Absorption eines Photons mit Verfärbung des Moleküls dessen Ortsmessung entspricht. Wir haben also z.B. hinter einem Doppelspalt einen Detektor, der für ein Photon immer ein lokalisiertes Detektorereignis erzeugt, obwohl wir anhand von Interferenzexperimenten zeigen können, dass wir ein Photon eben nicht immer lokalisiert beschreiben können. Irgendwie und irgendwo existiert also ein Mechanismus – und sei es nur ein gedankliches Konstrukt – der den Übergang von einem delokalisierten zu einem lokalisierten Zustand beschreibt. Dies nicht als realen Prozess aufzufassen, eliminiert nicht die Notwendigkeit dieses Übergangs.
Günther
Verfasst am: 28. Nov 2023 10:32
Titel:
Was spricht gegen Zeilinger's Auffassung wonach ein mathematisches Konstrukt (die Wellenfunktion als solches aufgefasst) nicht kollabiert?
Die Born'sche Regel liefert Wahrscheinlichkeiten. Woran würde man festmachen, dass die Wellenfunktion mehr ist als ein mathematisches Konstrukt?
Corbi
Verfasst am: 27. Nov 2023 18:09
Titel:
Also, dass sich das Kollapspostulat über auch ohne existente Eigenvektoren über das Spektralmaß formulieren lässt war mir vorher nicht bewusst und hilft schonmal weiter!
Noch seltenerer
Verfasst am: 26. Nov 2023 08:04
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Du und Corbi ihr geht von falschen Annahmen aus.
Nein.
Wir gehen nicht von falschen Annahmen aus, wir gehen von dem aus, was man häufig liest, und Corbi kommt bereits im ersten Beitrag zu den richtigen Schlussfolgerungen:
1) physikalische Zustände werden durch normierbare Zustände repräsentiert
2) eine Messung liefert als Messwert immer einen Eigenwert
3) nach einer Messung befindet sich das System im entsprechenden Eigenzustand
4) später werden "verallgemeinerten Eigenzustände" zu Ort und Impuls betrachtet, ohne dass (1 - 3) revidiert werden.
Und das zusammen ist inkonsistent.
Achso, dann geht ihr also nicht von falschen sondern von inkonsistenten Annahmen aus.
Zitat:
Es wird aber häufig so dargestellt.
Ansonsten – gelungener Einstieg unter neuem Namen aber mit dem alten Stil. Gerne seltener.
Verstehe ich nicht ganz. Aber im Forum wo ausgerechnet Du die Stilpolizei bist, bin ich ganz sicher seltener.
TomS
Verfasst am: 26. Nov 2023 00:10
Titel:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Du und Corbi ihr geht von falschen Annahmen aus.
Nein.
Wir gehen nicht von falschen Annahmen aus, wir gehen von dem aus, was man häufig liest, und Corbi kommt bereits im ersten Beitrag zu den richtigen Schlussfolgerungen:
1) physikalische Zustände werden durch normierbare Zustände repräsentiert
2) eine Messung liefert als Messwert immer einen Eigenwert
3) nach einer Messung befindet sich das System im entsprechenden Eigenzustand
4) später werden "verallgemeinerten Eigenzustände" zu Ort und Impuls betrachtet, ohne dass (1 - 3) revidiert werden.
Und das zusammen ist inkonsistent.
Corbi stellt das in seinem Einfangspost völlig zurecht fest.
Dass du uns darauf hinweist, dass diese Darstellung falsch ist, ist nicht notwendig, das wissen wir. Dass du darüberhinaus darauf hinweist, dass es bei von Neumann korrekt dargestellt ist, ist natürlich hilfreich.
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Bei von Neumann ist der Kollaps kein Postulat, sondern eine Folgerung aus der ANNAHME, dass bei der zweiten Messung mit Sicherheit derselbe Wert herauskommt wie bei der ersten.
In der Literatur wird dies dennoch als Projektions- oder Kollapspostulat bezeichnet, nicht als Theorem.
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Das Kollaps"postulat" nach von Neumann erfordert nirgendwo, dass man für die Messung von X auf delta-Funktionen projiziert.
Es wird aber häufig so dargestellt.
Ansonsten – gelungener Einstieg unter neuem Namen aber mit dem alten Stil. Gerne seltener.
Seltener
Verfasst am: 25. Nov 2023 19:48
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Nein, verstehe ich in diesem Kontext nicht.
Ich betrachte eine Messung an einem Teilchen.
Nehme ich x als Observable, muss ich gemäß Projektionspostulat auf den Eigenzustand zum Eigenwert = Messwert projizieren.
Nein, musst du nicht. Du und Corbi ihr geht von falschen Annahmen aus. Fangen wir mal weiter vorne an. Bei von Neumann ist der Kollaps kein Postulat, sondern eine Folgerung aus der ANNAHME, dass bei der zweiten Messung mit Sicherheit derselbe Wert herauskommt wie bei der ersten (angenommen es ist nur wenig Zeit vergangen). Nun fragt sich von Neumann, was kann ich über den Zustand nach der Messung aus dieser Annahme ableiten? Beim Punktspektrum und nichtentarteten Eigenwerten muss Xpsi = x psi sein. Also hat man nach der Messung einen Eigenzustand.
Das BEWEIST also von Neumann, er postuliert es nicht. (Bei Messung von entarteten Eigenwerten können wir aus dem Ergebnis den Zustand nicht ableiten. S.114)
Im kontinuierlichen Fall stellen wir zunächst fest, dass wir für keine endliche Messunsicherheit den Wert exakt bestimmen können und führen das ganze dann auf den Fall des Punktspektrum zurück indem wir die Messung von
betrachten. Das heißt wir können eine exakte Messung von F(X) vornehmen und sie entspricht der angenäherten Messung von X (S.115 unten). Das Kollaps"postulat" nach von Neumann erfordert nirgendwo, dass man für die Messung von X auf delta-Funktionen projiziert.
Lies es mal selbst nach, dann reden wir nicht dauernd aneinander vorbei.
TomS
Verfasst am: 25. Nov 2023 19:24
Titel:
Nein, verstehe ich in diesem Kontext nicht.
Ich betrachte eine Messung an einem Teilchen.
Nehme ich x als Observable, muss ich gemäß Projektionspostulat auf den Eigenzustand zum Eigenwert = Messwert projizieren. Nach der Messung läge also ein "Ortseigenzustand" vor, d.h. eine delta-Funktion. Das ist aber kein Eigenzustand, und nicht normierbar – im Widerspruch zu anderen Axiomen. Das ist Corbis Problem.
Nutze ich E als Observable und projiziere wie oben, erhalte ich einen normierbaren Eigenzustand – aber einen solchen zu E, nicht zu x. Alles gut. E ist die Observable.
Das entspricht auch der Praxis: jedem Detektorarray, Pixel … wird ein derartiger Projektor zugeordnet; einer registriert das Teilchen, anschließend ist es im entsprechenden Eigenzustand.
Seltener
Verfasst am: 25. Nov 2023 18:21
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Das bedeutet aber wiederum, dass wir es in keinster Weise irgendwie mit einer Messung der Observablen x zu tun haben, sondern dass der Projektor E diese Rolle übernimmt.
Hä? Du hast eine Menge 100g Gewichte und 1 Körper unbekannter Masse. Mit Balkenwaage machst du nun folgende Beobachtung. 10 100g-Stücke sind leichter als der Körper, 11 100g-Stücke sind schwerer als der Körper. Ist dieses Experiment in "keinster Weise irgendwie eine Messung der Masse des Körpers"? Ich gehe davon aus Du verstehst die Analogie zu von Neumann.
TomS
Verfasst am: 25. Nov 2023 12:44
Titel:
Passt.
Das bedeutet aber wiederum, dass wir es in keinster Weise irgendwie mit einer Messung der Observablen x zu tun haben, sondern dass der Projektor E diese Rolle übernimmt.
Ich bestreite ja keineswegs, dass man dies mathematisch konsistent so betrachten kann. Nur – so wird es eben in den seltensten Fällen dargestellt.
Seltener
Verfasst am: 25. Nov 2023 10:31
Titel:
Die unmittelbare Wiederholbarkeit des Messergebnisses ist so ziemlich genau der Grund für das Kollapspostulat. Deswegen sind die Intervalle bei von Neumann disjunkt und die Messung entscheidet nur in welchem Intervall der Wert liegt. Eine Wiederholung ergibt nach dem Kollaps dasselbe Intervall, also innerhalb der Messgenauigkeit denselben Wert.
TomS
Verfasst am: 25. Nov 2023 07:51
Titel:
Also zusammenfassend:
Bei der Messung einer "kontinuierlichen" Größe wie dem Ort x mit Auflösung epsilon wird ein verallgemeinerter Kollaps
inkl. Normierung betrachtet.
Für die Projektoren gilt
Dabei ist x ein Spektralwert aus dem kontinuierlichen Spektrum. Beide Zustände sind normierbar.
Mir war nicht klar, dass dies bereits bei von Neumann diskutiert wurde.
Damit bleibt folgende Feststellungen, die dann keine Kritik an von Neumann darstellt, jedoch weiterhin an vielen Lehrbüchern und Skripten:
Bsp.:
https://ocw.mit.edu/courses/22-51-quantum-theory-of-radiation-interactions-fall-2012/9cdcc3c1e36da2ae3e2f925d5b435ab6_MIT22_51F12_Ch3.pdf
Zitat:
The value of the measurement of an observable is one of the observable eigenvalues. The probability of obtaining one particular eigenvalue is given by the modulus square of the inner product of the state vector of the system with the corresponding eigenvector. The state of the system immediately after the measurement is the normalized projection of the state prior to the measurement onto the eigenvector subspace.
Nein.
Das Ergebnis ist nicht einfach eine Zahl aus dem Spektrum, sondern diese Zahl plus die Auflösung. Die Wahrscheinlichkeit wird i.A. nicht bzgl. eines Eigenvektors berechnet, auch nicht bzgl. eines "verallgemeinerten Eigenvektors", sondern bzgl. des o.g. Zielzustandes. Ein Kollaps erfolgt i.A. ebenfalls weder in einen Eigenzustand (der im Falle des kontinuierlichen Spektrums nicht vorliegt) noch in einen "verallgemeinerten Eigenzustand" (der nicht normierbar wäre, was an anderer Stelle explizit gefordert wird), sondern in den o.g. Zielzustand. Darüberhinaus liefert die Messung i.A. keine orthonormierten Zielzustände (wird auch häufig behauptet), da für
gilt:
Damit führen auch wiederholte Messungen der selben Observablen i.A. nicht zum selben Messergebnis und nicht zum selben Zielzustand. Zunächst liefert die wiederholte Messung die Möglichkeit zweier unterschiedlicher Messwerte
und zum zweiten liefert die zweite Projektion nicht den selben Zielzustand, da
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 21:52
Titel:
Danke, werde ich nachlesen. Mir war tatsächlich nicht klar, dass das schon bei von Neumann diskutiert wurde.
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Der Unterraum, auf den ich projiziere, gehört nicht zu mehreren Eigenwerten, sondern zu gar keinem Eigenwert, weil alle Werte aus [p-e, p+e] aus dem kontinuierlichen Spektrum stammen.
Stimmt, habe das oben korrigiert.
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 19:48
Titel:
Die Diskussion des Projektionspostulats für den Fall kontinuierlicher Messwerte findet man übrigens schon bei von Neumann selbst (S. 115, letzter Abschnitt: "Wir sahen: ..."). Es läuft dort auf dasselbe hinaus wie Sakurais Gl. (1.6.5).
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 18:02
Titel:
P.S. Quelle: Sakurai Gl. (1.6.5).
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 17:53
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Nach meiner Kenntnis erlaubt das Kollapspostulat nach von Neumann die Projektion auf mehrdimensionale Unterräume, wenn und nur wenn diese zum
selben
Eigenwert gehören,
nicht
jedoch zu verschiedenen Eigenwerten, wie in deinem Fall.
Der Unterraum, auf den ich projiziere, gehört nicht zu mehreren Eigenwerten, sondern zu gar keinem Eigenwert, weil alle Werte aus [p-e, p+e] aus dem kontinuierlichen Spektrum stammen.
Ich habe nie davon gesprochen, dass in [p-e, p+e] mehr als ein Eigenwert liegt. Ich habe nur berücksichtigt, dass ein Messwert nicht genauer als 2e gemessen wird.
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 17:36
Titel:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Das Kollapspostulat erlaubt auch die Projektion auf Unterräume psi -> E([p-e, p+e]) psi.
Dafür hätte ich gerne eine Quelle!
Nach meiner Kenntnis erlaubt das Kollapspostulat nach von Neumann die Projektion auf mehrdimensionale Unterräume, wenn und nur wenn diese zum
selben
Spektralwert gehören,
nicht
jedoch zu verschiedenen Spektralwerten, wie in deinem Fall.
Solltest du jetzt einen allgemeineren Messbegriff anführen: habe ich oben schon geschrieben, ist aber wieder nicht das, was Corbi angesprochen hat.
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 16:50
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Es ist nicht gemeint, das jede Messung EXAKT einen dieser Werte ergibt.
Doch, das ist
exakt
die orthodoxe Interpretation, andernfalls würde das Kollapspostulat in exakt den 1-dim. Unterraum, der zu diesem Messwert = Eigenwert gehört, überhaupt keinen Sinn ergeben.
Das ist höchstens ein Strohmann. Das Kollapspostulat erlaubt auch die Projektion auf Unterräume psi -> E([p-e, p+e]) psi. Aber wenn es Dir Spaß macht, Trivialitäten zu widerlegen, knock yourself out.
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 16:14
Titel:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Es ist nicht gemeint, das jede Messung EXAKT einen dieser Werte ergibt.
Doch, das ist
exakt
die orthodoxe Interpretation, andernfalls würde das Kollapspostulat in exakt den 1-dim. Unterraum, der zu diesem Messwert = Eigenwert gehört, überhaupt keinen Sinn ergeben.
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Es ist gemeint, dass …
Aber nicht im Rahmen der hier von Corbi zur Diskussion gestellten Interpretation:
Corbi hat Folgendes geschrieben:
… damit das Kollapspostulat überhaupt formuliert werden kann, benötigt man die Eigenbasis eines Operators, in den der Zustand bei der Messung springen kann. Rein mathematisch betrachtet existiert allerdings nur für einen
kompakten, normalen Operator
stets eine Eigenbasis. Da die meisten Operatoren in der Quantenmechanik allerdings unbeschränkt sind, sind sie nicht kompakt und stellen daher im allgemeinen auch keine Eigenbasis bereit. Insofern lässt sich das Kollapspostulat ja nicht einmal mathematisch sinnvoll formulieren.
Seltener hat Folgendes geschrieben:
… zu jedem Wert p des Spektrums und zu jeder vorgegebenen Meßgenauigkeit e ein Zustand psi(p) existiert, so dass alle Messwerte im Intervall [p-e, p+e] liegen. Das gilt sowohl für Elemente p des kontinuierlichen Spektrums als auch für Eigenwerte (diskretes Spektrum)
Natürlich ist diese Interpretation möglich, aber es ist eben eine andere als die von Corbi diskutierte.
Und natürlich hat deine Interpretation nichts mit der Art des Spektrums zu tun, die von Corbi genannte jedoch schon.
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 16:05
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
NIEMAND hat behauptet das Ergebnis einer Messung wäre eine Zahl.
Einfach mal googeln.
Da stehen Dinge wie die möglichen Messwerte einer Observablen sind gerade die Werte aus dem Spektrum eines selbstadjungierten Operators.
Eine Messung => ein Messwert => eine Zahl.
Ich sehe jetzt zum dritten mal, dass du nicht verstanden hast, was damit gemeint ist, wenn die Elemente des Spektrums als "mögliche Messwerte" bezeichnet werden. Es ist nicht gemeint, das jede Messung EXAKT einen dieser Werte ergibt. Es ist gemeint, dass zu jedem Wert p des Spektrums und zu jeder vorgegebenen Meßgenauigkeit e ein Zustand psi(p) existiert, so dass alle Messwerte im Intervall [p-e, p+e] liegen. Das gilt sowohl für Elemente p des kontinuierlichen Spektrums als auch für Eigenwerte (diskretes Spektrum).
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 15:23
Titel:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
NIEMAND hat behauptet das Ergebnis einer Messung wäre eine Zahl.
Einfach mal googeln.
Da stehen Dinge wie die möglichen Messwerte einer Observablen sind gerade die Werte aus dem Spektrum eines selbstadjungierten Operators.
Eine Messung => ein Messwert => eine Zahl.
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 14:37
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Du missverstehst gerne, oder?
Die Aussage "das Ergebnis einer Messung ist eine Zahl" ist Quatsch.
Du redest gern am Thema vorbei oder? NIEMAND hat behauptet das Ergebnis einer Messung wäre eine Zahl. DU MISSVERSTEHST hier, was es bedeutet, dass die Messwerte aus einem kontinuierlichen Spektrum kommen. Nochmal zum mitschreiben: kontinuierlich (dass war das Wort, das ich benutzt habe) bedeutet nicht scharf (das war das Wort, das du benutzt hast).
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 14:29
Titel:
Du missverstehst gerne, oder?
Die Aussage "das Ergebnis einer Messung ist eine Zahl" ist Quatsch. Genauso wie ein Planet kein Massenpunkt ist.
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 14:24
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
1) schon klar; ich spreche davon, dass das Messergebnis
nie
einfach nur eine Zahl ist
Ich weiß. Das hat nur nichts mit der Frage zu tun, ob die Messwerte aus einem kontinuierlichen Spektrum eines Operators stammen.
Zitat:
2) mathematisch für Berechnungen ja; als eins-zu-eins Beschreibung der physikalischen Realität nein
Sorry, aber das ist doch Blödsinn. Welches Element des Impulsspektrums gehört denn Deiner Ansicht nach nicht zur Realität?
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 14:18
Titel:
1) schon klar; ich spreche davon, dass das Messergebnis
nie
einfach nur eine Zahl ist
2) mathematisch für Berechnungen ja; als eins-zu-eins Beschreibung der physikalischen Realität nein
Konkret: folge ich der Dekohärenz, so ist das Ergebnis einer Messung (mathematisch) ein Dichteoperator, anhand dessen ich tatsächlich vorliegende Zustände und Messergebnisse als hochdimensionale Unterräume ablesen kann; da sind Spektralwerte ziemlich irrelevant.
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 14:03
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Die der Idee der Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum ist aus ganz anderen Gründen – habe ich teilweise auch geschrieben – Käse.
Es gibt auf der ganzen Welt keine reale Messung, die einen scharfen Messwert erzeugt (also z.B. p=0). Postulate, die irgendwas in der Richtung behaupten, sind zwar Standard-Lehrbuch, aber dennoch physikalisch Quatsch; das wissen wir spätestens seit den Erkenntnissen zur Dekohärenz.
1) Ich habe nicht von "scharfen" Messwerten gesprochen, sondern von kontinuierlichen. Das sind schon wieder zwei verschiedene Sachen und kontinuierlich impliziert nicht "scharf". (Auch klassisch kann eine kontinuierliche Größe unscharf sein.)
2) Dass die Quantenmechanik die Elemente des kontinuierlichen Spektrums als "Messwerte" bezeichnet, ist eine Idealisierung. Mir ging es nicht um die Frage ob diese Idealisierung gerechtfertigt ist, sondern ob man in der Theorie kontinuierliche Spektren benötigt. Und das tut man. Völlig unabhängig von realen Messungen.
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 13:31
Titel:
Danke.
Letzteres ja, werde ich ändern.
Aber nein
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Es interessiert also, ob oder ob nicht Messwerte aus dem kontinuierlichen Spektrum sowie verallgemeinerte Eigenzustände betrachtet werden müssen.
Ja, zu den Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum, nein zu den verallgemeinerten Eigenzuständen.
Die der Idee der Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum ist aus ganz anderen Gründen – habe ich teilweise auch geschrieben – Käse.
Es gibt auf der ganzen Welt keine reale Messung, die einen scharfen Messwert erzeugt (also z.B. p=0). Postulate, die irgendwas in der Richtung behaupten, sind zwar Standard-Lehrbuch, aber dennoch physikalisch Quatsch; das wissen wir spätestens seit den Erkenntnissen zur Dekohärenz.
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 12:59
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Du missverstehst es noch immer.
Nein, ich habe nur festgestellt, dass man Deine Aussage leicht falsch auffassen kann. Ob du es nun so gemeint hast oder nicht. So wie sie dasteht, ist sie Unsinn. Daran ändern auch alle Deine bisherigen Rechtfertigungsversuche nichts.
Zitat:
Es interessiert also, ob oder ob nicht Messwerte aus dem kontinuierlichen Spektrum sowie verallgemeinerte Eigenzustände betrachtet werden müssen.
Das sind zwei vollkommen verschiedene Fragen, mit unterschiedlichen Antworten. Ja, zu den Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum, nein zu den verallgemeinerten Eigenzuständen.
Zitat:
Meine Aussage ist lediglich, dass ich diese verallgemeinerte Eigenzustände nicht zwingend im Sinne einer verallgemeinernten Basis zur Darstellung physikalischer Zustände benutzen muss, da ich aufgrund der Separabilität immer eine Hilbertraumbasis mit normierten Zuständen verwenden kann (was natürlich mathematisch oft unpraktisch ist).
Lies doch nochmal genau was Du ursprünglich geschrieben hast. Was Du hier schreibst war NICHT die Aussage aus dem ersten Abschnitt. Du wolltest vielleicht "verallgemeinerte BASIS" oder "verallgemeinerte EIGENZUSTÄNDE" sagen. Tatsächlich steht dort aber "kontinuierliches SPEKTRUM". Verstehst du wirklich nicht den Unterschied? Wenn Du Dich nur verschrieben hast, sollte es ja nicht so schwierig sein, das zu korrigieren.
TomS
Verfasst am: 24. Nov 2023 12:40
Titel:
Du missverstehst es noch immer.
Es geht in diesem Thread um die Frage nach dem Kollaps und dessen mathematischer Formulierung. Also interessiert sowohl das Spektrum – das wären die möglichen Messwerte – als auch der Zustand nach dem Kollaps – das wären "verallgemeinerte Eigenzustände".
Es interessiert also, ob oder ob nicht Messwerte aus dem kontinuierlichen Spektrum sowie verallgemeinerte Eigenzustände betrachtet werden müssen.
Ok?
Meine Aussage ist lediglich, dass ich diese verallgemeinerte Eigenzustände nicht zwingend im Sinne einer verallgemeinernten Basis zur Darstellung physikalischer Zustände benutzen muss, da ich aufgrund der Separabilität immer eine Hilbertraumbasis mit normierten Zuständen verwenden kann (was natürlich mathematisch oft unpraktisch ist). Ich schreibe ja auch explizit, dass ich nichts gegen die mathematische Verwendung einzuwenden habe.
Ok?
Nun stelle ich in dem Absatz eine Verknüpfung zwischen den Zuständen und den Spektren her. Ist es diese Verknüpfung, die dich stört?
Seltener
Verfasst am: 24. Nov 2023 10:15
Titel:
Den ersten Absatz kannst Du einfach ersatzlos streichen. Es gibt keinen Zusammenhang zwischen der Separabilität des Hilbertraums und kontinuierlichen SPEKTREN. Die Notwendigkeit kontinuierlicher SPEKTREN ist zu unterschieden von der Notwendigkeit für verallgemeinerte EIGENZUSTÄNDE. Auf letztere kann man verzichten, auf erstere nicht. Gern geschehen.
TomS
Verfasst am: 23. Nov 2023 22:11
Titel:
Dann erklär mir bitte nochmal in Ruhe, was dir an meinen ursprünglichen Aussagen nicht gefällt, und was ich klarer oder besser formuliert soll. Dann korrigiere ich das gerne:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Erstens sagt ein Axiom der Quantenmechanik, dass wir separable Hilberträume nutzen. Diese haben jedoch immer eine abzählbare Basis, daher kommt also schon mal keine Notwendigkeit für ein kontinuierliches Spektrum.
Zweitens müssen physikalische Zustände quadratintegrabel sein, andernfalls funktioniert die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterptetation nicht.
Drittens sind nicht-quadratintegrable Zustände Artefakte der Mathematik, keine physikalischen Zustände. Z.B. erzeugt ein Laser immer nur einen endlichen, wenn auch sehr langen Wellenzug. Wir reden also von Wellenpaketen.
Viertens ist das von Neumannsche Projektionspostulat eine mathematische Idealisierung.
Die Energiemessung eines Photons kollabiert dieses nicht in einen Eigenzustand, vielmehr wird es absorbiert. Also nicht
sondern z.B.
Ähnliches gilt für die Ortsmessung.
Wir wissen, das projektive Messungen nicht ausreichend sind, sondern dass wir POVMs benötigen.
Wir wissen auch, dass wir die Zielzustände nicht postulieren können, sondern dass sie aus der Dynamik des Messprozesses folgen – Stichworte decoherence, einselection, preferred Basis …
D.h. die Probleme treten dann auf, wenn man meint, mathematisch etwas gewinnen zu können, mit derartigen Konstrukten umzugehen; physikalisch sehe ich keinen Grund, sie einzuführen. Wir verwenden ebene Wellen deshalb, weil es praktisch ist.
Quantumdot hat Folgendes geschrieben:
… sind Eigenwerte nicht direkter Bestandteil der modernen Formulierung der Postulate der Quantenmechanik …
Genau.
Nur leider bekommt man halt zumeist doch irgendeine antiquierte Formulierung vorgesetzt …
Seltener
Verfasst am: 23. Nov 2023 19:37
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Anstatt isolierte Aussagen ohne Kontext in deinem Sinne umzudeuten und als falsch zu bezeichnen, könntest mal konstruktiv argumentieren.
Anstatt konstruktive Kritik persönlich zu nehmen und vom Thema abzulenken, könntest du Irrtümer unumwunden eingestehen und Deine Aussagen umformulieren, wenn man Dir aufzeigt, dass sie Unsinn sind.
TomS
Verfasst am: 23. Nov 2023 19:30
Titel:
Anstatt isolierte Aussagen ohne Kontext in deinem Sinne umzudeuten und als falsch zu bezeichnen, könntest mal konstruktiv argumentieren.
Seltener
Verfasst am: 23. Nov 2023 18:56
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Die Existenz des Impulsoperators zwingt mich aber nicht dazu, ihn zur Konstruktion einer "Basis" zu nutzen.
Nein, dazu zwingt Dich niemand. Trotzdem sollte man nicht glauben, dass man in separablen Hilberträumen keine kontinuierlichen Spektren benötigt.
Das habe ich so nicht behauptet.
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Lies Dir nochmal in Ruhe durch, was du oben hinter "Erstens" geschrieben hast und frage Dich ganz objektiv, ob man das nicht eventuell falsch verstehen könnte.
Da du es falsch verstehst, ist ja schon bewiesen, dass es so ist.
Es ist kaum zu erkennen was an Deiner Aussage richtig zu verstehen ist. Sie ist Unsinn. Anscheinend kommt man mit Diplomatie bei Dir nicht durch, deshalb mal etwas deutlicher.
Zitat:
Seltener hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Was berechne ich denn? Letztlich immer Matrixelemente
Nein, man berechnet auch Wellenfunktionen.
Es ging hier um Axiome bzw. Postulate der Quantenmechanik – in einer vernünftigen Form, nicht einfach Abschreiben überholter Darstellungen. Diese enthalten vernünftigerweise den Begriff der Wellenfunktion nicht.
Deine Aussage " Was berechne ich denn? Letztlich immer Matrixelemente" ist kein Axiom. Sie ist falsch.