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[quote="TomS"]Die Kepler-Orbits folgen aus der Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung für das Zweikörper-Problem im Potential [latex]V(r) = \frac{k}{m}[/latex] (üblicherweise ist k < 0, das Potential also anziehend) Kepler selbst kannte natürlich nur gebundene Orbits, d.h. Ellipsenbahnen. Die Strategie zur Lösung der Bewegungsgleichung lautet wie folgt: [list][*]man fixiert eine Ebene und reduziert das Problem auf zwei Dimensionen [*]man rechnet im Schwerpunktsystem der beiden Massen [*]man nutzt die Erhaltungssätze für die Gesamtenergie E sowie den Gesamtdrehimpuls L [*]man eliminiert die Zeit t aus den Gleichungen und betrachte nur die Abhängigkeit des Radius r vom Winkel theta [/list] Damit erhält man den Kepler-Orbit als Kegelschnitt [latex]u(\theta) = \frac{1}{r(\theta)} = u_0 \, (1 + e\,\cos\theta)[/latex] Neben den entarteten Fällen Kreis und Parabel findet man 1) gebundene Orbits = Ellipsen (nur für k < 0) mit [latex]E < 0, \quad 0 < e < 1 [/latex] 2) ungebundene Orbits = Hyperbeln (für k< 0 sowie für k > 0)mit [latex]E > 0, \quad e > 1 [/latex] Dabei ist [latex]u_0 = -\frac{km}{L^2} [/latex] [latex]e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{k^2m}}[/latex] Die detaillierte Lösung findet man in Skripten zur klassischen Mechanik unter dem Stichwort Zweikörperproblem.[/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 18. Apr 2023 08:47
Titel:
Die Kepler-Orbits folgen aus der Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung für das Zweikörper-Problem im Potential
(üblicherweise ist k < 0, das Potential also anziehend)
Kepler selbst kannte natürlich nur gebundene Orbits, d.h. Ellipsenbahnen.
Die Strategie zur Lösung der Bewegungsgleichung lautet wie folgt:
man fixiert eine Ebene und reduziert das Problem auf zwei Dimensionen
man rechnet im Schwerpunktsystem der beiden Massen
man nutzt die Erhaltungssätze für die Gesamtenergie E sowie den Gesamtdrehimpuls L
man eliminiert die Zeit t aus den Gleichungen und betrachte nur die Abhängigkeit des Radius r vom Winkel theta
Damit erhält man den Kepler-Orbit als Kegelschnitt
Neben den entarteten Fällen Kreis und Parabel findet man
1) gebundene Orbits = Ellipsen (nur für k < 0) mit
2) ungebundene Orbits = Hyperbeln (für k< 0 sowie für k > 0)mit
Dabei ist
Die detaillierte Lösung findet man in Skripten zur klassischen Mechanik unter dem Stichwort Zweikörperproblem.
Voessli
Verfasst am: 17. Apr 2023 23:47
Titel: Hyperbolische Flugbahn
Hallo,
wie berechnet man die "Wurfparabel" bzw. das Vorbeischwungmanöver eines Satelliten um einen schweren (punktförmigen) Planeten ?
Da sich mit dem Abstand auch die gravitative Feldstärke ändert, müßte die Umlaufbahn hyperbolisch sein und mit einer Differentialgleichung beschrieben werden.