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[quote="pfeifhns"][b]Meine Frage:[/b] Hallo zusammen, ich habe die folgende Frage zu krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen und möchte dies am Beispiel für Zylinderkoordinaten in [latex]R^{2}[/latex] tun: warum sind Zylinderkoordinaten orthogonal? [b]Meine Ideen:[/b] Ich gehe von dem Funktionssystem [latex] x_{1}( r, theta ) = r cos(theta)\\ x_{2}( r, theta ) = r sin(theta) [/latex] aus. Die Einheitsvektoren berechnen sich zu [latex] e_{r} = ( cos(theta), -r sin(theta)\\ e_{theta} = ( sin(theta), r cos(theta)) [/latex] Wenn ich davon das euklidische Skalarprodukt nehme, dann kommt da nicht 0 raus. Damit sind sie nicht orthogonal zueinander. Wenn ich aber die Einheitsvektoren normiere, dann ergibt sich : [latex] e^{normiert}_{r} = ( cos(theta), -sin(theta)\\ e^{normiert}_{theta} = ( sin(theta), cos(theta)) [/latex] und die sind orthogonal, also deren Skalarprodukt ist 0. Und dies ist der Punkt, den ich nicht verstehe: [latex]e^{normiert}_{r}[/latex] unterscheidet sich doch nur in der Länge von [latex]e_{r}[/latex], ebenso [latex]e^{normiert}_{theta}[/latex]. Warum ist dann aber das Skalarprodukt von [latex]e_{r}[/latex] und [latex]e_{theta}[/latex] dann nicht 0??[/quote]
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pfeifhns
Verfasst am: 24. Jun 2023 10:38
Titel: Frage zu krummlinigen orthogonalen Koordinatensystem
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe die folgende Frage zu krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen und möchte dies am Beispiel für Zylinderkoordinaten in
tun:
warum sind Zylinderkoordinaten orthogonal?
Meine Ideen:
Ich gehe von dem Funktionssystem
aus.
Die Einheitsvektoren berechnen sich zu
Wenn ich davon das euklidische Skalarprodukt nehme, dann kommt da nicht 0 raus. Damit sind sie nicht orthogonal zueinander.
Wenn ich aber die Einheitsvektoren normiere, dann ergibt sich :
und die sind orthogonal, also deren Skalarprodukt ist 0.
Und dies ist der Punkt, den ich nicht verstehe:
unterscheidet sich doch nur in der Länge von
, ebenso
. Warum ist dann aber das Skalarprodukt von
und
dann nicht 0??