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[quote="Aische85"][b]Meine Frage:[/b] Für zwei Operatoren [latex] \hat{A} [/latex] und [latex] \hat{B} [/latex] ist der Kommutator [latex] [\hat{A}, \hat{B}] [/latex] definiert durch die Wirkung auf eine Funktion [latex] \psi [/latex] gemäß [latex] [\hat{A}, \hat{B}] \psi=\hat{A}(\hat{B} \psi)-\hat{B}(\hat{A} \psi) [/latex]. (a) Zeigen Sie, dass die in Gleichung definierten Impuls und Ortsoperatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen [latex] \left[\hat{p}_{k}, \hat{p}_{\ell}\right]=0, \quad\left[\hat{x}_{k}, \hat{x}_{\ell}\right]=0, \quad\left[\hat{p}_{k}, \hat{x}_{\ell}\right]=-i \hbar \delta_{k \ell} [/latex] erfüllen. [b]Meine Ideen:[/b] Hier die Gleichungen: [latex] \hat{p}_{k} \psi=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{k}} \psi [/latex] [latex] \hat{H}=H(\vec{r},-i \hbar \vec{\nabla}) [/latex] Hierbei nehmen [latex] k [/latex] und [latex] \ell [/latex] die Werte [latex] 1,2,3 [/latex] an und [latex] \delta_{k \ell} [/latex] ist das Kronecker-Delta. (b) Berechnen Sie für eine Hamiltonfunktion der Form [latex] H(\vec{r}, \vec{p})=\frac{p^{2}}{2 m}+V(\vec{r}), \quad p=|\vec{p}|, [/latex] die Kommutatoren [latex] \left[\hat{x}_{k}, \hat{H}\right] [/latex] und [latex] \left[\hat{p}_{k}, \hat{H}\right] [/latex]. (c) Ersetzt man in der Definition des klassischen Drehimpulsvektors [latex] \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p} [/latex] die Komponenten von Orts- und Impulsvektor durch die entsprechenden Operatoren, so erhält man den Drehimpulsoperator mit Komponenten [latex] \hat{L}_{1}, \hat{L}_{2} [/latex] und [latex] \hat{L}_{3} [/latex]. Berechnen Sie den Kommutator [latex] \left[\hat{L}_{1}, \hat{L}_{2}\right] [/latex] Wie geht man hier vor?[/quote]
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Aische85
Verfasst am: 05. Mai 2021 16:30
Titel:
Achso, vielen Dank!
TomS
Verfasst am: 29. Apr 2021 11:29
Titel:
Du setzt die Definition der Operatoren in Ortsdarstellung (Koordinaten und Ableitungen) ein und rechnest stur unter Beachtung der Produktregel.
Aische85
Verfasst am: 29. Apr 2021 10:56
Titel: Kommutator, Kronecker Delta
Meine Frage:
Für zwei Operatoren
und
ist der Kommutator
definiert durch die Wirkung auf eine Funktion
gemäß
.
(a) Zeigen Sie, dass die in Gleichung definierten Impuls und Ortsoperatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen
erfüllen.
Meine Ideen:
Hier die Gleichungen:
Hierbei nehmen
und
die Werte
an und
ist das Kronecker-Delta.
(b) Berechnen Sie für eine Hamiltonfunktion der Form
die Kommutatoren
und
.
(c) Ersetzt man in der Definition des klassischen Drehimpulsvektors
die Komponenten von Orts- und Impulsvektor durch die entsprechenden Operatoren, so erhält man den Drehimpulsoperator mit Komponenten
und
. Berechnen Sie den Kommutator
Wie geht man hier vor?